空间角和距离专题

1、 空间角和距离专题在高考的立体几何试题中，求角与距离是常考查的问题，其传统的“三步曲”解法：“作图、证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是教学和学习的难点向量进入高中教材，为立体几何增添了活力，新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题.(1)求异面直线所成的角分别在直线m,n上取两个定向量a,b，则异面直线m,n所成的角：等于向量a,b所成的角或其补角B,则cos0=cos日|=Fb_特殊情形:|a|b|a_b=ab=0,即异面直线a垂直于b。例1如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABQQi中，E、F分别是棱ADi,AB的中点.ABn的法向量n(如图所示)，再求cos

2、-|AB|In|IADI则sin卩=cos=cosl注：AB,n=T,，、BA,n=6且日+q=180IABIIn|如例1(2)问(3)求二面角方法1:先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角.方法2:(法向量法)构造二面角-的两个半平面:-、：的法向量n、n2(都取向上的方向，如图所示)1)若二面角-|-1是“钝角型”的如图甲所示，那么其大小等于两法向量m、压的夹角的补角,nin2即COS=-COSTI=|ni|n212)若二面角-|-1是“锐角型”如图乙所示，那么其大小一一丄mm等于两法向量n1、n2的夹角即cos$=|cos引=丄丄.|ni|In?|

3、例2.如图，三棱柱中，已知ABCD是边长为1的正方形，四边形AABB是矩形，平面AABB_平面ABCD若AA=1,求直线AB到面DAC的距离.试问：当AA的长度为多少时，二面角D-AC-A的大小为60?例3.正三棱柱ABC-ABiG的所有棱长均为2,P是侧棱AA上任意一点.(I)求证：直线B,P不可能与平面ACC1A1垂直；(II)当BG一BP时，求二面角C-BP-G的大小的余弦值2.求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求.(1)求点面距离(推广到线面、面面之间的距离)方法：如图，易知点A到平面:-

4、的距离d=|PA|cos而|PA叫|PA|n|其中n是平面的一个法向量，PA是平面的斜向量则点A到平面的距离d等于AP在n上的射影长，即点A到平面:的距离为：d=1APn1|n|(2)求异面直线的距离法一、找平面使b且a，则异面直线a、b的距离就转化为直线a到平面：的距离，又转化为点A到平面-的距离.法二：如图，d是异面直线a与b的距离，n是直线a与b的一个法向量A、B分别是直线a,b上的点，显然：d=|AB|cos=,又cos|ABti|m,-aa.一|AB|n|AB-n|n|例4.如图，在正三棱柱AiBiCiABC中，D,E分别是棱BC、CG的中点，AB二AA=2,(I)证明：BE_AB1

5、；(n)求二面角B-AR-D的大小；(川)求异面直线AB与BE的距离。练习:1、在正四面体S-ABC中，棱长为a,E,F分别为SA和BC的中点，求异面直线BE和SF所成角的余弦值.2、在边长为1的菱形ABCD中，.ABC=60，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=1,求二面角B-AC-D的余弦值.3、在直三棱柱ABC-ARG中，.A=90,O,O,G分别为BCBCjAA的中点，且(1)、求Oi到面ACBi的距离;(2)、求BC到面GBCi的距离.如图，在三棱椎P-ABCBAC=90,D,E,F分别是棱AB、BC、CPAB=AC=i,PA=2,(I)求直线PA与平面DEF所成角的大小;(H)求点P到平面DEF的距离。5、如图，直三棱ABC-AiBiCi中,ZACB=90,AC=AAi=