专题14 数列求和综合必刷100题(解析版)-2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)

1、专题14数列求和综合必刷100题任务一:善良模式（基础）1-30题一、单选题.已知数列叫满足=3,则。“=（）,1,1-1-1A.4+-B.4C.2+-D.2nnnn【答案】B【分析】由an+an=7利用累加法得出an-n+1【详解】由题意可得4-“=而%=:一,11111所以出一4=1一不，/一。2=不一三，anan-=7一一，223nn上式累加可得4=（生一4）+3一生）+（凡一凡一1）又4=3,所以4=4-.n故选:B.2.已知数列g的前项和为S，且q=l,a+an=2+1（eN.）,则数列噎的前2020项的和为（）2020404040394041ABCD202120212020,202

2、2【答案】B【分析】首先根据已知条件求得.然后求得S”.利用裂项求和法求得正确答案.【详解】数列七的前”项和为s“，且4=1,a“+|+a“=2+l,则=3-q=2.所以0+2+%=2w+3,两式相减得：4+2-a“=2,且q=i,%=2,当“为奇数时，-1卜2=1+12=,当”为偶数时，a =a2 +x2 = 2 + -2 = ，所以数列,是首项为1,公差为1的等差数列.所以S*誓，故=2(-),xSn(n+l)nn+1所以4则加0=2（1-布）=40402021故选：B.数列1,1+2,1+2+22,GN*),at=l,at=2,S”为数列a“的前项和,则52021=()A.3B.2C.1

3、D.0【答案】C【分析】根据递推关系式得出数列是周期为6的周期数列，利用周期性即可求解.【详解】a,n.i=a,i-an-i,ai=l,6=2,03=1,o=-l,as=-2,a(,=-,aj=,a=2故数列“,)是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0,故$2021=336x0+42017+42018+。2021=41+。2+。3+。4+。5=1+2+1+(-1)+(-2)=1.故选：C.正项数列4满足q=1,片-(4_1+2)。-i-3=0(l,eN),贝!j；+：+L+-:U3U5U2OI9U2()21()A幽B期C段D陋353460612021-5461t答案】B【分析】对a；-(%

4、+2)-3=0(1,eN)化简可得%-“=3,从而可得数列叫是等差数列,首项为1,公差为3,求出通项。“，则可得二Th3七一焉),然后利用裂项求和法计算【详解】端-(a_,+2)q-a-3=0(1,eN)，(。“+l)a(ai+3)=0,an0,aan-l=3,二数列aj是等差数列，首项为1，公差为3,=一(),ain-a2n(6-5)(6+1)66-56n+1. + + + 4030201920211(1_1)+(,1)+(_L_)=l(1_L)=12io6771360556061660616061,故选：B.7.化简5=+(-1)、2+(-222+i+2义2-2+2-1的结果是()A. 2

5、B+,+n-2B.2“- + 2C. 2 ” 一 2D.2+,-n-2【答案】D【分析】用错位相减法求和.【详解】S“ = + (-1)x2 + (-2)x2，.+ 2x22 + 2T,(1)2S“=x2 + (-1)x22+(”-2)x2-+2x2-+2, (2)(2) - (I)得:S” =-n + 2 + 2?+2，2“ =-n+2(_2 ) =-n + 21-2 = 2Htl-n-2.1-2故选：D.8.已知数列q中，4=L”“=3a,i+4(eN*,22),求数列,的前项和$“为()A.。3”一2一3 =“2a _ 3n+1+2/7-32C.。3向-4-3 =2D. S,33【答案】

6、C【分析】根据题意化简得到q+2=3(a,i+2),得到数列q+2构成苜项为3,公比为3的等比数列,求得%=3-2,结合等比数列和等差数列的求和公式，即可求解.【详解】山题意，数列%中，4=l,a“=3a“_1+4(eN,22),可得4+2=3%+6=3(41T+2),即-=3,an-+Z且+2=3,所以数列,+2构成首项为3,公比为3的等比数列,所以%+2=3,即a,=3-2,则数歹式可的前项和S“=（3+32+3）（2+2+2）_30-3）_2“_3-3_2“_3向-4-3 TOC o 1-5 h z -1-3-一-2n2-故选：C.等比数列&中，=2,2,数列二（；（“_1），a的前项和

7、为小则几的值为（）409420461022510A4095B#2047C，1023D*?H【答案】B【分析】,211先求出巧,从而可得:二已刁而刁.尸L尸口,然后利用裂项相消求和法可求出几【详解】由题意得4 =2,所以4 =2n_11（2n+l-l）（2n-l）-2n-l2n+l-l（所以T.o=31-i11r:=1r:-=-102-12an = 2n-, nwN*.又-122-1244+1-12,0-12-12-12047故选：B.已知数列4的前项和S“满足s“=2,记数列一的前项和为r,，eN*.则使得（7?成立的”的最大值为（）A.17B.18C.19D.20【答案】C【分析】根据4=5

8、“-5“7求4通项公式，注意讨论=1、22并判断是否可合并，再应用裂项法求，最后根据不等式求的最大值即可.【详解】一（）2 2n-l 2 + 1当=1时,q=$=l；当”22时，an=Sn-S=n2-（n-1）2=2n-1；而q=2xl-l=l也Tn =-x(l一 + 一+ .+23 3 52/1-12n + l)-2X(，-2M + l)-2M + l即就嗡得2。且小，则的最大值为19.故选：C.第H卷(非选择题)二、填空题.数列。,是首项和公差都为1的等差数列，其前项和为s.，若r.是数列的前项和，则工)9=99【答案】/0.99,【分析】11首先写出等下数列前项和则有尸=不1不，再应用裂

