线性代数模试题试题库(带答案)

1、.第一套线性代数模拟试题解答一、填空题 (每小题4 分，共24 分)1、 若 a1i a23a35a5 j a44 是五阶行列式中带正号的一项，则i1, j2。令 i1, j2 ， (12354)(13524)134 ，取正号。2、 若将 n 阶行列式 D 的每一个元素添上负号得到新行列式D，则 D=( 1)n D。即行列式 D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =( 1)n D。3、设 A11,则 A100=1100。0101A2111112,A312111301010101010,L可得14、设 A 为 5 阶方阵，A5 ，则5A5n1。由矩阵的行列式运算法则可知：5 A5nA5n

2、 1 。5、 A 为 n 阶方阵 ,AATE 且 A0,则A E0 。由已知条件： AATEAATA AT2E1A1,A1，A而：A E A AATAE ATA A EAEAE0 。2006、设三阶方阵 A0 xy可逆，则 x, y 应满足条件 3x 2y 。023200可逆，则行列式不等于零：A0 xy2(3x2 y)03x2 y 。023二、单项选择题(每小题 4分，共 24 分)a11a12a132a112a122a137、设 a21a 22a23M0 ，则行列式2a312a322a33A 。a31a 32a332a212a222a23.A8MB 2MC2MD 8M2a112a122a1

3、3a11a12a13a11a12a132a312a322a3323 aaa8( 1) a21aa238M31323322由于2a 212a 222a23a21a22a23a31a32a338、设 n 阶行列式 D n ，则 Dn0 的必要条件是D。A Dn 中有两行 ( 或列 ) 元素对应成比例B D n 中有一行 ( 或列 ) 元素全为零C Dn 中各列元素之和为零D以 Dn 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解9、对任意同阶方阵A, B ，下列说法正确的是C。A. (AB) 1A1B1B . ABABC.( AB)TBT ATD. ABBA10、设 A, B为同阶可逆矩阵，0 为数，则下列

4、命题中不正确的是B。A.(A1)1AB.(A)由运算法则，就有(A)1A1C.(AB)1B1A1D.(AT)1(A1)T1A1。11、设 A 为 n阶方阵，且Aa0，则 AC。A aB 1C a n 1D ana因为AAA1AA A 1nn1n 1A A 1A AA 。1210的秩为 2，则 a =12、矩阵 3102D。1a22A . 2B . 3C.4D.512101210通过初等变换，由秩为2可得： 3102:073 21 a220a 50 0三、计算题 ( 每小题 7 分，共 42 分 ).4111141113、计算行列式：14。1111144111711111111111解： 141

5、1=7411= 71411= 70300=7 33 =189 。1141各列加到7141第一列提1141第一行乘 -10030第一列上到外面加到各行上1114711411140003a100b114、计算行列式：0a2b20。0b3a30b400a4解： 先按第一行展开，再按第三行展开，有：a100b1a2b2a2b20a2b20= a1 b3a3b1b3a3(a1a4bb14 )(a2a3b2b3 ) 。0b3a30a4b4b400a4(1) x12 x24x3015、问取何值时，齐次线性方程组2x1(3) x2x30 有非零解。x1x2(1) x30解： 齐次线性方程组有非零解，则系数行列

6、式为零：124034 (1)20=231=0 11+23 2,10,22, 3311 1r22r31r1 (1 )r3 1116、设矩阵 A20, B11A2(B 1A) 1 。312，计算 B25解：因为 A2,B7 ，所以都可逆，有B2A2(B 1A) 1B2 A2A 1B B2AB (B A)B31115214259。19.0101117、解矩阵方程 AX BX，求X，其中 A= 111, B20 。10153解：AX B X (A E)XB X(A E) 1B,02 31 331(A E)112 31 3X(A E)1B20 。01 31 311520021001 。18、设 A01，

7、利用分块矩阵计算 A020011A10521121212 3A1, A11 3A0 A212 12 521 113 13解：1200A1102500A10A 1001 32 32001 31 3四、证明题 ( 每小题 5 分，共 10分 )19、设 n 阶方阵 A 满足A30 ，证明矩阵 A 可逆，并写出A 逆矩阵的表达式。E证明： 因为从而A E33A E0A(A23A 3E) E，A3 3A2A( A23A 3E)EA 1A23A 3E。20、若矩阵ATA ，则称矩阵A 为反对称矩阵，证明奇数阶反对称矩阵一定不是满秩矩阵。证明： 设 A 为 n 阶反对称矩阵，n 为奇数，则AATAAT(

