线性代数讲义2教

1、第二章矩阵矩阵是线性代数的重要组成部分，也是以后各章中计算的重要工具.在矩阵的理论中，矩阵的运算起着重要的作用.我们在这一章里，将要介绍矩阵的基本概念及其运算.2.1矩阵的定义一、矩阵的定义首先看几个例子.例 1设有线性方程组x15x2x3x41x12x2x33x433x18x2x3x41x19x23x37x47这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个矩形阵列如下：15111121333811119377这个阵列决定着给定方程组是否有解？以及如果有解，解是什么等问题 .因此对这个阵列的研究很有必要 .例 2某企业生产5 种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如表2-1.表 2-1

2、产产品12345值季度1805875786429870858476390759090804887082807680587578649870858476这个排成 4 行 5 列的产值阵列759090具体描述了这家企业各种产品各季90808870828076度的产值，同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况.例 3生产 m 种产品需用 n 种材料， 如果以 aij 表示生产第i种产品（， ， ）i 1, 2m耗用第 j种材料（ j 1, 2， ，n ）的定额，则消耗定额可以用一个矩形表表示，如表2-2.表 2-2定材料12jn额产品1a11a12a1 ja1n2a21a22a2 ja

3、2 niai1ai 2aijainmam1am2amjamn这个由 m 行 n 列构成的消耗定额阵列a11a12a1na21a22a2nam1am2amn描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系.类似这样的数表，我们在自然科学、 工程技术和经济管理等不同领域中经常遇到数表在数学上就叫做矩阵.下面我们给出矩阵的定义.这种定义由 mn 个数aij(i1, 2, m ; j1, 2, n ) 排成m 行n 列的数表a11a12a1na21a22a2n(2-1-1)Aam1am 2amn叫做 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵 .这 mn 个数叫做矩阵A 的元素， aij 叫做矩阵 A 的第

4、i 行第 j 列元素 .A，B，C，.一般情形下，用大写字母m 和列数 n ， 表示矩阵 为了标明矩阵的行数可用 Am n 表示，或记作aij.m n二、几种特殊的矩阵1 n 阶方阵当 m n时，即 A=aijn n 时， A 称为 n 阶方阵 .2对角矩阵主对角线以外的元素都为零的方阵称为对角矩阵，即1O2AOn3单位矩阵主对角线上的元素都是1 的 n 阶对角矩阵称为单位矩阵，记为E ，如1O1EO14三角矩阵主对角线一侧所有元素都为零的方阵称为三角矩阵，如a11a12a1na11000a22a2n或a21a2200 0annan1an 2ann5零矩阵所有元素都为零的矩阵称为零矩阵.记作

5、Om n ，简记 O.6行矩阵、列矩阵=1 时的矩阵，即A a1 a2an称为行矩阵；=1 时的矩阵，即mnA称为列矩阵 .7对称矩阵a1a2an在矩阵 A(aij )n n 中，若 aij a ji(i, j1,2, , n) 则矩阵 A 称为对称矩阵，如1508526706810871042.2矩阵的运算矩阵的意义不仅在于将一些数据排成数表形式，而且在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算，从而使它成为进行理论研究或解决实际问题的有力工具.一、矩阵的加法、减法首先给出矩阵相等的概念 .定义1 在矩阵Aaijm n 和 Bbijm n 中，若它们的对应元素相等，即aijbij(i1, 2

6、, , m ; j 1, 2, , n )则称矩阵 A 与 B 相等 ,记为 A=B .定义 2 设 A aijm n， B bijm n，矩阵 aijbij m n 称为矩阵 A 与矩阵 B 的和或差，记作 A+B 或 A-B，即AB(aijbij ) m n注意，只有当两个矩阵的行数相同且列数也相同时，这两个矩阵才能进行加法、减法运算 .例 1有两种物资（单位：吨）从3 个产地运往4 个销地，两次调运方案分别为矩阵A 与矩阵 B，35721320A 2043B215701230648则从各产地运往各销地两次的物资调运量（单位：吨）为35721320A B204321570123064831