9、项相消法求4【详解】+-1111由题意：4=，故，于是瓦=而加=/於故答案为：而.已知数列4的通项公式为=bg2台|(wN*),设其前项和为S“，则使5.4-3成立的最小的自然为.【答案】14【分析】先利用其通项公式以及对数函数的运算公式求出S,=10g23.再利用对数的运算性质解不等式L，-3即可求出对应的自然数.【详解】M+1解：因为an=log,-(neN*),+2所以Sn=%+出+/+t2.3.4+1=log,+log,-+log,-+.+logr345+2oo-3=京27=14.、+2n+2故答案为：14.已知数列”“满足4+,+2=(eN*),贝！)“的前20项和S20=1【答案】

10、95【分析】利用分组求和法以及等差数列的前“项和公式即可求出结果.【详解】因为“+a,”？=(eN*),则a+l+。,+3=+1(eM),所以%+4+2+。+3=2+1N)所以$20=4+。2+一+。20=(4+%+4+/)*h(47+8+49+%)=2x1+1+2x5+1+2x9+1+2x13+1+2x17+1=2x0+5+9+13+17)+5(1+I7)x5=2x-+52=95,故答案为：95.已知正项数列满足=1,a-+2)an-an_-3=0,(n2,neA+),则+=4“2”2。32000*2021【答案】20206061【分析】化简数列的递推关系式，得到“-4t=3,结合等差数列的

11、通项公式，求得4=3-2,可得一=(4；-白)，利用裂项法，即可求解.4M+i35n-23+1【详解】由题意，正项数列%满足4=1,Y-(4-+2)。“-4t-3=0,(22,eN*),可得(4+1)&-(的+3)=0,因为a“0,可得a“-a“T=3,所以数列,是首项为1,公差为3的等差数歹办所以4=1+3(-1)=3-2,贝I=()(3-2)(3+1)33n-23+1H)6058 6061_L+_L+.+_L_=lx(1_l+l-l“23。，0,0。，0213447-x(l)= 3606120206061故答案为:20206061.设数列(满足4+产4,+2(+1),6=2,则数列卜-1)

12、4的前50项和是【答案】1300【分析】利用累加法可求得数列为的通项公式q=5+1),再并项求和求解前50项和即可.【详解】因为4+1=4+2(+1),且q=2,故22时，4-4=4,a3-a2=6,.-2%累力可得。=2+4+6+2=，(2上j)=5+1),n=l,4=2满足上式，即4=(+1),故(-1)%的前50项和，即S=-lx2+2x3-3x4+4x549x50+50 x51=2x2+2x4+2x50=2x=13002故答案为：1300.用设小)=白，则募)+/(募)+/(施卜20192020g、2019【答案】y-【分析】根据题意求出/(x)+/(l-x)=l,然后结合倒序相加即可

13、求出结果.【详解】因为即事，所以/*)+/(1) =-i4 + 2 4修 + 2F4、+ 24” + 2 4 + 2414* + 2 4 + 2424+44 + 24、设/2020220203202020192020则/20192020+ +/320202202012020(2),2019(1) + (2)得2019 = 2m,即=m,2故/120202202032020J 20191 202020192故答案为：誓17.数列an的前项和为S”，且S3 = 1,5=-1,且* = 2%!(),则5刈7 =【答案】-1【分析】由。4 = $4一邑求得4,又4 =2可得，根据%)i7 = 2Z ,

14、求出&)”，又因为邑皿=邑+ 2邑+ 2? $3 + 2, $3 + 2671 S3+ &“7,代入数据求解即可.【详解】山4=4-53 =-1-1 = -2,又 4=2q,得 4=-12oi7 = 2a2OM = 22a20ll = 23a2n08 = = 2672a, = -2672S2oi7 = S3 + 2s3 + 2S3 + 2, Sy + + 2671 Sy +。2。17 =53(1-2672)1-2故答案为：1故答案为:2021202218.在数歹U4中，q=2,且“+凡t=-+2(2),贝!数歹IJ-的前202122).3T2Tq7)2=2,将以上各式累加，可得(“一1)-(q

15、-1)-=+(-1)1*2,将4=2代入，可得(4-1)2=1+2+=吟。,12-if(+1)+1)1二111124；-4。+22(“一1)n+12”；-4“+ 2，的前2021项和为1-t+2+=1，=这120212022202220220已知数列|七金上行.则该数列的前I。项和为【答案】2017【分析】由题意得出此数列的通项公式，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前项和，进一步就可以求前10项的和.【详解】由题意可知此数列分母为以I为首项，以I为公差的等差数列的前项和,=2fl_由公式可得：al+2+.+nn(n+l)1n+)30a,最小整数解为.【答案】5【分析】先由题意可得

