矢量场的数学

1、 矢量场的数学1矢量场的微分运算一、矢量代数和函数微分运算矢量有大小和方向，且满足矢量运算的法则矢量代数运算的几个结果A-B=标量二ijk”AAA=xyzBBB.xyzA%B=(ABy(ABz(ABxy-AB)zy-AB)jz5sinOn-AByAXA=0A-(AxB)=0A-(BxC)=B(CxA)=C(AxB)Ax(BxC)=B(AC)-C(AB)多元函数微分运算的两个公式Af(x,y,z)=f(x+Ax,y+Ay,z+Az)-f(x,y,z),Af(x,y,z)=fAx+|Ay+?Az,(Ax,Ay,AzT0)oxoyozofdf偏导数含义：页=页仅以x为变量将y,z看作常数02fo2f

2、0 x0yOyOx，二、标量场和矢量场什么是场指在空间连续分布的某种客体。标量场T(x,y,z):指每一点由一个标量给定的那种空间分布的客体。等值面(线)矢量场f(x,y,z):指每一点由一个矢量给定的那种空间分布的客体。如电场、磁场、电流场、速度矢量场v(x,y,z)等。矢量场的场线标量场和矢量场随时间的变化T(x,y,z,t)QT5a2Ta2f(药，页)或(茁，乔)标量场和矢量场随空间的变化f(x,y,z,t)某点的场与相邻点的场之间的关系三、标量场对空间的一阶微商梯度标量场T(x,y,z)对空间的微商(6T6T6T)8x，8y，dz，标量场T在场点P随空间的变化与方向有Y关，沿不同方向T

3、对空间距离的微商不相同。证明T的三个分量微商构成一个矢量两个无限靠近的场点P1和P2，P坐标为(x,y,z)，P坐标为(x+Ax,y+Ay,z+Az),2/YP2-Ax,y+Ay,z+Az)yP1(x,y,XZ连接p1p2的矢量为Ar=Ax?+亦+Azk,标量场T在P1P2两点的函数差AT二T(P)-T(P)，是一个标量。1221arararAT=T(P)-T(P)=_Ax+_Ay+_Az21axayaz,(11)(6T6TdT根据两矢量点积为一标量可知阪，dy，dz构成一个矢量梯度的定义(6T6T6T)ax9ay9az称为t的梯度，记作gradTgradT二VT=aTi+aTj+aTkax更

4、12)ajajaj哈密顿算符V=axx+ayJ+azk13)V是一个矢量微分算符，是表示场对空间微商的算符。算符v本身也可以看作是一个矢量，在直角坐标系下:aax14)标量场T的梯度VT是一个矢量场，代表T对空间的一阶微商,反映标量场T的空间分布状况。梯度的大小和方向(VT)X環，W唱，(VT)Z唱,15)T（VT）=|VT|cos9（e是1与vT的夹角）上式的含意是T沿某方向1对空间的变化率，就等于T的梯度vt沿该方向的分量。对标量场任一点P,都有一个特定的方向1（对应cose=1），沿着此方向1的变化率竺是最大的，此最大值就是该diP点梯度VT的大小；此特定方向1就是梯度VT矢量的方向。d

5、TAz=VT-Ar1.6）梯度vT给出某点的场与其相邻点的场之间的关系AT=dTAx+dTAy+dxdy四、矢量场对空间的一阶微商矢量场对空间的微商两种基本方式：标量场V-f，矢量场Vxff的散度：V-f是一个标量场。记作divf=V-f=f的散度。V-f二Vf+Vf+Vfxxyyzzdfdfdfx+y+zr、散度的意义：一般来说是指矢量场在该点的发散程度”，也就是从该点发出或会聚的场线条数dxdydz（1.7）的多少。散度是一个标量，正值代表从场点发散负值代表汇聚。ff的旋度：Vxf是一个矢量场。记作rotf=Vxf=f的旋度。(Vxf)=Vf-Vfxyzzy1.8)(Vxf)=Vf-VfT

6、OC o 1-5 h zyzxxz(Vxf)=Vf-Vfzxyyx旋度的意义：一般来说是指矢量场在该点处的“涡旋程度”，就是环绕该点的闭合场线条数密度的大小。标量场和矢量场对空间求微商小结 HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 。八。八。八V=i亠j亠k哈密顿算符v,丟丙j圧gradTT二T的梯度（矢量）divf=Vf=f的散度（标量）rotf=Vxf=f的旋度（矢量）麦克斯韦方程组：VD=P，vB=o，cSBVxH=五、对空间的二阶微商求二阶微商分为五种情况：1)V(VT)，2)Vx(VT)，3)V(Vxf)，4)Vx(Vxf)，5)V(Vf)。

7、1)V(VT)V(VT)=(Vi+Vj+Vk)(VTi+VTj+VTk)xyzxyz=V(VT)+V(VT)+V(VT)xxyyzzd2Td2Td2T4=+=标量8x2Qyidz2d2T82T82TV(VT)=VVT=(VV)T=V2T=8X2*夢*面888拉普拉斯算符：=2=8X2*8y2*8Z22)Vx(VT)=0(重要恒等式)88T-88T8x8y8y8x=0Vx(VT)=VxVT=(VxV)T=0Vx(VT)=V(VT)-V(VT)zxyyx数学定理1.1如果一个矢量场A，它的旋度恒为零，VxA=0,则始终存在某一个标量场，或者说就有一个标量场屮，使得A=V。3)V(Vxf)=0(重要

