离散时间系统-时域分析方法

1、对于离散时间系统时域分析方法采用差分方程描述频域分析方法则通过Z变换或傅里叶变换实现本章主要内容： 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析信号和系统的频域特性。 2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2 序列的Z变换 2.3 系统函数与频率响应 本章学习要点理解离散时间信号的傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform：DTFT）的定义及基本性质了解序列的Z变换的定义、收敛域及基本性质掌握系统函数的定义和计算、与差分方程的关系、收敛域和系统的因果稳定性判别掌握频率响应的物理意义、计算以及几何确定法2. 1序列的傅立叶变换的定义及性质一、序列的傅里

2、叶变换的定义 连续时间信号x(t)的傅里叶变换： 而X(j)的傅里叶反变换定义为 离散时间信号x(n)的傅里叶变换（DTFT）： 反变换 在物理意义上，X(ej)表示序列x(n)的频谱，为数字域频率。 X(ej)一般为复数。 但是右边的级数并不总是收敛的，即并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。 只有当序列x(n)绝对可和 式中的级数才是绝对收敛的，或x(n)的傅里叶变换存在。二、常用序列的傅里叶变换 其傅里叶变换为？含义是什么 单位脉冲信号包含了所有频率分量，而且这些分量的幅度和相位都相同。 这就是用单位脉冲响应能够表征线性时不变系统的原因。 =1其傅里叶变换为 图 2.1 RN(n

3、)的幅度与相位曲线 设N=5，幅度与相位随变化曲线 其傅里叶变换为 设 a离散时间信傅里叶变换的两个特点：（1）X(ej)是以2为周期的的连续函数。（2）当x(n)为实序列时，X(ej)的幅值| X(ej) |在02区间内是偶对称函数，相位argX(ej)是奇对称函数。二、序列的傅里叶变换的性质 1.线性 设 则式中a，b为常数。 2.时移与频移 设 ，则 时移特性 频移特性 3.周期性 序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。 设一复序列，如果满足 则称序列为共轭对称序列。 如果满足 ，则称序列为共轭反对称序列。 比较：对于实序列中偶对称和奇对称的定义。 1）任一序列可表示为共轭对称序列

4、与共轭反对称序列之和（如是实序列，就是偶对称序列和奇对称序列之和） 类似地，序列的傅里叶变换 可以被分解成共轭对称与共轭反对称两部分之和。 2）DTFT的对称特性（同学们自己证明） 若x(n)为实序列，则推论 对于实序列的 DTFT，要画出 X(ej)的幅频特性，只需要 X(ej)半个周期即可，通常在实际中是选择0, 的部分。 5.时域卷积定理 若 ，则 6.频域卷积定理（复卷积定理） 若 ，则 7.帕斯瓦尔（Parseval）定理 信号时域的总能量与频域中的总能量是一样的。三、MATLAB实现例2-1 ， ，求离散时间傅里叶变换并探讨其周期性。解：因为x(n)是复值的，它只满足周期性，被唯一

5、地定义在一个2 周期上。因此，可以在-2，2之间的两个周期中的401个频点上作计算以观察周期性。n = 0:10; x = (0.9*exp(j*pi/3).n;k = -200:200; w = (pi/100)*k;X = x * (exp(-j*pi/100) . (n*k); %用矩阵-向量乘法求DTFTmagX = abs(X); angX =angle(X);subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX);axis(-2,2,0,8); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX/pi);axis(-2,2,-1,1); 是周期的，但不是共轭对称的

6、。 对 例2-2解：对实序列，我们只需画出它们从（0-）间的傅里叶变换的模和相角响应。2.2 序列的Z变换 序列的傅里叶变换频域分析； 推广：序列的Z变换复频域分析。一、序列x(n)的Z变换定义及收敛域其中，z是复变量。 对于任意给定的序列，使Z变换收敛的z值集合称作收敛区域。级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件： 一般来说，Z变换将在z平面上的一个环形区域中收敛，收敛域为 式中，Rx-和Rx+称为收敛半径。Rx-和Rx+的大小和序列有密切的关系。收敛域 例2-3 求序列 和 的Z变换。 解： 收敛域不同对应于不同的序列。当给出Z变换函数表达式的同时，必须说明它的收敛域后，才能单值的确定它