7、537220489222014537419100016243807611矩阵加法满足以下运算规律：（1）ABBA（2）(AB)CA(BC)3）AOA矩阵aij m n 称为矩阵 Aaij m n 的负矩阵，记为Aaij m n .显然，有4）A(A) O二、数与矩阵的乘法定义 3以数 k 乘矩阵 A 的每一个元素所得到的矩阵，称为数k 与矩阵 A 的积，记作 kA .如果 Aaij m n ，那么kAk aij m n kaij m n不难证明，数与矩阵乘法满足以下运算规律：k (A B) kA kB(k l ) A kA lA(3)(kl ) Ak (lA )(4)1 AA，( 1) AA(

8、5)k OO (O为零矩阵 )例 2已知12314321A0321B 530140321250求.3A-2B解123143213A2B30321253014032125038669432010966032122049106011055101561104196例 3已知31207524A 1579B 519724683216且 A 2X B,求 X.解1(B A)146442322X44222211221272117122三、矩阵与矩阵的乘法先看一个例子 .例 4某工厂有 A1 , A2 , A3 三个车间，某月各种原材料的消耗量如表2-3.表 2-3单位：吨消原耗料B1B2B3B4车量间A12

9、1151610A2530134A32432100又各种原材料每吨价格和加工费如表2-4.表 2-4单位：元单原价原料费加工费料B1125B2144B382.5B4203求各车间某月支出原料费及加工费各为多少元？解我们可以直接计算出各车间支出的原料费用和加工费用为A1 车间的原料费 =21 12+15 14+16 8+10 20=790 （元）A2 车间的原料费 =53 12+0 14+13 8+4 20=820 （元）A3 车间的原料费 =24 12+32 14+10 8+0 20=816 （元）A1 车间的加工费 =21 5+15 4+16 2.5+10 3=235（元）A2 车间的加工费

10、=53 5+0 4+13 2.5+4 3=309.5（元）A3 车间的加工费 =24 5+32 4+10 2.5+0 3=273（元）上述结果列成表2-5表 2-5单位：元费车用原料费加工费间A1790235A2820309.5A3816273如果用矩阵来表示，则表2-3、表 2-4、表 2-5分别为21151610125790235144A530134,B, C820309.582.52432100816273203从上述分析可以看出，矩阵A 、 B与 C之间的关系是：C 中第 i 行第 j 列(i1, 2, 3 ; j 1, 2) 元素恰好等于A 的第 i 行各元素分别和矩阵B 第 j 列

11、对应元素的乘积之和 .因此，我们将矩阵C定义为矩阵A与矩阵B的乘积，记为C=AB, 即21151610125790235144CAB530134820309.582.52432100816273203我们将上面例题中矩阵之间的这种关系定义为矩阵的乘法.定义 4设矩阵 Aaikm l的列数与矩阵Bbkj l n 的行数相同，则由元素lcijai1b1 jai 2b2 jail bljaik bkj(i1, 2, m ; j1, 2, , n)k 1构成的 m 行 n 列矩阵lC (cij )m n(aik bkj ) m nk 1称为矩阵A与矩阵B的积，记为C=ABAB或.这个定义说明，如果矩阵

12、A 的列数等于矩阵 B 的行数，则 A 与 B 的乘积 C 中第 i 行第 j 列的元素，等于矩阵 A 的第i 行元素与矩阵B 的第 j 列对应元素乘积的和.并且矩阵 C的行数等于矩阵A 的行数，矩阵C 的列数等于矩阵B的列数.23123 ,求 AB.例 5若 A12, B31210解23123AB122103121322(2) 3(1)2(3)301 1(2)21( 2)( 2)( 1)1(3) (2) 031123 (2) 1(1)3(3)10876303579我们还可以求一下BA.12323BA122103112(2)1(3)313(2)(2)(3)122(1)10323(1)(2) 0