16、，=%,22,然后验证当=1时也成立，从而求得与2%,再利用错位相减法求得S,”代入不等式S,230a“中，求得满足题意的即可.【详解】由%+如+为+L+=%-1可得：4402+1+L+=%=4-142两式相减得：-an=an+l-an,即以=%,22/i+ln又“1=1,可得：1=42-1，解得：2=2,/=1=：,=1+1n1.=，又Sn=1X2+2X22+3X2。+2”,25=1X22+2X23+-+(n-1)2+2向，两式相减得：-S=2+22+2-,+-+2n-*2(1-2)_财”12整理得：S=(-1)2+1+2,由S,N30“可得：(n-1)2+i+2230”，即二一碑I215n

17、.,当=1,2,3,4时，(“T)财+115,.满足不等式230%最小整数解为5,故答案为：5.三、解答题21.数列4的前项和为S“，若q=3,点(5,3向)在直线片誓工+1(Y)上.(1)求证：数列是等差数列；(2)若数列满足4=.2号，求数列也的前项和7,.【答案】(1)证明见解析(2)7；=(n-l)2+,+2【分析】(1)将点代入整理可得4-3=1，由等差数列的定义即可得出答案.(2)根据S“与%的关系求出%=2+1,进而得出a=.2竽=.2，再由错位相减.可求解.:点(S,，S用)在直线产四、+1(2)上，n，5.=5“+1同除以+1,则有：辿_&=1数列是以3为首项，1为公差的等差

18、数列.由(1)可知，S“=1+2(N),当=1时，=3,当N2时，4=S“-S“t=2+1经检验，当=1时也成立，,=2/?+1(N).,bH=n22=2”，;4=4+&+.+%+Tn=-2+2-22+(-121+n-227；,=1+2+(-1卜2+小2向-T=-2+22+2y+-+2-n-2+n-2,+=(n-l)2,+l+222.已知数列叫为等差数列，公差H0,q=5,且q,4,初依次成等比数列.(1)求数列%的通项公式;1q(2)设=，数列也的前项和为S“，若求的值.44+135【答案】an=2n+3=15【分析】(1)设公差为，根据等比中项的性质得到方程，求出”，即可求出通项公式：(2

19、)山(I)可得,=丁二-不二,利用裂项相消法求出5“，再解方程即可;212+32+5)解：设公差为d(d#0),由q，%，%依次成等比数列，可得a；=q%，即(5+54)2=5(5+20),解得d=2,则an=5+2(-1)=2+3.解：由(1)可得=4A川_1(11)即有前项和为S =g115-7+7-9+盛一人)+3)(2/+5)一口2/+3-2/+5Jn5(2h+5)335解得=15.23.在等差数列氏中，/+%=14,(1)求数列4的通项公式;2(2)令)=-求数列也也“2的前项和a-l【答案】(1)=2/1+142n+22+4【分析】（1）利用等差数列的性质及等差数列的通项公式即得；

20、（2）由题可得-y,再利用裂项相消法即得.2n,7+27（1）法1：因为生+4=14,所以生=7,因为4+%+4+7=36,所以+6=18,所以=11,所以公差=与二号=2,所以41=%+(-3)4=7+26=2+1.53(,除+。4=14,(2a.+4d=14,a,=3,法2：设等差数列应的公差为d,联立广4球得力山”解得；+。3+。5+%=36,4+12d=36.d=2.所以q=q+(-1)1=3+2(-1)=2+1.(2)由知q=2+1,所以“含T纳+2中;一力所以=她+她+她+所也+,+她+2III-I一22n+n+2)42n+22+424.已知数列叫满足/=，?+L琮丁.（1）求证：

21、数列J是等差数列，并求数列,的通项公式；（2）若,求数列的前项和在（么=4,5=;包+佶丫三个条件中选择一个补充在第问中,a43J并对其求解，如果多写按第一个计分）【答案】（1）证明见解析，（2）答案不唯一，见解析【分析】(I)对递推公式两边同时取倒数，结合等差数列的定义进行运算证明即可；(2)选：运用裂项相消法进行求解即可；选：运用分类讨论方法进行求解即可；选：运用分组求和法，结合等差数列和等比数列前项和公式进行求解即可.a12a+11显然由i，两边同时取倒数得：=1+2,即-一=2,所以数列工是公差为2的等差数列.故=+(-3)x2=2，即4+1anJanIan=丁2n选：b=。得田,由已

22、知得，b=(-l)-2n，故数列他的前“项和7；=-2+4-6+8+(-1)2,当为偶数时，Tn=2-=n,当为奇数时，方=一2+(-2*1=_1,故n,n=2k,keZ,n-n-,n=2k-,keZ由已知得，仇=2 + (g) =2 + )故数列的前项和25.已知正项数列。“的前项和为S“，且45.=7的+1,4=1.数列满足=1,她+i=4(1)求数列,的通项公式(2)证明：J+j+J2l.ab2仇b”【答案】(1)an=2m-1,/zgZ-(2)证明见解析【分析】(I)根据S”与4的关系以及等差数列的通项公式即可求解.2(2)由7=。+I-仇一,利用叠加，裂项相消法即可证明.bn.,4S

23、n=a-a+l+l,q=l,4$=R+1,a2=3,当此2时,有4S“t=m”t+1,4s“-4S+=。,4+|-an-an，,=cin卜*-“_)/0,。用_(_=4数列4的奇数项是以l为首项，4为公差的等差数列，2n.i=l+4(W-l)=2(2-l)-l,偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，4%=3+4(1)=221,an=2-1,Z”. TOC o 1-5 h z ,一2,%也=2-1,所以勾也_=2-3得以(如-%)=2,=。+1-如从而2(二+丁+不)=&+/-4+%1-%=川+-b2D2%Dnc/1111.2九1.12(77+,+)=i+b“=+b22J2”-1,4b2b3靡