7、所对应的序列。 结论二、序列的形式与其Z变换收敛域的关系 序列x(n)的形式决定了X(z)的不同的收敛区域 1有限长序列 这类序列只在有限的区间（n1nn2）具有非零的有限值。其Z变换为 因为X(z)是有限项级数之和，故只需级数的每一项有界，则级数就收敛，即要求 |x(n)z-n| 由于x(n)有界，故要求|z-n| 显然，在 0|z|上都满足此条件。 在n1、n2满足特殊条件下，收敛域还可进一步扩大：? 有限长序列 例2-4 ，求此序列的Z变换及收敛域。 收敛域是整个z的闭平面。 这类序列是有始无终的序列。即 当nn1时，x(n)有值，当nn1时， x(n)=0。其Z变换为其收敛域为 注意：

8、如果n10，即序列是因果序列，Z变换在z=处收敛。 最重要的一种右边序列 图2-7 右边序列及其收敛域（n1n2时，x(n)=0。其z变换为其收敛域为 注意：如果n20，则收敛域包括z=0， 左边序列及其收敛域（n20， |z|=0除外） 左边序列 双边序列是从n=-延伸到n=+的序列。其Z变换为： 显然，可以把它看成右边序列和左边序列的z变换叠加。如果Rx-Rx+，则存在一个如下的公共收敛区域 所以，双边序列的收敛域通常是环状区域。 例2-8 ，a为实数，求其Z变换及收敛域。 解： 若|a|1，则存在公共收敛域 图2-9 双边序列及收敛域 图2-10 Z变换无收敛域的序列双边序列小结三、 Z

9、反变换 已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变换，Z反变换表示为： c是X(z)收敛域中一个逆时针方向环绕原点的围线。 求Z反变换的方法通常有三种：留数法部分分式展开法长除法即：x(n)等于X(z)zn-1在围线c内所有极点上留数的总和。 * 当zi为单阶极点时，有* 当zi为k阶极点时，有 若 在围线c以内的所有极点集合为 ，则根据留数定理 在实际应用中，序列的Z变换通常是z的有理函数，一般可以表示成有理分式形式 式中，A0和Am分别是 在极点0和一阶极点z=zm处的留数，即 例2-9 求 , 的Z反变换。 解： 全为一阶极点，故极点上的留数为：所以， 根据给定的收敛域，可

10、知第一项对应于因果序列，第二项对应于左边序列，因此3.长除法（幂级数展开法） 在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。 自学四、MATLAB实现 在MATLAB中，可用residuez()函数计算出有理函数的留数部分和直接（或多项式）项。 其分子、分母都按z-1的递增顺序排列。 用语句R,p,C= residuez(b,a)可求得X(z)的留数、极点和直接项，分子、分母多项式A(z)和B(z)分别由矢量a，b给定。例2-12 将 展开成部分分式形式。 解 首先将 按的升幂排列： MATLAB程序如下：运行结果：R = 0.5000 -0.5000，p =1.0000 0

11、.3333，C = b = 0,1; a = 3,-4,1;R,p,C = residuez(b,a)类似的，可将其变成有理方程。 MATLAB程序为 b,a = residuez(R,p,C)运行结果： b =-0.0000 0.3333，a =1.0000 -1.3333 0.3333 可得到原来的有理函数形式 五、Z变换的性质1.线性 若 则 相加后序列Z变换的收敛域一般为两个相加序列收敛域的重叠部分。如果线性组合中某些零点与极点相互抵消，则收敛域可能扩大。例2-13 已知 ，求其Z变换。 解 若 ，则位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。证明：例2-14 求序列 的Z变换。 解:

12、零点与极点相互抵消，收敛域扩大。3.Z域尺度变换（乘以指数序列） 若 ，则4.序列的线性加权（Z域求导数或X(z)的微分） 若 ，则 若 ， ， ，则例2-15求 。解：2.3 系统函数与频率响应2.3.1 系统函数的定义 设x(n)、y(n)和h(n)分别是线性时不变系统的输入、输出和单位取样响应，X(z)、Y(z)和H(z)分别表示相应的Z变换。 由于 ，对应的Z变换为 定义线性时不变系统的输出Z变换与输入Z变换之比为系统函数 它是单位脉冲响应h(n)的Z变换。在单位圆上（即|z|=1的系统函数就是系统的频率响应。 2.3.2 系统函数和差分方程 一个线性时不变系统，可用常系数线性差分方程

13、来描述。考虑一个N阶差分方程对上式两边求Z变换则分子、分母均为z-1的多项式，其系数也正是差分方程的系数。根据系统函数求差分方程 例2-17 解： 2.3.3 系统函数的收敛域与系统的稳定性 系统函数 由Z变换收敛域的定义 当 时，上式变成 系统稳定的充要条件（时域条件）。 这说明，如果系统函数的收敛域包括单位圆，则系统是稳定的。 因果系统其单位脉冲响应h(n)一定满足h(n)=0（n0），那么其系统函数的收敛域一定包含。 因果稳定系统的收敛域例2-18 已知 ， 分析其因果性和稳定性。 解： 的极点为 讨论：（1）当收敛域为 但收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。 时，对应的系统是因果系统

14、，单位脉冲响应 （2）当收敛域为 不稳定系统。单位脉冲响应 时，对应的系统是非因果且（3）当收敛域为 但收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。 时，对应的系统非因果，收敛的双边序列 非因果但稳定系统单位脉冲响应的近似实现 2.3.4 频率响应 线性时不变系统的基本特性：对于一个正弦输入的稳态响应也是一个正弦，其频率与输入相同，其幅度和相位取决于系统。正是由于线性时不变系统具有这种特性，使得信号的正弦或复指数表示法在线性系统分析中起着非常重要的作用。 对于离散时间线性时不变系统，是否也具有上述特性？讨论： 假设输入序列 称为系统的频率响应 输出序列仍是与输入序列同频率的复指数序列。 频率响应描述的是

15、复指数序列通过线性时不变系统后，复振幅（包括幅度和相位）的变化。例2-19 设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定 若系统是因果的，试求：（1）该系统的单位脉冲响应；（2）当输入 时的系统频率响应。 解 （1）对差分方程两端分别进行Z变换可得则系统函数为收敛域为 为什么？对系统函数 进行Z反变换，可得单位脉冲响应为 （2）系统的频率响应 系统是线性时不变且因果稳定的。 当输入 时，可得输出响应为 H(z)分子、分母因式分解，可得它在z平面上的零、极点。将 代入上式 N=M在z平面上 可用一根由零点 指向单位圆上 点的向量 来表示 同样 可用一根由极点 指向单位圆上 来表示 向量 点的因此

16、 频率响应的模 叫做振幅响应（或幅频响应） 频率响应的相位 叫做系统的相位响应。频响的相位函数则由这些向量的幅角所确定。 由各零、极点指向 点的向量幅度来确定。当频率由0到 旋转一周，从而可以估算出整个系统的频响来。 时，这些向量的终点沿单位圆逆时针方向结论： （1）原点处的极点和零点对频率响应的幅度无影响，它们只是在相位中引入一个线性分量； （2）极点主要影响频响的峰值，极点越靠近单位圆，峰值就越尖锐，当极点处于单位圆上，该点的频响就出现，这相当于该频率处出现无耗谐振； （3）零点主要影响频响的谷值，零点越靠近单位圆，谷值越小，当处于单位圆上时，幅度为0。例2-21 已知 利用几何法分析系统