13、19438显然 , ABBA.21例6若A310,B40,求AB.35解21AB 31040321(4)0(3)3110053523BA 没有意义，因为B 的列数不等于A 的行数， BA 不可进行运算 .例 7若 A24, B24，求 AB 及 BA.1236解AB242416321236816BA242400361200ABBA.由例 5，例 6，例 7 可以看到矩阵的乘法一般不满足交换律.由例 6 可以看到 AB 有意义， BA 不一定有意义 .由例 5、例 7可以看到，即使 AB、BA 都有意义， AB 与 BA 也不一定相等 .但并不是任何两矩阵相乘都不可以交换，如下面的例8，两矩阵相

14、乘可以交换，但作为统一的运算法则，矩阵乘法交换律是不成立的.由例 7 还可得出：两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵，从而不能从AB=O 必然推出A=O 或 B=O.例 8若 A11, B12010，求 AB 与 BA.1解AB111213010101BA121113010101显见， AB=BA .如果两矩阵 A 与 B 相乘，有矩阵相乘时必须注意顺序，矩阵乘法具有下列性质：AB=BA ，则称矩阵A 与矩阵 B 可交换 .AX 称为用 X 右乘 A，XA 称为用 X 左乘 A.1）（ AB）C=A （BC）（ 2） k（ AB） = （kA）B=A （kB）（其中 k 为数值）3） A（B+C ）

15、=AB+AC4）（ B+C）A=BA+CA设 A 是 n 阶方阵，规定：A0E , A1A , A2AA, Ak 1Ak幂 .例 9设 A1223A 5E3，求 2A4解3A 5E=2 1 222 A23 1343A , 其中 k 为正整数，Ak 称为 A 的 k 次.1 05401141236501618=4491205276118四、矩阵的转置定义 5把矩阵 A 的所有行换成相应的列所得到的矩阵，称为矩阵 A 的转置矩阵， 记为AT，即若 Aaij，则 ATa ji.m nn m例 10若 A1704312，则513AT710245可见，若 A 是对称矩阵，则有AAT .矩阵的转置具有下列

16、性质：1）(AT )T A（2） ( AB)TATBT（3） ( A)TAT（4） ( AB)TBT AT五、方阵的行列式定义 6由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），叫做方阵A 的行列式，记作A .应该注意， 方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方阵是 n 2 个数按一定方式排列成的数表，而n阶行列式是这些数（也就是数表A）按一定运算法则所确定的一个数.由A确定的A的这个运算满足下述运算规律（设A，B为n阶方阵，k为数值）：（1） ATA（ 2） kAk nA（3） ABA B由（ 3）可知，对于n阶方阵ABABBA，但总有、，一般说来ABBA例 11设 A13，B2

17、5，求 AB.2234解法 1AB13251117223422所以AB11175622解法 2ABA B13258(7) 562234习题 2.21111231设A111,B124，求111051（ 1） 3AB-2A（2） ATB2已知 23113X211202310，求 X.13计算下列乘积 .431731（1） 123 2（2） 12 3 2（3）1231570112213 10a11a12b1x（4） 011 21（ 5） x y 1 a12a22b2y120 31b1b2c 12351352244设 A1 45 , B135 , C1 34134135123证明：（ 1） AB=BA

18、= 0（ 2） AC=A，CA=C（3） ACB=CBA5证明矩阵下列运算性质 .（1） (A B) CA (B C)（2） (A B)TATB T（3） An A（ 4） AE=EA=A6求下列矩阵的幂 .（1）设 A102，A3， ，Ak，求 A1nO（ 2）求O117若矩阵AB=BA，则称 B 与 A 可交换，设A，求所有与A 可交换的矩阵 .012.3逆矩阵一、逆矩阵的定义矩阵与数相类似，有加、减、乘三种运算 .于是，自然会提出矩阵的乘法是否也和数一样存在逆运算呢？解一元线性方程ax=b，当 a0 时，存在一个数a 1 ，使 xa 1b 为方程组的解 .那么在解矩阵方程AX=B 时，是