24、b111、r：;从而可得77+丁+丁+丁2V2-l瓦瓦4bn26.已知%是等比数列，0,且”2=1，6一%=2。4.(1)求数列%的通项公式；(2)设2=%+,求数列出的前项和S,.【答案】(2)1(2-1)+-32【分析】(I)求得公比4,由此求得数列4的通项公式.(2)利用分组求和法求得5“.a6-a5=2a4,a4q2-a4q=2a4,0,q?-q-2=G,oig=2,a.=a2q-2=j2=.2-.4=a“+=；,2T+，5“=4+0+0+b”32。+*+*2+.+32,1)+(1+2+3+.+)十1-2= g(2f +27.已知公差不为。的等差数列q满足%=5,且4,生吗成等比数列.

25、(1)求数列%的通项公式;(2)设=；，数列也,的前项和为证明anan+l2【答案】a“=2-l,(eN*)(2)证明见解析【分析】(1)根据等比中项的性质结合等差数列通项公式，可得d=2q,根据%=5,即可求得4d的值，代入公式，即可得答案.(2)由(I)可得。“=2-1,代入可得二一不二,利用裂项相消求和法，即22n-2/1+17可得。的表达式，即可得证.因为的,%成等比数列，所以生2=的5，则(q+d)2=q(q+4),又d*0,所以d=2q,乂=4+2d=5q=5,所以a=l,d=2,所以=4+5l)d=2-1,(eN*).由(1)可得勺=2-l,11If111所以=-,(4川(2n-

26、l)(2n+l)22n-2n+lJ所以数列间的前项和为7H(6+黑+止rJ?)=斗，=1一_1212+1J22(2+1)228.已知数列4满足4=1,%=3“+2,4.数列出满足4=1,5川-=S“+2+”+1，其中S”为数列他是前n项和.(1)求数列%,2的通项公式;(2)令%=十求数列%的前”项和T.,并证明：27；,43”t43“3”0,所以亿递增，所以15 2x1 + 54 4-3m=2,又当时，出10,所以因此，27；.4,34429.已知数列4的前项和为S“，4=lq“=S+l(”eN*),数列满足4=1,(1)求数列S”、伯的通项公式;(2)若数列满足求证：C,+C2+-+Cn2

27、),即%+=2an(n2)又由q=l,得4=2,满足4川=2见，所以勺=2”，而2+1=2=2,所以b”-b=2“+2”2+.+21,所以2=2nl+2n2+21+x,J)=2”-1；2“tii证明：因为，-(2_)(2+i-1)-2(2-12-1)1,1I1111、1八1、1Jyi以Cl+C,+c=(z1zz1-1)(17：).221-122-122-123-1212n+,-122n+,-1230.在各项均为正数的等比数列,中，=2,-,川,巴,a,成等差数列.等差数列满足4=4+1,24-3%=%-3,(1)求数列,a的通项公式；(2)设数列的前“项和为7，证明：。)，等差数列4的公差为d

28、.因为一。“+“+2成等差数列，所以2。“=,*2-4+1n2aq=。-。闻”，因为q0,40,所以2=-q=q=2,q=-l(舍去)，因此a=qg=2x2=2,b=a,+1=22+1=5,由2/一34=4-3n2(5+4d)-3(5+d)=23-3nd=2,所以=4+(-1)=5+2(-1)=2+3：(2)因为么=2+3,所以。上八一=3(工7一口)+(2+1)(2+3)22+12+3十日“1,I1111111.111、J.小有Tn+T-T-7)=T(T-T7)，235577112n4-l2+3232+3因为wN*，所以(一)=；.232+3236任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题

29、1.已知数列,满足0=2,%=3且，2-a“=l+(T),eN*,则该数列的前9项之和为()A.32B.43C.34D.35【答案】C【分析】讨论”为奇数、偶数的情况数列4的性质，并写出对应通项公式，进而应用分组求和的方法求数列的前9项之和.【详解】：an2-a=l+(-),neN,当”为奇数时，a2_,=0，则数列%T是常数列，=4=2；当为偶数时，。2”*2-勺“=2,则数列4”是以生=3为首项，公差为2的等差数列，4x3.*.+cig=(q+4+,+%)+q+/)=2x5+(3x44x2)=34.故选：CA12.数列q满足q=，。,用一1=。；a,(”eN*),数列一的前项和为S“，则(

30、)B. 2 S2021V 3D. 4S2O21 5A.1S2021V2C.3Vs2M2,从而估计出$2021的氾围.【详解】4因为4+|-1=端-。“，4=1,所以-0,即。“+I4,。“是递增数列，所以。2022“2021%2，071,23-3.0202212022-1故选：B.3.设S“为数列叫的前项和，2%一4M=321(22),且3q=2%.记7,为数列的前项和，若对任意eN,T0),由a汹=a%=16,解得q=0,4=2,则为=%则111bg-bg-J1鸣2鼠g吗一+a”a“+i=4”,可得4/=4,1产T=&-21=十4=2p-M（2n-l）（2n+l）2n+）,则前项和4=2(】

