2022-2023学年人教A版必修第一册 第四章 4.4.3不同函数增长的差异 学案

1、第四章 指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.3不同函数增长的差异素养导引1.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异(直观想象)2.理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义(数学抽象)三种函数的性质及增长速度比较指数函数对数函数一元一次函数解析式y=ax QUOTE a1 eq blc(rc)(avs4alco1(a1) y=logax QUOTE a1 eq blc(rc)(avs4alco1(a1) y=kx QUOTE k0 eq blc(rc)(avs4alco1(k0) 单调性在 QUOTE 0,+ eq blc(

2、rc)(avs4alco1(0，) 上单调递增图象(随x增大)趋向于和x轴垂直趋向于和x轴平行呈直线上升增长速度(随x增大)y的增长速度越来越快y的增长速度越来越慢y的增长速度不变归纳总结总会存在一个x0,当xx0时,axkxlogax【批注】关于三种函数的增长速度：(1)随x的增大，y增长的速度快慢对应图象的“陡”“缓”；指数型函数增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；对数型函数增长的速度越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；函数值的大小不等同于增长速度大小，数值大不一定增长速度大，增长速度体现在函数值的变化趋势上(2)使函数值相等的自变量的值可视为临界点，因此可以理解为自变量足够大时一定会

3、出现x0.当然x0不唯一，比x0大的任意一个实数也可以作为x0.诊断下列函数中，增长速度越来越慢的是()Ay6xBylog6xCyx2 Dy6x【解析】选B.四种函数增长速度中，对数函数的增长速度最慢学习任务一函数增长速度的差异(数学抽象)1下列函数中，增长速度最快的是()Ay2 022xBy eq f(1,2 022) exCylog2 020 x Dy2 022【解析】选B.指数函数的增长速度最快2在同一坐标系中，画出函数yx5和y2x在(0，)上的图象，并比较x5与2x的大小【解析】函数yx5与y2x的图象如图所示：当00)的增长特点是直线上升，其增长速度不变(2)指数函数模型：指数函数

4、模型yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”(3)对数函数模型：对数函数模型ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓(4)幂函数模型：幂函数yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间学习任务二函数增长速度差异的应用(直观想象、数学运算)角度1求范围【典例】(多选题)如图，能使不等式log2xx22Bx4C0 x2 D2x4或0 x2时，符合不等式log2xx2 lg xB2xlg xC2xlg x Dlg x2x【解析】选A.结合y2x，y及ylg x的图象易知，当x(0，1)时，2x

5、lg x. (2)已知1aa2aB2a0.2aaCa0.2a2a D2aa0.2a【解析】选A.因为1a0，故函数yxa在(0，)上单调递减，因为0.2 eq f(1,2) a2a.关于函数增长速度的应用(1)准确作图是解题的关键，一是区别函数不同的增长速度；二是注意两个函数的交点，无法求出的可以用字母代替；(2)利用图象高低，可以求出满足不等式的自变量的范围，或者直观比较一些无法计算的函数值的大小已知函数f(x)2x和g(x)x3，在同一坐标系下作出它们的图象，结合图象比较f(8)，g(8)，f(2 022)，g(2 022)的大小【解析】列表：x10123f(x) eq f(1,2) 1248g(x)101827描点、连线，得如图所示图象：设函数f(x)2x对应的图象为C2，函数g(x)x3对应的图象为C1.因为g(1)1，f(1)2，g(2)8，f(2)4，g(9)729，f(9)512，g(10)1 000，f(10)1 024，所以f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以1x12，9x210，所以x18x22 02