19、否也存在一个矩阵，使这个矩阵乘以B 等于 X .这就是我们要讨论的逆矩阵的问题 .逆矩阵在矩阵理论和应用中都起着重要的作用.B定义 1对于n阶矩阵An阶矩阵，使得，如果存在AB=BA=E那么矩阵 A 称为可逆矩阵，而B称为 A的逆矩阵 .如果 A 可逆， A 的逆矩阵是唯一的 .因为如果 B 和 B1 都是 A 的逆矩阵 ,则有ABBA E, AB1 B1A E那么B BEB( AB1)( BA) B1EB1 B1即B B1所以逆矩阵是唯一的.我们把矩阵A 唯一的逆矩阵记作A1.定义2若 n 阶矩阵A 的行列式A0 ，则称A 为非奇异的.为了讨论逆矩阵存在的条件和逆矩阵的求法，先引进伴随矩阵的

20、概念.定义 3设 Aij 是矩阵a11a12a1na 21a22a2 nAan1an2ann的行列式A 中的元素 aij 代数余子式，那么矩阵A11A21An1A*A12A22An 2A1nA2nAnn称为矩阵 A 的伴随矩阵 .定理1 矩阵 A 存在逆矩阵的充分必要条件是A0 ，即 A 为非奇异矩阵时才有逆矩阵存在 .证必要性：因为 A 可逆，则有 A1使 AA1A1A E .因此，AA 1A1A AA1E 1 0，即A 0.充分性：若A0 ，作矩阵1 A*A由 1.2 定理 1 和定理 2，可得A0AA*AA E ，0A即得 AB=E .同理，可证， BA=E .故BA11A*A二、逆矩阵

21、的性质逆矩阵具有下列性质：（1）(A 1) 1A（2） ( AB) 1B1A1（3） ( A 1)T(AT) 1（4）A11A（ 5） (kA) 11A 1k下面仅证明性质2，其它性质请读者自己证明 .证（ 2）因为( AB)( B 1A 1)A(BB 1) A 1AEA 1AA 1E ，(B 1A 1)(AB) B 1(A 1A)B B 1EB B 1B E，所以(AB) 1B1A1证毕由定理 1,可得由矩阵 A 的伴随矩阵 A* 求逆矩阵 A 1 的计算方法，求出矩阵A 的所有元素的代数余子式；写出伴随矩阵A*；由A1 1A*便得 A 1.A这种方法常用于三阶以下的方阵求逆矩阵的问题.21

22、例1求矩阵 A34的逆矩阵 .解因为 A110，所以 A 1存在 .由于A114A123A211A222因此A*4132114141A1*1111AA11 32321111222例 2求矩阵 A123的逆矩阵 .136解因为 A20,所以 A1 存在，由于A11233A12133A1312361611,3A21226A222210A23223616143A31222A32224A33222313122因此1 A*A11A21A31A 11 A12A22A32A2A13A23A33313623123104322514221122例 3试用逆矩阵求解线性方程组 .2x1x2 x32x1x24x30

23、3x15x3 3解令211x12A 114, Xx2, B0,305x33于是原方程组可写成AX=B211因为A1146 0,305故 A 1存在，且A11A*15537139A6333对（ 2-3-1）式两侧左乘A 1，得1553211X A1B71390136333363即线性方程组的解为x11 , x213 , x31 .662习题 2.31 验证矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵 .1221（1） AB3134222-3-1）16136360111235101（2）A40511B10205704111520102写出下列初等方阵的逆矩阵。1001000100100（ 1）(2) 00103

24、(3)012010000013判断下列矩阵是否可逆，如可逆，求其逆矩阵。21ab100223（ 1）(adbc 0) （ 3） 120（ 4）11034（ 2）dc1231211234a10123(6)a2(ai0,i1,2, n)(5)01200001an4解下列矩阵方程.1）3）2546211133X（）X21011212423111314203112X10115证明：如果对称矩阵A 为非奇异矩阵，则A 1 也是对称的 .6证明：如果A2A ，但 A 不是单位矩阵，则A 必为奇异矩阵 .2.4矩阵的初等变换由于矩阵的定义和线性方程组有密切的联系.因此，矩阵的许多概念也是由线性方程组的性质而