31、-;+(-；+1_12-12/?+12+142+1故选：A.6.数列4满足4=1,且，向111=4+4,+(neN*)则1+丁+一=()2017A.10094032B.2017【答案】A【分析】根据4m=4+“+，利用累加法求得。“二40282015相消法求解.【详解】a“+i-a“=+l，?(l+n)n口门+,an+l-at=-+”，卬%+1=2-+1，4=1符合上式,12017201811qa2=2x1I2018V-T-20171(X)9故选：A.7.设数列a满足4=3,%+|=3%-4，若2=而+8+5,且数列2的前项和为S,anan+则S,广()A。高4 2nI3 6+ 91 + 6

32、+ 9(1 +六I 6+ 9【答案】D【分析】先根据的递推关系求出4,的通项公式，代入的表达式中，求出的通项，ll|JuJ求解。的前项和s.【详解】由-=3%-4可得为+-2(+1)+1=3a“-(2n+1),*/ctj=3,，4(2x1+1)=0,则可得数列a,(2+D为常数列0,即4-(2+1)=0,.a“=2+l,4/+8+5(2+1)(2+3)+2,2,11一(2+1)(2+3)一(2+1)(2+3)-(2+1)(2+3)-2+12+3cJill11.11,I2、“35572+12+332+36+9故选：D8.已知函数/(幻=-4，数列满足%=/(薪)，则数列4的前2019项和为(4+

33、2izuzu，【答案】A【分析】根据函数结构特征，得到/Xx）+/（1-句=1,再将该式子用于求和.【详解】因为/。）=彳二，所以八1一工）=分工，4+24+24、4一4（4x+2）+4i（4，+2）勺/（X）+/（1-X）=4*+2+41T+2-（4+2）（4+2）一上记数列,的前项和S“，又q=/（薪），所以/V/乙JS，019 4| + + 20192 20202019202012020= 1x20193202022020/ 2019( 202020182020201920202020=2019.所以S如92019故选：A.9.已知数列%的前项和为S“，前项积为。，且42+, - 2.若

34、 b“=TogE，则数唱的前项和&为（2nA- QnB.- + 22D.2Hl【答案】A【分析】利用a“与S”关系可求得见,并推导得到联=；,由此可确定,为等比数列，由等比数4+12列通项公式可求得a”=g，利用。“可得，进而得到5,利用裂项相消法可求得结果.【详解】Si- 2-10+1 _ s+i - S”S 2+l-25,2+|-2.即邑=（2e一2）1，= log,4=2 一+.+“(223J 1 12 22 2“t 22n n + l也 Tog (4% 4,) = log 1),2A 1.色2的. + 2C. 2TD.2-Sn+l=(2+2-2)an+2,=S,“|-S”=(*2)%-

35、(2“-2”,整理得:I，又数列4是首项为:，公比为;的等比数列，4=/2,-r2故选:A.数列间满足%=与+击，若=；,则他的前项和为（）【答案】C【分析】由23=与+击，得2也m=27“+1,所以可得数列2*,是等差数列，得数列的通项公式，再利用错位相减法求和.【详解】因为加=?+击，所以2向%=2匕+1,所以数列2*是公差为=1,首项为2xg=l的等差数列，所以=1+5-1)=，所以与，设也的前项和为%所以12n1.12n1111ns”=5+尹+3，5sL齐+声，得,尹=1+尹+就+.-西得Si一噗故选：C.已知等差数列4的公差为2,前项和为S”，且加，邑，S,成等比数列.令/“=一an

36、an+2数列2的前项和为T，若对于veN*,不等式(-5C. 2-5D. A0【答案】A【分析】根据5，邑，果成等比数列，所以SJ=SS*,根据d=2,即可求得4的值，即可求得,进而可得=I、”A VO 1勺”(2/z 1)(2+ 3)4 2-1 2n 4- 3),利用裂项相消法即可求得。的表达式，分析即可得答案.【详解】因为邑,邑成等比数列,所以sj = ss4所以(a, + -=4 e；，)，整理可得(2q + 2 =2(2a, + 6)解得4 =1,所以a“ =l+2(-l) = 2-l,eN*,所以2=的“+2=一()(2/2-1)(2,:+ 3) 4 21 2 + 3 1八11111

37、所以工=-(1一一 + +“ 453759+)=2-3 2/? +1 2-1 2 + 3-(1 + -43 2 + 1 2n + 31111因为对于VeN*，不等式北0.即所以故选：A TOC o 1-5 h z .已知数列满足4+i=：一4,+1（%）设S=L+J_+_+J_,且$9=幺aa2an。10则数列包的首项4的值为（） HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 3A.-B.1C.-D.22【答案】C【分析】由=。：-%+1，可得%-1=4（4-1）,即7=；7所以从而可得24n 33，得出答案4。-1【详解】若存在。“=1,由q-a”+1,

38、则可得%=1或4-=。,。111。2a.-3由S“=-+可得4*0,山59=-可得4wl所以4中恒有4wl由an+i=a；-+1，可得%l=a”(a-1) TOC o 1-5 h z i3所以一=2,则4-1=；,所以4=9a,-122故选：C13.设S“为数列4的前项和，S,=(T)a-g，eN*,则吊+S?+S3=()【答案】A【分析】由递推式求出数列的首项，当22时分为偶数和奇数求出，代入5=(-1)%-,wN*后分组，然后利用等比数列的前项和公式求解.【详解】由S,=(T)Z-g,eN,当=1时，E=-q-；,得“=一；当22时，a“=S“-S,-=(一1)”一严%+击,即4=+g-当