8、1)n ATAA0 ，所以 A 不可逆，即A 不是满秩矩阵。第二套线性代数模拟试题解答.一、填空题(每小题 4 分，共 24 分 )1、 A为3阶方阵,且 A2, A*是 A的伴随矩阵 , 则 4A 1A* =-4。因为： AA A 12A 14A 1A4A1 2A12A 18 A 14。1022、 A 为 53 矩阵 , 秩( A)=3, B020,则秩( AB)=3。003因为 B 可逆， AB 相当于对 A 作列初等变换，不改变A 的秩。3、 1, 2,1, 2,3 均为 4 维列向量， A( 1,1, 2, 3)， B( 2 ,1,2, 3)，A 1，B4，则A B= 40。AB(81

9、2 ,2 1,2 2,2 3)A B( 12,2 1,2 2,2 3)。12,1,2,3) 81, 1,2 , 32, 1, 2, 3 8(1 4) 401t4、2，3，且T4 ，则 t = -4。12tT1213t 6 2 4t4 。25、如果 n 元非齐次线性方程组 AXB 有解， R( A)r ，则当n 时有唯一解；当 n时有无穷多解。非齐次线性方程组有解的定义。12AX B的3 个解是 1,2 ,136 、设四元方程组3。其中 1,23，如1415R( A) 3 ，则方程组 AXB 的通解是01。11k2131因为 R( A)3 ，所以 AX0 的基础解系含4-3=1 个解向量；又21

10、 ,31.都是 AX0 的解，相加也是AX0 的解，从而可得AX0 的一个解为：21023112131231422，151301于是 AXB 的通解为： Xk1k11。2131二、单项选择题 (每小题 4 分，共 24分 )7、对行列式做D种变换不改变行列式的值。A . 互换两行B. 非零数乘某一行C. 某行某列互换D. 非零数乘某一行加到另外一行8、 n 阶方阵 A, B, C 满足 ABCE ，其中 E 为单位矩阵，则必有D。A. ACBEB. CBAEC. BACED. BCAE矩阵乘法不满足变换律，而D中 ABCEA 1 ABCAA 1EABCA E。12109、矩阵 3102的秩为2

11、，则 t =D1t 1 22A . 3B. 4C.5D.612101210通过初等变换，由秩为2 可得：3102 :073 2 。1t 1 220 t 60010、若方阵 An n 不可逆，则 A 的列向量中C。A .必有一个向量为零向量B .必有二个向量对应分量成比例C.必有一个向量是其余向量的线性组合D .任一列向量是其余列向量的线性组合方阵 An n 不可逆，则 A 的列向量线性相关， ，由定义可得。11、若 r 维向量组1 ,2m 线性相关，为任一 r维向量，则A。.A .1 ,2m ,线性相关B.1,2m , 线性无关C.1 ,2m ,线性相关性不定D.1 ,2m 中一定有零向量由相

12、关知识可知，个数少的向量组相关，则个数多的向量组一定相关。12、若矩阵 A4 5 有一个3 阶子式为0，则C。A.秩( A)2B.秩( A)3C.秩( A)4D.秩( A )5由矩阵秩的性质可知：R A45min4, 5 ，而有一个3 阶子式为0，不排除4 阶子式不为 0。三、计算题 (每小题 7 分，共 42 分 )a10013、计算行列式1b1001c。1001da10001aba01aba01abaad1b101b101c11c1cd解： 01c101c101d010001d001d1abad(1 ab)(1cd )adabcdabcd ad111cd100121214、设 A021 ，

13、 C31， B， AYBC，求矩阵 Y。23011201123 210解：Y A1CB 111 3 11 1。1220215311115、已知三阶方阵A011，且 A2ABE ，计算矩阵 B 。001.可逆，AB2E| A| 1,AA解：111112021101 1011000B A A0010010003213116、求矩阵21313的秩，并找出一个最高阶非零子式。7051832131134421344213442解：2 13 13:2 13 13 0 71197:0 7119 77051870518021 33272200001R( A)3，最高阶非零子式是1,2 ,5。2x1x2x3x4

