一级倒立摆的建模及控制分析报告

1、.wd.wd.wd.研究生?现代控制理论及其应用?课程小论文一级倒立摆的建模与控制分析 学院： 机械工程学院 班级： 机研131 姓名： 尹润丰学号： 201321202016 2014年6月2日目录TOC o 1-3 t h z u HYPERLINK l _Toc21326 1. 问题描述及状态空间表达式建设 PAGEREF _Toc21326 - 1 - HYPERLINK l _Toc10813 1.1问题描述 PAGEREF _Toc10813 - 1 - HYPERLINK l _Toc2608 1.2状态空间表达式的建设 PAGEREF _Toc2608 - 1 - HYPERL

2、INK l _Toc3336 1.2.1直线一级倒立摆的数学模型 PAGEREF _Toc3336 - 1 - HYPERLINK l _Toc27034 1.2.2 直线一级倒立摆系统的状态方程 PAGEREF _Toc27034 - 5 - HYPERLINK l _Toc32002 2.应用MATLAB分析系统性能 PAGEREF _Toc32002 - 6 - HYPERLINK l _Toc32288 2.1直线一级倒立摆闭环系统稳定性分析 PAGEREF _Toc32288 - 6 - HYPERLINK l _Toc25779 2.2 系统可控性分析 PAGEREF _Toc25

3、779 - 7 - HYPERLINK l _Toc24419 2.3 系统可观测性分析 PAGEREF _Toc24419 - 8 - HYPERLINK l _Toc24460 3. 应用matlab进展综合设计 PAGEREF _Toc24460 - 9 - HYPERLINK l _Toc23577 3.1状态反响原理 PAGEREF _Toc23577 - 9 - HYPERLINK l _Toc17991 3.2全维状态反响观测器和simulink仿真 PAGEREF _Toc17991 - 9 - HYPERLINK l _Toc9069 4.应用Matlab进展系统最优控制设计

4、 PAGEREF _Toc9069 - 11 - HYPERLINK l _Toc18263 5.总结 PAGEREF _Toc18263 - 13 -问题描述及状态空间表达式建设1.1问题描述倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进展研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的开展。下对于倒立摆系统，经过小心的假设忽略掉

5、一些次要的因素后，它就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建设系统的动力学方程。下面采用其中的牛顿欧拉方法建设直线一级倒立摆系统的数学模型。 1.2状态空间表达式的建设1.2.1直线一级倒立摆的数学模型图1.1 直线一级倒立摆系统 本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。 图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。图1.2 系统中小车的受力分析图图1.3是系统中摆杆的受力分析图。Fs是摆杆受到的水平方向的干扰力, Fh是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为的干扰力Fg。图1.3

6、摆杆受力分析图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：设摆杆受到与垂直方向夹角为 的干扰力Fg，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS、垂直干扰力Fh产生的力矩。对摆杆水平方向的受力进展分析可以得到下面等式： 即：对图1.3摆杆垂直方向上的合力进展分析，可以得到下面方程： 即 力矩平衡方程如下： 代入P和N，得到方程：设，是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度，代入上式。假设 A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0; B=0;1;0;3; T=ctrb(A,B); rank(T)ans = 4由于ra

7、nkIc=4，可见该系统是完全可控的。2.3 系统可观测性分析系统的可控性可根据秩判据进展可控性判断。线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是：或其中n为系数矩阵A的阶次。matlab程序及运行结果如下： A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0; C=1 0 0 0;0 0 1 0; T0=obsv(A,C);rank(T0)ans = 4由于rankT0=4，故该系统是可观测的。应用matlab进展综合设计3.1状态反响原理设维线性定常系统： 其中x,u,y分别是n维、p维、q维向量；A、B、C分别是n*n维，n*p维，n*q维实数矩阵。状态反响系统的控制量

8、u取为状态x的线性函数：其中，v为p参考输入向量，K为p*n维实反响增益矩阵。 参加状态反响后系统的构造图如图3.1所示：图3.1 系统的全状态反响构造图 那么系统状态反响的动态方程为： 3.2全维状态反响观测器和simulink仿真状态反响的的实现是利用状态反响使系统的闭环极点位于所希望的极点位置。而状态反响任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。直线一级倒立摆系统是可控的。 设系统期望极点为=，那么系统期望特征多项式为：列写状态反响系统的特征多项式： 令两个特征多项式各项系数对应相等，那么可解出K阵。由matlab求出状态反响矩阵K，编程如下： A=0 1 0 0;0 0 0 0;0

9、 0 0 1;0 0 29.4 0; B=0;1;0;3; K=acker(A,B,-2 -3 -4+3i -4-3i)K = -5.1020 -5.8844 35.1673 6.2948系统参加0.1m/s2的阶跃输入，在构成的状态反响调节器控制下，MATLAB中进展系统的阶跃响应仿真，编程如下：A=0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 29.4 0;B1=0 1 0 3;C=1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1;D1=0 0 0 0;dt=0.005;ieof=801;for i=1:ieof; U(:,i)=0.1; T(i)=i*dt;end

10、; %离散化op=-2 %期望极点 -3 -4+3i -4-3i;K=place(A,B1,op)Ak0=(A-B1*K);Bk0=B1;Ck0=C;Dk0=D1;lqrop=eig(Ak0);x=0 0 0 0;dt=0.005;%离散时dA,dB=c2d(Ak0,Bk0,dt);%经离散化得到离散状态方程Ak1=(A-B1*K);Bk1=B1;Ck1=C;Dk1=D1;sys=ss(Ak1,Bk1,Ck1,Dk1);Y,X=lsim(sys,U,T);plot(T,-Y),grid;legend(Cart,VCart,single,Vs);图3.2 极点配置为-2 -3 -4+3i -4-

11、3i时的全状态反响仿真图 横轴时间单位秒，从图中可以看出，系统稳定。4.应用Matlab进展系统最优控制设计最优控制问题就是寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律，使系统能最优地到达预期的目标。对于线性连续系统，提出二次型目标函数： 其中，R(t)正定，S及Qt)半正定，且设它们为对称矩阵，固定。当趋近无穷时，在情况下，该问题即为无限时间输出调节器问题。此时稳态误差项趋于零，在此题目中假设二次型最优控制性能指标为：其中： R=1Matlab编程如下： A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;B=0;1;0;3;C=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0

12、1 0;0 0 0 1;D=0 0 0 0;Q=500 0 0 0;0 30 0 0;0 0 50 0;0 0 0 10;R=1; K,P,e=lqr(A,B,Q,R)K = -22.3607 -17.4697 70.1041 13.2462在simulink下进展仿真模型的建设，如图4.1：图4.1 LQR仿真模型将K输入后，进展仿真，结果如图4.2：图4.2 LQR仿真结果由图可见，在二次型最优控制下系统稳定性得到明显改善。5.总结 通过对一级倒立摆的分析可知，在开环情况下，倒立摆的平衡系统是不稳定的的；通过秩判据可知，其系统是可控可观测的；通过状态反响对极点进展配置后，使极点都位于虚轴左侧，那么经过极点配置的倒立摆稳定，又