空间几何体的三视图及表面积和体积的计算问题

1、专题四立体几何第1讲空间几何体的二视图及表面积和体积的计算问题高考定位1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问真题感悟（2016全国I卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28n则它的表面积是（）3帕视图B.18nA.17nC.20nD.28n解析由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球（被过球心0且互相垂直的三个平面）171切掉左上角的后得到的组合体，其表面积是球面面积的直和三个玄圆面积之和，7212易得球的

2、半径为2,则得S=8X4nX2+3X严2=17n.答案A（2017全国U卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）、7片12zLJ290nB.63nC.42nD.36n解析法一（割补法）由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的1体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的-，所以该几何体的体积V=221nX3X4+nX3X6X=63n.12法二（估值法）由题意知，2圆柱几何体V圆柱，又V圆柱=nX3X

3、10=90n,二45n几何体90n观察选项可知只有63n符合.答案B（2017全国川卷）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个TOC o 1-5 h z球的球面上，则该圆柱的体积为（）Am3nA.nB4 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document nnc.2D.4解析如图画出圆柱的轴截面ABCD,O为球心.球半径R=OA=1,球心到底面1圆的距离为OM=2.底面圆半径r=.OA2-OM2=23，故圆柱体积答案B（2017全国I卷）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA丄平面SCB,SA=AC,SB=

4、BC,三棱锥SABC的体积为9,则球O的表面积为.解析如图，连接OA,OB,因为SA=AC,SB=BC,所以OA丄SC,OB丄SC.因为平面SAC丄平面SBC，平面SACA平面SBC=SC,且OA?平面SAC，所以OA丄平面SBC.设球的半径为r，贝U0A=0B=r,SC=2r,1111所以Va-sbc=gXSsbcX0A=-x2rxrxr=罗3,所以13=9?r=3,所以球的表面积为4n-=36n.答案36n考点整合空间几何体的三视图（1）几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等（2）由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体.空间

5、几何体的两组常用公式（1）柱体、锥体、台体的侧面积公式：S柱侧=ch（c为底面周长，h为高）;1S锥侧=-chc（为底面周长，h为斜高）；S台侧=*（c+chjc（，c分别为上下底面的周长，h为斜高）；S球表=4n（R为球的半径）.柱体、锥体和球的体积公式：V柱体=Sh（S为底面面积，h为高）;1V锥体=3Sh（S为底面面积，h为高）;43v球=3nR.烈点聚焦丨题型突锁丨研热点.析甫度.热点一空间几何体的三视图与直观图【例1】（1）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟

6、合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）（2017泰安模拟）某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，贝U该三棱锥最长的棱长等于（）3441解析（1）由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图（2）根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形，两侧面垂直于底面,高为5的三棱锥PABC（如图所示）.棱锥最长的棱长PA=；25+16=41.答案（1）B（2）C探究提高1由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规

7、则确认二要熟悉常见几何体的三视图2.由三视图还原到直观图的思路（1）根据俯视图确定几何体的底面根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置确定几何体的直观图形状【训练1】（1）（2017兰州模拟）如图，在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之和为（）A.1C.3（2）（2016天津卷）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（）正视图解析（1）设点P在平面AiADDi的射影为P,在平面CiCDDi的射

8、影为P，如图所示.三棱锥P-BCD的正视图与侧视图分别为PAD与厶PCD,因此所求面积S=SxPAD+Sacd=1x1X2+1x1X2=2.，故其侧视图为图由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图答案(1)B(2)B热点二几何体的表面积与体积命题角度1空间几何体的表面积【例2-1】（1）（2016全国II卷）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）*4-H3,不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.3由2R=3,即R=2439故球的最大体积v=3伙=9冗答案B【迁移探究】若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球0的球面上

9、”，若AB=3,AC=4,AB丄AC,AAi=12,求球O的表面积.解将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1,则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球.体对角线BC1的长为球O的直径.因此2R=32+42+122=13.故S球=4nR2=169n.探究提高1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P,A,B,C中PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【训练4