14、117、写出方程组x12 x2x3x42 的通解。x1x22x3x4321111112131 03341003 21解：121 12:01121:01121:010 32011213015150 063600 11 21x1 =-32 x31321320 x 2 =3 2 x 3Xc(c R )121x 3 =-12 x311018、已知 R3 中的向量组1, 2,3 线性无关，向量组b11k2 ,b223 ，b33k1 线性相关，求k 值。1b12 b23b311k222333k 1解：k 31 k11222331k 3010k1由 1 ,2 , 3线性无关，得1k20k1022300113

15、，0，因为 b1 , b2 , b3 相关，所以1 , 2 , 3 有非零解，故系数行列式=0，得 k1 。.四、证明题 ( 每小题 5 分，共 10 分)19、设 A, B 为 n 阶方阵，若AB0 ，则秩 ( A)秩 ( B)n 。证明： 因为线性方程组Ax0 ，当秩 Ar 时，基础解系为nr 个，由ABA(b1 , b2 , bn )( Ab1 , Ab2 , Ab n )0则有 Ab j0( j1,2, n) ，即 B 的列均为 Ax0 的解，这些列的极大线性无关组的向量个数nr , 即秩 ( B)nr ，从而秩 ( A)秩 ( B)n 。20、如果1 , 2,3, 4 线性相关，但其

16、中任意3 个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数 k1 ,k2 , k3 , k4 ，使得 k1 1k2 2k3 3k4 40。证明： 因为1 , 2 , 3, 4 线性相关，所以存在一组“不全为零”的数k1, k2 ,k3 ,k4 ，使得k1 1k2 2k3 3k4 40 ， 如果 k10 ，则k2 2k3 3k440 ，且由于k2 ,k3 , k4 不全为零，所以2 , 3 ,4线性无关，与题设矛盾，所以k10 ；同理，可证明k20, k30, k40 。第三套线性代数模拟试题解答一、填空题 ( 每小题 4 分，共 24 分 )1231、已知三阶行列式 D 456 ， Aij 表 示

17、 它 的 元 素 aij 的 代 数 余 子 式 ， 则 与789aA21 bA22cA23123对应的三阶行列式为ab。c789由行列式按行按列展开定理可得。.2、 A, B 均为 n 阶方阵， AB3 ，则1AB 1= ( 1 )n 。22由于： 1AB1(1) nA B1(1)nA B(1)n 。122223003、A140 ，则(A2E)1=00310012120。001300100100100由于1121 200030010010014、向量组 1 (1,2,3),2( 1,2,1),3(2,0,5) 线性无关。112112112因为： 2200040410

18、 。3150410045、设 6 阶方阵 A 的秩为5， ,是非齐次线性方程组Axb 的两个不相等的解，则Ax b 的通解为 Xk。由于 R( A)5 ，所以Ax0的基础解系只含一个向量：，故有上通解。12126、已知 x1 为 A5a3的特征向量，则 a3; b0。11b22121111Axx5a3112 aa3 。1b2111bb0二、单项选择题 ( 每小题 4分，共24 分)a11a12a13a21a22a230107、A a21a22a23, Ba11a12a13, P1 0 0，1a31a32a33a31a11a32 a12a33a13001.100P2010，则D。101A AP1

19、P2BB AP2P1BC P2P1ABD P1P2 AB对 A 作行变换，先作P2 ，将第一行加到第三行上，再作P1 ，交换一二行。8、 n 元齐次线性方程组AX0 有非零解的充分必要条件是B。A R( A)nB R( A)nC R( A)nD R( A)n齐次线性方程组AX0 有非零解的定理。9、已知 mn 矩阵 A 的秩为 n1 ， 1,2 是齐次线性方程组AX0 的两个不同的解，k为任意常数，则方程组AX0的通解为D。A k1B k2C k(12 )D k(12 )基础解系只含一个解向量，但必须不等于零，只有D 可保证不等于零。10、矩阵 A 与 B 相似 , 则下列说法不正确的是B。A

20、.秩( A)= 秩( B)B.A=BC.ABD.A与 B有相同的特征值相似不是相等。11、若 n 阶方阵 A 的两个不同的特征值1 ,2 所对应的特征向量分别是x1 和 x2 ，则B 。A .x1 和 x2 线性相关B.x1 和 x2 线性无关C.x1 和 x2 正交D.x1 和 x2 的内积等于零特征值，特征向量的定理保证。12、 n 阶方阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是A 与对角矩阵相似的C条件。A . 充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要定理保证。三、计算题 ( 每小题 7 分，共 42 分 )20113、设 A与 B均为 3