25、产生的.如从线性方程组的消元法，就可以定义矩阵的行初等变换.用矩阵的初等变换将会使矩阵的概念推至更新、更简洁、更加实用的境界.一、矩阵的初等变换定义 1对矩阵施以下列3 种变换，称为矩阵的行初等变换.1）交换矩阵的两行；2）以一个非零的数 k 乘矩阵的某一行；3）把矩阵的某一行的 l 倍加于另一行上 .把定义 1 中的行改成列， 称为列初等变换.行、列初等变换统称为初等变换，下面主要讨论行初等变换.如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成B，称矩阵 B 与矩阵 A 等价，记为AB .定理任何非奇异方阵经过初等变换可化为单位阵.例 1试用初等变换将矩阵A 化为单位阵306A022035解因为 A48

26、0 ，所以 A 是非奇异方阵，故有306A02203513r11r221021020113r2r301103500818 r31020110012r 3r1r 3r 2100010E001二、初等阵定义 2单位阵 E 经过一次初等变换所得到的矩阵，称为初等方阵，简称初等阵.由初等变换的三种形式，可知初等阵也有相应的三种形式：1互换 E 的 i、 j 两行，记为 E(rir j ) ，即101第i 行1E(rir j )110第j 行12用数 k(k0) 乘 E 的第 i 行，记为 E(kri ) ,即11E( kri )k第 i行113用数 k 乘第 j 行加到第i 行的各对应元素上，记为E(

27、kr jri ) ，即11k第 i 行E (kr jri )1第 j 行1三、行初等变换的矩阵表示法不难验证，用初等阵左乘矩阵A(aij ) m n ，就是对矩阵进行一次行初等变换.如设a11a12A a21a22，a31a32则有001a11a12a31a32E(r1r3 ) A010a21a22a21a22；100a31a32a11a12100a11a12a11a12E(kr2 ) A0k0a21a22ka21ka22；001a31a32a31a321k0a11a12a11 ka21a12ka22E(kr2 r1 ) A01 0a21a22a21a22；001a31a32a31a32用三种

28、初等阵，前面定理可以表示成如下矩阵乘积的形式：PlP2 P1 AE（ 2-4-1 ）其中 P1 , P2 ,Pl 是对 A 所用的初等变换所对应的初等阵.E 是 A 的同阶单位矩阵.应该指出，非奇异矩阵经初等变换后得到的矩阵仍然是非奇异矩阵.事实上，设P 为初等方阵， A 为非奇异矩阵，即P0, A0 ，则有PAPA0，因此， PA 是非奇异矩阵 .四、用行初等变换求逆矩阵如果 A 可逆，则 A 1 也可逆，根据上面定理，存在初等矩阵G1 , G 2 , Gk ，使A 1G1G 2Gk那么有A 1 AG GGA1 2k即EG1G2G k AA 1G1G 2Gk E式表示对A的行施以若干次初等变

29、换化为EE的行施以同样的初等变换化为, 表示对A 1.于是可以得出一个求逆矩阵的方法如下.作一个n2n的矩阵（A | E ） ,然后对此矩阵施以行的初等变换，使子块A化为E，则同时子块 E 化为 A1了.即A | E经过行初等变换E | A1101例 1求矩阵 A210的逆矩阵 .325解 作 36 矩阵 AE3101100AE3210010325 0012r1r 23r1r31011000122100223011011002r2r30122100027211 rr2 3110051122010151002721100521 r3112201051100172于是得到11251122A 115

30、171122习题 2.41用行初等变换把下列矩阵化为阶梯形矩阵.2112216（1） 12 1（2） 124311258118241313122123（3） 0132（ 4）3211457014352 用初等变换将下列矩阵化为矩阵D 的标准形式 .Er0D001101112（3）3 21（ 1）2（ 2）23312011213（ 5）13（ 4）313213用初等变换判定下列矩阵是否可逆，如可逆，求其逆矩阵.221ab（1） 124(adbc0)（ 2）d582c1234135723120123（ 3）11（ 4）012110102600012.5 矩阵的秩一、矩阵秩的定义定义1 设A(aij