39、。为偶数时，a_,=-(n2),所以,=-焉(为正奇数)，当n为奇数时，*=-2凡+：(-2),击)+=/,所以%=(为止偶数)，所以_q曲=齐，所以_q+/=2x尹=,_/=彳,4=3，所以一生+4=2xm=w一/9=而，400=酒，所以一%9+40=2乂湎=产.因为51+S2+83+S0G=(-4+出)+(-4+%)+(%+4)1(一陶+400)一故选：A14.正项数列&的前项和为S.，且2S“=d+a,(wN*),设%=(-1)磬则数列。的前2020项的和为()2019202020202021A.B.,C.D.2020201920212020【答案】C【分析】先根据和项与通项关系得4)，

40、再根据等卷数列定义与通项公式、求和公式得为，5“，代入化简%，最后利用分组求和法求结果.【详解】因为2S.0,所以当=1时，2at=af+a,解得叼=1,当X2时，2a”=2(S“-S“t)=*+4-(%+%)，所以(4+的)(q-。_1-1)=。，因为40,所以%所以数列q是等差数列，公差为1，首项为1，所以a“=+(_i)=,S“=,llI/12。+1/丹2/z+1/1(I,1)所以%=T-=(T77=(-l-+7.2snn(n+1)nn-Fly则数列c.的前2020项的和故选：C第II卷(非选择题)二、填空题15.已知正项数列4的前“项和为S.,且2S,=d+4L若d=(-D篝L则数列论

41、的前2021项和为.【答案】-20232022【分析】f5n=1先根据4=；、c，求出%的通项公式，再结合2的通项公式进行裂项相消法求和【详解】当w=l时，2%=0：+/,因为数列4各项为正，所以。=1.当22时，2sM=，所以2-S,i)=4一,+0,所以%-%t=1，所以数列/是首项为1，公差为1的等差数列.口/On(n+1)易知a“=n,S.=/所以数列也,的前2021项和为h.+h-y+a+仇me+bgr,=-111FH1223342020202120212022112023=2022=2022,故答案为:202320226 Xi)-六+i)，216.已知数列q的各项均为正数，q=3,

42、3a”数列2的前项和为s“，若兀s.对任意正整数都成立，则义-的取值范围是-：0.S=：/.s3w+,+l43w+,+l420n4-3111-00,*/ASfl/z/,A，所以%+产2。“，即，叱=2，所以数列。4是以4=2为首项，公比为2的等比数列，所以a“=2x2T=2,所以b,=2(+2卜亍，2s则也的前7项的和等于3+4-22+5+9-亍x7,令q=2(”+2),c“前7项的和为写,则7；=3-2+4-22+5-23+-.+9-27,27；=3-22+4-23+5-24+-,+9-2s,两式相减可得；-7；=3-2+23+23+-+27-9-284(1-26)=6+-/-9x28=6+

43、4x63-9x256=-2046-1-2所以1=2046,25所以他前7项的和为不-予7=2046-25=2021,故答案为：2021.19.已知“=2+1,记数列一的前“项和为7”，且对于任意的?；与,t则实数t的最大值是.【答案】162【分析】招数列通项化为一1一=:(占一不二)，裂项求和求得又对于任意的分类参数,得到关于的表达式，借助基本不等式求得最值.【详解】由题知,64+1 (2+ 1)(2+ 3) 2 2? + 1 2/7 + 3),= 1x(1-2 32 + 3)3(2+ 3)111111+ +2 3 5 5 7)2n + 1 2 + 3又对于任意的n ,2/1 + 1 + 11

44、贝 UAJ 3(2n+ 3) t(2n + 12)-3(2n + 3) , IjJ * i no =12 + 90 + , ntll2n + 90 + 90 + 2./12nx= 162,当 =3时等号成立,则实数1的最大值是162.故答案为：16220.数列%且凡= 2)10n-l24/7 + 12【分析】21=(+1丫得出:当22时，+?+.-+詈！=”2,两边作差得352-324=2h+1(ti2)an=41-1(22).an=4(n=l),1-4=一，即4n-l(n2)422/r-l2/2+1/.c1Oh_1/.(n2)S=(h2)v724+12、f【详解】含=(+jzi2时，ci|+

45、1,+-=n2,2-3得=(+1)2-2=2+l(N2),则4=(2-1)(2+1)=42-1(22).当=1时,由得4=4,不满足上式%=44(=1),4,72-l(n2)b、=(n2),111+一Snb,+A+a+,+/?4-1242135572/1-12/24-1(n2),又S=24+121714也满足上式,故答案为:4(=1),10-14n2-l(n2)；24”+12+2+ .+区=/、S23.已知数列alt的前项和为S”,且满足。+S=1,则广【答案】502【分析】由q,+S“=l,推得区=:(22),得到数列4表示首项为:，公比为I的等比数列，求得。”和S“，进而得到&=再结合等比