21、阶方阵，E为 3阶单位矩阵， ABEA2B，且 A020；101.求 B 。解： 因为 AB+E=A 2+B( AE)B( AE)( AE)2101101A E02 10010， A E1, A E可逆1011100301所以B AE030。102x1x22x3k14、 k 满足什么条件时，方程组x12x2kx3k 2有唯一解，无解，有无穷多解？2 x1x2k 2 x301 1 2k1 12k112k解： 1 2 k k2 0 1 k 2 k2k 01k 2k2k21 k 2001 k 242k00(k2)(k3)k(k3)当 k2 且 k3 时，方程组有惟一解。当k2 时方程组无解。1120

22、1120当 k (k3) 0时方程组 r ( A)r ( B), 当 k0 时1200012021000020这时方程组只有零解。112311231123当 k3时， 12390156 0156这时方程组有无219001560000穷多解。15、向量组1(1,3,2,0) T ,2(7,0,14,3) T ,3(2,1,0,1)T ,4(5,1,6,2) T ,T(2, 1,4,1) ，（ 1）计算该向量组的秩， （2）写出一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。解： R(1 ,2, 3,4, 5) 3，1, 2, 3 为一个极大无关组，213 ， 5110 3412123333.

23、010010003，求 y 。16、设矩阵 A0y的一个特征值为0100123100解：|A 3E|1300， y 2.00y 38 (2 y） 01001111017、计算矩阵430的特征值与特征向量。102110解： |AE |430(2)(1)(3)4(2)(1) 2 ，102所以得：特征值121 ，解方程组AE X0 ，1,T只得一个对应特征向量为：2,1 ；32 ，解方程组A2E X0 ，可得特征向量为0,0,1T 。18、当 t 为何值时，f(x1, x2 , x3 )x124 x224x322tx1x22x1 x34 x2 x3 为正定二次型？1t11t解： ft4210;4t

24、20;124t41t11t1t4204t22 t123t 2(2t ) 22(2t )(1 t )012402t3解不等式： 4t20(2t )(1t )02t1 。四、证明题 ( 每小题 5 分，共 10 分)19、设向量 b 能由1 ,2 ,3 这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组1 ,2 ,3 线.性无关。证明：（反证法）如果a1 ,a2 , a3 线性相关，则有一组不全为0的系数1, 2, 3使1a12 a23a3 =（1），由已知设 b112 23 3 ，结合（ 1）式得b 0 b ( 11 )a1 ( 22 )a 2( 33 ) a3（ 2）由于1 ,2 , 3 不完全为

25、零，则11 ，22 ， 33 必与1, 2,3 不同，这样 b 已有两种表示，与表示法惟一相矛盾，证毕。20、设1 , 2 , 3 是 n 阶方阵 A 的 3 个特征向量，它们的特征值不相等， 记123 ，证明不是 A 的特征向量。证明： 假设 A又：从而：A A 123A 1A2A3 11 22 33，123A1 122331122330，由于特征值各不相等，所以1 , 2 , 3 线性无关，所以的123 0123，矛盾。一、填空题。（每小题 5 分，共30分）a12a13a141 4 a31 a22a23a241、在四阶行列式中，包含因子a31 的项是a42a43a44。2x312xx01

26、4 项的系数为82、设 f x1x，则 x24x214 x3、已知1 ，2 ，3 ，4 是线性无关的4 维向量，Vk1 1k2 2k3 3k4 4 k1, k2 , k3 , k4R，则V是4维向量空间。4、已知阶 3方阵 A的 3个特征值分别为 1， 2 ， 36，则 A _。.5、若 x 是方阵 A 的特征向量，那么P1 x1AP的特征向量。_是方阵 P6、线性方程组 x1x2x3 x4x5x60 的基础解系含有5个解向量。二、选择题。（每小题 5分，共30分）C1A，B为 n 阶方阵，满足AB0，则。、设AAB0，BAB0，CA 0或B0，DAB0。2A为n 阶方阵，且满足关系式A23A4E0，则 AE1C。、已知A A 1E ，BE1A， CE1A， D A 4E。22A3、 A 为 3 阶可逆方阵，且各列元素之和均为2 ，则。AA 必有特征值2， BA 1 必有特征值2 ， CA 必有特征值2，DA 1 必有特征值2。1、 设可由1 ，2，s 线性表出，但不能由向量