31、 ) 是 mn 矩阵，从 A 中任取 k 行 k 列 ( k min( m, n) ，位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的k 阶行列式， 称为矩阵 A 的一个 k 阶子式 .例如，1345A10230110矩阵 A 的第一、三两行，第二、四两列相交处的元素所构成的二阶子式为51 0设 A 为一个 mn 矩阵 .当 A=O 时，它的任何子式都为零；当 AO 时，它至少有一个元素不为零， 即它至少有一个一阶子式不为零.这时再考察二阶子式，如果 A 中有二阶子式不为零，则往下考察三阶子式，依次类推.最后必达到A 中有 r 阶子式不为零，而再没有比r更高阶的不为零的子式.这个不

32、为零的子式的最高阶数r ，反映了矩阵A 内在的重要特性，在矩阵的理论与应用中都有重要意义.1230例如，A0121246012A 中有二阶子式10 ，但它的任何三阶子式皆为零，即不为零的子式最高阶数01r =2.Am nArr定义 2设矩阵 .如果中不为零的子式最高阶数为,即存在阶子式不为 为零，而任何r+ 1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作秩（Ar或r(A)=r .）=当A=O 时，规定 r(A)=0.显然： r ( A)r ( AT ) .上例中， r(A)=2.很明显， 0rmin( m, n)当 r ( A) min( m, n) 时称矩阵 A 为满秩矩阵 .1230例如， A0

33、101r ( A)3001012B01r (B)200110C010r (C)3001都是满秩矩阵.例 1求下列矩阵A的秩.2315A175868414解 A 的四个三阶子式都为零，即2312352153151750,1780,1580,7580 ；684681464148414232，所以 r(A)=2.而二阶行列式11 0, 故 A 的不等于零的子式的最高阶数为17例 2设1213102214A0000500000求 r ( A) .解 显然， A 的所有 4 阶子式都等于零，而三阶行列式131214350005故 r ( A) 3 .二、利用初等变换求矩阵的秩从上述两个例子可见，为了找到

34、矩阵中不为零的最高阶子式，需要计算很多行列式.然而，在例 2 中很容易看出最高阶不为零的子式是三阶行列式，这种矩阵称为阶梯形矩阵 .所谓阶梯形矩阵，就是它的任一行的第一个非零元素所在的列中的下方元素全为零.下面，通过矩阵的行初等变换，将矩阵化为阶梯形矩阵，以便求矩阵的秩.定理矩阵 A 经过初等变换后其秩不变 .证按矩阵的三种初等变换可证明：（ 1）互换矩阵 A 的任意两行（或两列） ，矩阵的秩不变 .因为互换行列式的两行（或两列），行列式仅改变符号，因此，经初等变换后的每一个子式与原矩阵对应的子式相等或者仅改变正负号，故矩阵的秩不变.（ 2）用一个非零常数 k 乘矩阵 A 的某一行（或列） ，

35、则矩阵的秩不变 .因为行列式的某一行（或列）乘一个非零常数k等于行列式乘以k.因此，经初等变换后的矩阵子式与原矩阵的对应子式或者相等，或者仅相差k 倍，故矩阵的秩不变。3）用一个数 k 乘矩阵的某一行（或列）的各元素加到另一行（或列）的对应元素上，则矩阵的秩不变 .事实上，设矩阵A(aij ) m n ，对 A 施以下列初等变换得到矩阵B，即a1a2anai1kaj 1ai 2kaj 2ainka jnkr jriBAa j1a j 2ajnam1am2amn因为r(A)= r，所以A 中的所有r+1 阶子式全为零，在B中的r+1阶子式可分下面三种情况讨论：若 B 中 r+1 阶子式没有第 i 行元素，那么 B 中所有 r+1 阶子式在 A 中都有，所以， B 中不包含第 i 行的所有 r+1 阶子式全都为零 .(2)若 B 中 r+1阶子式含有第i ，j 两行元素， 根据行列式性质7，B 中 r+1 阶子式与A 中对应的 r+1 阶子式相等，所以B 中所有 r+