46、数列求和公式，即可求解.【详解】由数列的前项和S，且满足a+S=1,当心2时，J+S“_=1,两式相减，可得a,*+(S“一S,i)=24-41T=0,即+=；(22),an-乙令=1,可得q+S=2q=1,解得q=g,所以数列4表示首项为3，公比为g的等比数列，所以4所以8+&+邑+L+&=(2+2?+L+2S)-(1+1+L+1)n.a,a.4故答案为：502.已知数列a.的前项和为S“，点上在直线y=gx上.若=(1)a，数列,的前项和为。，则满足因420的的最大值为.【答案】13【分析】由题设易得/、=g，即可求M，进而得口，讨论为奇数、偶数求，结合己知不等关系求的最大值即可.【详解】

47、由题意知：T=g，则S,=2*，3+12”2当=1时,4=S=2；当22时，anSnSw_|=3h1而=3x11=2,bn=(一1)(3-1),.7；=-2+5-8+11-+(-1)”(3-1),当为奇数时，0,所以.=1(”22)i=2时，S1+S=a；nq+a,+a=a/n,=2所以%-4=1符号a向-4=1,故数列,是首项为1,公差为1的等差数列所以,=，贝1+133当为奇数时，Tn=-1-1,则42-:-1=一：且（-1H+122综上所述：Tne故答案为：,26.已知数列。满足：q=l,%=1，&+%+，l=l+6（N2且wN+）,等比3q。2anan-为奇数数列出公比夕=2,令%=为

48、,则数列的前项和S2”=.也,为偶数-4川-4【答案】2+3【分析】依据题意可得自，然后依据公式可得4,然后根据递推关系可得数列为等差数列，进一步得出4,最后分组求和可得结果.【详解】bbbb解：因为4=1,a,=-,+-iL=-2i+6（22且“eNj,34a24,%b,b,b-,可得=2时，一+=+6,即4+32=伉+6,q4%由等比数列的也的公比为g=2.即4+64=4伉+6,解得伉=2,所以=2,b、b、b、瓦，-，83.,当=3时，H-+=+6,gp2+3x4d=3x16+6,6Z|a、%a、%解得生=：，又冬+2+%=也-+6（23且NJ,aa2an-lan-2bbb-可得，-=-

49、441Tan-2BP=-,+=,44T%11,2又1=o=,所以数列上为等差数列，且公差=-=2,Jai%yii=f2(-1)=21,、凡4./2九-1,为奇数所又为偶数所以S?”=1+2?+5+24+(4-3)+22=(l+54-+4n-3)+(22+24+-+22w)_n(l+4n3)4(1-4) TOC o 1-5 h z 21-4故答案为：2/?2n+.3.已知数列4与低前项和分别为S，Tn,且40,25=a：N,2”+1”=（2+G（2+%）贝仆-【答案】哉【分析】由递推关系求得数列4的通项公式，代入.根据裂项求和的办法求得【详解】因为2S=a；+a“，所以当几.2/wN*时，2s衿

50、产。-，两式相减得：=；+“一；_1一/_1整理得,（4-%-1）（4+的）=0,由。0知，4,+。“_尸0,从而”一即当几.2,N”时,。一%=1当=1时,2q=a；+4，解得4=1或0（舍）,则q首项为1，公差为1的等差数列,则。=1+5-1）x1=.一2+1_11所以=（2+n）（2nt,+n+l）=2+-2+l+n+l则 7；川+4+ -.+2+ 2向+ +厂4432+6+1-135,44故答案为：三、解答题.数列。“中，5“为4的前项和，%=4,2S“=(a“+l)(wN)(1)求数列4的通项公式；(2)若%=(T)”吐L求数列匕的前2项和anan+【答案】(1)。“=3”-2【分析

51、】(1)由3与4的关系可得,为等差数列，再山等差数列的通项公式即可求解;(2)由裂项相消法求解即可当=1,则2q=q+l,所以4=1,当22时，(-2)2s=(h+1),2S=n(a+l)(neAT)(D,-得:(n-2)a=(n-l)an.1-1,(/j2),(n-3)a_,=(n-2)a.2-l,(n3),整理得2a,i=+a_2(n3),所以,为等是数列，d=tz-6f|=3,an=l+3(n-l)=3n-2；/61/tn+1(11|=(i+斗”+(雪斗+(2I4)(47j17ioj(6-56n-2)(6-26/2+1J6+129.已知各项均为正数的无穷数列。“的前项和为S“，且4=1,

52、吟=(+l)S+”+l”eN)(1)证明数列q是等差数列，并求出为的通项公式；(2)若数列也满足26用=6,+”(eN)设数列%满足c“=,证明：2a1Cl+C2+C“【答案】(1)证明见解析，a.=(eN,)(2)证明见解析【分析】(1)由递推关系构造等差数列手卜求出通项后得S“，山S”求a“即可；(2)由递推关系构造等比数列求出，对c“裂项后，利用相加相消求和即可得证.(1)因为5,川=(+l)S“+qq1所以石=2+;,+】n2S,所以数列。卜是以1为首项，5为公差的等差数列，51因此-=1+(-1)=-nH,n222当22时，a=Sn-S_t=n,又4=1符合上式,故a“=(eN*),