8、恒等式)数学定理12如果一个矢量场B，它的散度恒为零，V.B=0，则始终存在某一个矢量场，或者说就有一个矢量场A，使得B=VxAoVx(Vxf)=矢量V(f)=矢量2矢量场的积分运算线积分的定义：函数G从P到P2沿着路径LG(x,y,z)A7iP2A7一、梯度VT的线积分的线积分为，2.1)fP2G(x,y,z)d7=lim工GA7耳A7tOii1iat=vta79limSAT=lim工VTA/altOaltOlimSat=fP2dT=T(P)-T(P)21a7tOP121梯度的线积分：任取一条路径L连接片和P2,将L分割成无穷多线元AI。对于任一线元A7，lim工VTA7=fP2VTdlTO

9、C o 1-5 h z/tOP1数学定理2.1梯度的线积分等于场在过程起点和终点的数值之差。 HYPERLINK l bookmark88 o Current Document T(P)-T(P)“P2VTd7(2.2)21pPitVTd=0(等价的表达)二、矢量场的通量矢量场通量的定义矢量的法向分量在曲面上的面积分。O=jfdS=J!fdS（2.3）SSn任取一体积V,其表面积为S。V1的表面积为Sl=Sla+S1ab，V2的表面积为S2=S2b+S2ab。J!f-dS+JJf-dS=f-dSJ!f-dS+JJf-dS=JJf-dSS2bV，SS2bS2abS2S1abS2abSS1S22.

10、4)数学定理2.2通过体积V外表面S的通量，等于S内包含的所有各个部分小体积dV外表面的通量之和。如V分割成许多小立方体AVt0。工S内小立方体AV表面的通量=JJfdSAVt0三、对小立方体表面的通量计算对六个正方形面元的通量之和对1、2面的通量：f(1)(-i)AyAz+f(2)iAyAzOf=f(2)-f(1)AyAz=xAxAyAzXXOx同理对3、4和5、6面的通量：Of_lAxAyAzOfzOzAxAyAzJJfdS=-JJfdS对小立方体表面的通量：afXax+afy+afz）AxAyAz=fAVayaz2.5）对小立方体表面的通量等于该点的散度与小立方体体积的乘积。lim工S内

11、小立方体的通量=川fdV（2QAVT0V一般矢量场的高斯定理对任一闭合曲面S的通量，等于在V内该矢量的散度的体积分。fdS=JUVfdV（2#）sv散度的定义式亠_0fdS（小立方体的通量）divf=Vf=lims人“（2.8）AVtOAV矢量场环流（环量）定义：矢量f切向分量沿闭合曲线L的线积分。环量=d（2.9）LL任取一闭合回路L,现以曲线段Lb将Lab分割为L1和L2两个回路，其中L1=L1+L1b，12111bL=L+L22b2ab.2ab.Jfd+Jfd=4fd7L2bf1afd+Jfd-L2b1abL2ab|li_JfdL2Jf-d7=-ff-d1L1abL2ab2.10)(2.

12、11)前两式相加可得：fLfd7二JLfd7+fLfd7L2L1数学定理2.3矢量场对回路L的环量，等于对该回路L内包含的所有无穷小正方形回路的环量之和。ffd7=工L内小正方形的环量LAStO五、对小正方形的环流（环量）计算小正方形回路的环量取小正方形的绕向与Z轴构成右手螺旋关系，Z轴正方向也就是小正方形面元法线-j3/fAy4用2X1iAx:f(i)的正方向。f(1)-iAx+f(2)jAy+f(3)(一i)Ax+f(4)(一j)Ay=f(1)-f(3)Ax+f(2)一f(4)AyxxyyQfQfQfQf=-xAxAy+yAxAy=(y-x)AxAyQyQxQxQy=(Vxf)ASz小正方

13、形回路的环量=(Vxf)nAS=(Vxf)aS(2.12)lim工L内小正方形的环量(Vxf)dS(2.13)ASt0S一般矢量场的斯托克斯定理矢量场对任一闭合回路L的环量，等于以回路L为边界的任一曲面S上矢量场旋度的通量。ffd7=ff（Vxf）dS（2.15）LS旋度的定义式(rotf)=(Vxf)=limASt0Lf-d7（垂直于n的小正方形的环量）Las旋度的含义：P点的旋度沿某方向的分量，等于P点附近垂直该方向的单位面积小正方形的环量。旋度的大小和方向（和梯度对比）在矢量场某一点上，计算单位面积小正方形的环量，当此环量取最大值时，小正方形面元法线方向就是该点旋度的方向，此环量的最大值就是该点旋度的大小。1.矢量微分算符（哈密顿算符）v=d:i+dxdj+kdycZcczccx2.标量场梯度的线积分T(P)-T(