10、】(2017济南一中月考)已知A,B是球O的球面上两点，/AOB=90C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36nB.64nC.144nD.256n解析因为AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O1122ABC的体积取得最大值.由2RXR=36,得R=6.从而球O的表面积S=4nR=144n.答案C旧躺总结思雄升华I探规律阴失误1求解几何体的表面积或体积对于规则几何体，可直接利用公式计算对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰

11、三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.求解几何体的表面积时要注意S表=S侧+S底.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为_23a，号，a.11锥体体积公式为V=Sh,在求解锥体体积中，不能漏掉3.专题训竦对接高考I一、选择题(2017北京燕博园研究中心)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是2B.2nD.8nA.nC.3n解析由三视图知，该几何体是一个圆柱挖去一个同底的圆锥二该几何体的体积V=3XnX12一3n12X3=2n.答案B某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是iF.视阳側视图俯视图D.3S底=g

12、(1+2)X2止视I創俯视图A.2解析由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且1=3.V=x3=3，解得x=3.答案D3.（2017衡阳联考）如右图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，贝吐匕几何体的表面积为（）A.6nC.4n2B.n+.3D.2n+3.表面积解析此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球组合而成4n1为S=+x2X2n=4n.答案C（2017浙江卷）某几何体的三视图如图所示仲位：cm）,则该几何体的体积仲位:cm3)是()B.n+3,3n门D.q+3nA.q+13n,c.-+1解析由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面1半径为1,高

13、为3,三棱锥的底面积为2X2X1=1,高为3.111n故原几何体体积为：V=2XnX12X3X3+1X3X3=2+1.答案A（2017衡水中学调研）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球I2I正觇图側视图B.4144n41.41A.48nC.4n解析由三视图知该几何体为四棱锥，侧面PBC为侧视图，PE丄平面ABC,E,F分别是对应边的中点，底面ABCD是边长是2的正方形，如图所示EC设外接球的球心到平面ABCD的距离为h,2223241则h+2=1+(2-h)，二h=4，R=16几何体的外接球的表面积s=4nR=41n.答案B二、填空题（2016四川卷）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的

14、等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是庸卜肩一I正觇图I取4片T解析由题可知，：三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如右俯视图，且三棱锥咼为h=1，则体积V=Sh=2X2,3X1x1=33.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为解析设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2.设球的半径为R,则2R=.3a，即R=.3.所以球的表面积S=4nR=12n.答案12n（2017江苏卷）如图，在圆柱O1O2内有一个球0,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球0的体积为2,则浮的值是.V2解析设球半径为R,则圆柱底面圆半径为R,母线

15、长为2R.2343又V1=nR2R=2tR,V2=3tR,3-2-3R冗4-3-W1V2以所三、解答题(2015全国U卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=16,BC=10,AAi=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.DC,A,（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值.解（1）交线围成的正方形EHGF如图所示.4iCMHD如图，作EM丄AB,垂足为M,则AM=AE=4,EB1=12,EM=AA=8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH=EF=BC

16、=10.于是MH=.EH2EM2=6,AH=10,HB=6.1故S四边形A1EHA=2X(4+10)X8=56,S四边形EB1BH2(12+6)X872.因为长方体被平面a分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为79也正确.(2017沈阳质检)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AAiCiC丄底面ABC,AA1AiCACABBC2,且点O为AC中点.证明：A1O丄平面ABC;求三棱锥C1ABC的体积.(1)证明因为AA1A1C，且O为AC的中点，所以AQ丄AC,又平面AA1C1C丄平面ABC，平面AA1C1CG平面ABCAC,且A1O?平面AA1C1C,：A1O丄平面ABC.(2)解tA1C

17、1/AC,A1C1?平面ABC,AC?平面ABC,A1C1/平面ABC,即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离.由(1)知A1O丄平面ABC且A1OAA2AO23,Vc1ABCVa1ABC113SabcA1O3X12X2X：3X.；31.11如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE丄平面ABCD.(1)证明：平面AEC丄平面BED;(2)若/ABC120AE丄EC,三棱锥EACD的体积为当，求该三棱锥的侧面积.(1)证明因为四边形ABCD为菱形，所以AC丄BD.因为BE丄平面ABCD,AC?平面ABCD,所以AC丄BE,且BEGBD=B,故AC丄平面BED.又AC?平面AEC,所以平面AEC