53、所以a“+i-a”=1，即4是等普数列.(2)由2。+|=+%=,+&=(1+1)=四，得细=4，annnnn+12n所以数列3是苜项为g，公比为g的等比数列，4勺即。等n+2：.c=-=Sn(2+).2十一裂项得C”=正一(+1)2向111C,+Cf+3=葛？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)【答案】4=(；)1(2)答案见解析【分析】(1)根据给定条件求出等比数列的公比即可得解.(2)根据选择的条件计算出等差数列,的公差及前“项和为S，再用裂项相消法求出乙即可列式计算作答.8设等比数列的公比为4(40)，由仇=8得：4=7,伉=的

54、，又伉一3%=4,81o11因此有一一24口=4,即6/+g-2=。，解得q=Q,q=-(舍去)，则(万广?=勺),所以数列的通项公式=g)T.若选：设等差数列4公差为d,则6=仇=2,$4=44+64=20,解得d=2,由1-7工兽，解得及15,而/为正整数，则上的最小值为16,所以存在正整数&满足要求，女的最小值为16.若选：设等差数列,公差为4则=2,3q+3d=2(4+2d),解得d=q=2,于是得s“=4+吗心=1+”，-=-r=-一一三,2Sn(+1)n+1由1-不二二解得攵15,而k为正整数，则的最小值为16,所以存在正整数后满足要求，攵的最小值为16.若选：设等差数列“公差为乩

55、则q=%=2,3(q+2d)-(q+3d)=8,解得d(一1)224于是得：S,=叫+-d=9+-n令口容得占十击T显然数列岛+)心N*)是递减的,当女=7时,即由丁二+丁二得2之7,则%的最小值为7A+1左+24所以存在正整数满足要求，女的最小值为7.31.在53=9,S5=20;公差为2,且5,邑，邑成等比数列；S.=3/+8；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为5，.(1)求数列叫的通项公式；(2)令,=1脸,其中国表示不超过x的最大整数，求q+q+。2。的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)答案

56、见解析(2)答案见解析【分析】选(1)由等差数列的前项和公式列方程组解得q和4后可得通项公式：(2)根据定义求出c,(lW420),然后求和.选(1)山等差数列的前项和公式结合等比数列性质求得坊后可得通项公式；(2)根据定义求出C(14420),然后求和.选(1)利用q=S,-22)和q=S,求得通项公式；(2)根据定义求出c.(14420),然后求和.选：设4的公差为d,则S“=q+心二Dd(3a,+3rf=9由已知可得s,”，解得q=2,d=4-lOa=20故叫的通项公式为a”=+l2x14x3选：因为S=4，S2=21+x2=2Z+2,S4=2a+x2=4+12,由题意得(2i+2)2=

57、4(4q+12),解得q=1,所以q的通项公式为a“=2-l选：当22时，a“=S-S“T=6+5当=1时，4=S=11,符合。“=6+5所以可的通项公式为4=6+5选2,3n73,7n154,15/?20所以C1+C2+。20=1x2+2x4+3x8+4x6=58选0,n=l1,=2由 c“=bg2 4,知 % =2,37753,5n94,9n165,167720所以q+，2+C20=0+1x1+2x2+3x4+4x8+5x4=69选3,=1由 c“=logM知 c“=，4,2n55,577106,10/I20所以G+C2+C20=3+4x3+5x5+6x11=1632.在a,=2-1,3仇

58、=27；+3;2S“=1+。“也=./“这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题.已知数列的q前项和是s“数列也)的前项和是r.，.(1)求数列4，血的通项公式；(2)设。二广,证明：+0+q+c”vL【答案】(1)答案不唯-具体见解析(2)证明见解析【分析】(1)选条件：由3。=27；,+3,3川=2人+3,可得=3bll,根据等比数列通项公式即可求解4；选条件：由2S“=2+a“，2sz=(+1)2+%,可得n+l-(+!)=-(-),利用迭代法可求4,借助已知条件可得4；(2)选条件：利用错位相减求和法求和后即可证明；选条件：利用裂项相消求和法求和后即可证明.解：选条件：由

59、地=27；+3,可得3g=2心+3,两式相减可得3向-3b,=2%,所以hn+x=3b.,在3d=2北+3中,令=1,可得的=24+3,所以=3,所以色卜是以3为首项，公比为3的等比数列，=3x3T=3”,故数列,的通项公式为。“=2-1,数列色的通项公式为=3；选条件:由2S=2+4,可得2s向=(+1)2+。刈两式相减可得2q+1=(+1)2-2+an+t-an,即a“+i+a”=2+1,所以%+1-(“+1)=_(。_)，在2S“=2+a“中，令=1,可得24=l+q,所以4=1，所以山4-=一%_1-(-1)，a_1-(-l)=-a_2-(n-2),la2-2=-(at-1)=0,所以

60、a“-”=1尸(Oj-1)=0,从而有4=n(neN,),所以S“=(1),bn=a2nS=nn+V),故数列。“的通项公式为4,=，数列2的通项公式为,=2(+1).(2)证明：选条件：由(I)知9=今二=(2-1)设 =q +C2+C3+ %,21两式相减口/得,M = + 2n4-1/；4-1所以M“=1,即。+g+qH1-=11：选条件：由知舟y33.在S“=2a“-2；$=14；邑，S?+2,耳成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.+c2 +3+- + = 11 1 t 1 4= 10）.选当22时，S,i=2a_,-2,；.an=S-Sn,=2a-2aM,；.