17、的幅频特性。 解:极点：z=0（N阶极点）零点：令 则 N个零点等间隔分布在单位圆上。 取N=8时，极零点分布和幅频特性如图 例2-22 利用几何法分析矩形序列的幅频特性解： 零点 极点 （N-1阶）， 设N=8，z=1处的极点和零点相互抵消。 IIRFIR设一个因果系统的差分方程为为实数 求系统的频率响应。解 将差分方程等式两端取Z变换，可求得单位脉冲响应为该系统的频率响应为幅度响应为 相位响应为h(n)无限长设系统的差分方程为 试求其频率响应。解 这是M-1个单元延时及M个抽头相加所组成的电路， 称之为横向滤波器。 令 将所给差分方程等式两端取Z变换，可得系统函数为零点满足 ，即 极点（M

18、-1阶极点） 其中 第一个零点 和单极点 相抵消。 当输入为 时，系统只延时（M-1）位就不存在了 故 只有M个值，即 M=6及 条件下h(n)有限长2.3.5 IIR和FIR系统1.无限长单位冲激响应(IIR)系统 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n)延伸到无穷长，即n时， h(n)仍有值，这样的系统称作无限长单位脉冲响应系统，简称IIR（Infinite Impulse Response）系统。 一个线性时不变系统的系统函数可以表示为 只要有一个 不为零，则序列就是无限长的。 该系统的差分方程为 在任何时刻系统的输出响应不仅与此时刻和此时刻以前时刻的输入有关，而且与此时刻以前的输出有

19、关。在由差分方程确定输出时，需要进行迭代运算。因而通常将这种差分方程称为递归方程，这种方程所描述的系统也称为递归系统。 2有限长单位冲激响应（FIR）系统 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n)是有限长序列，这样的系统称作为有限长单位脉冲响应系统，简称FIR（Finite Impulse Response）系统。 ak全为零，则序列就是有限长的。 描述该系统的系统函数和差分方程分别为 在任何时刻系统的输出只与此时刻和此时刻以前的输入有关。在由差分方程确定输出时，不需要进行迭代运算。因而通常将这种差分方程称为非递归方程，这种方程所描述的系统也称为非递归系统。2.3.6 MATLAB实现1.零

20、极点图 在MATLAB中，可以用DSP工具箱中的zplane(b,a)函数或pzplotz(b,a)函数，由给定的分子行向量和分母行向量绘制成系统的零极点图，符号“o”表示零点，符号“”表示极点，图中还给出了用作参考的单位圆。 例2-25 已知某系统的系统函数为求其零、极点并绘出零、极点图。 解 MATLAB实现程序： b=0.3 0.1 0.3 0.1 0.2; a=1 -1.2 1.5 -0.8 0.3; r1=roots(a) % 求极点 r2=roots(b) % 求零点 zplane(b,a)MATLAB 运行结果为：r1= 0.1976 + 0.8796i 0.1976 - 0.8

21、796i 0.4024 + 0.4552i 0.4024 - 0.4552ir2=0.3236 + 0.8660i 0.3236 - 0.8660i -0.4903 + 0.7345i -0.4903 - 0.7345i 可以用freqz函数来求系统的频率响应。用法为： H, w= freqz(b,a,N)在上半单位圆（0）的等间隔的N个点上计算频率响应。 H, w= freqz(b,a,N,whole)在整个单位圆（02）等间隔的N个点上计算。 H= freqz(b, a, w)计算在矢量w中指定的频率处的频率响应。例2-26 已知因果系统，绘出 的幅度和相位特性曲线。 解：由差分方程可以得

22、到 MATLAB实现程序： b = 1,0; a = 1, -0.9; H,w=freqz(b,a,100,whole); magH = abs(H); phaH = angle(H); subplot(2,1,1), plot(w/pi,magH); grid subplot(2,1,2); plot(w/pi,phaH/pi);gridMATLABMATLAB3. 差分方程求解滤波 在MATLAB中，可用一个filter函数来求在给定输入和差分方程系数时的差分方程的数值解。子程序调用的简单形式为： y=filter(b,a,x)其中 b，a是由差分方程或系统函数给出的的系数组；而x是输入序列数组。 说明： y=filter(b,a,x)是利用给定的矢量a和b（数字滤波器系数）对输入x中的数据进行滤波。 例2-27 一个线性时不变系统，描述它的