2021-2022学年辽宁省抚顺市第一中学高三下学期5月模拟考试数学试题（解析版）

1、2021-2022学年辽宁省抚顺市第一中学高三下学期5月模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. （ ）A. 3B. C. 10D. 100【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘方运算得到，从而求出模长.【详解】，故.故选：C2. 已知集合，则集合的子集有（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 16个【答案】B【解析】【分析】解不等式，结合，求出，计算出，从而求出，并求出交集的子集个数.【详解】，解得：，又因为，所以，因为，且，所以，故的子集有个.故选：B3. 若双曲线的两条渐近线与直线y2围成了一个等边三角形，则C

2、的离心率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】根据题意得到渐近线方程的斜率，从而得到，求出离心率.【详解】由题意得：渐近线方程的斜率为，又渐近线方程为，所以，所以C的离心率为故选：D4. 已知向量，满足，则（ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据求出，从而求出答案.【详解】由得：，因为，所以，故.故选：A5. “圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得：圆柱的高及底面圆的直径为球的直径，设出球的半径，求出圆柱的体积与球的

3、体积，进而求出圆柱的体积与球的体积之比.【详解】由题意得：圆柱的高及底面圆的直径为球的直径，设球的半径为R，则圆柱的体积为：，球的体积为，所以圆柱的体积与球的体积之比为故选：B6. 数据，的平均数为，数据，的平均数为，则数据，的平均数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用平均数的计算公式计算.【详解】由题意得：，所以故选：D7. 如图，A，B是函数的图象与x轴的两个交点，若，则（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】将代入，求出，求出A，B两点横坐标，进而列出方程，求出.【详解】由图象可知，点在函数图象上，将其代入得：，因为，所以，令，解得：，因为，

4、所以当时，解得：，当时，所以，解得：故选：B8. 已知函数，若对任意，恒成立，则m的最大值为（ ）A. 1B. 0C. 1D. e【答案】C【解析】【分析】对任意，恒成立等价于对任意，恒成立；可换元，设，令，则，即在恒成立，求导由单调性即可求出最值.【详解】由题知对任意，恒成立，等价于，即，即对任意，恒成立，不妨设，令，则，则原式等价于，即在恒成立，设，则，所以在上为增函数，所以，所以，即m的最大值为，当且仅当，即时取得最大值，故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 已知，且，则（

5、）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A,消元利用二次函数的图象和性质判断；对于选项B,C,D都利用基本不等式判断.【详解】解：因为，且，所以，所以，二次函数的抛物线的对称轴为，所以当时，的最小值为，所以，所以选项A正确；成立，当且仅当ab时取等号），故选项B错误；，成立，（当且仅当ab时取等号），故选项C正确；，（当且仅当ab时取等号），故选项D正确.故选：ACD10. 甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】换元后得到，用两根之和求出，两根

6、之积求出，从而求出的两根为或，得到或.【详解】令，则方程可化为：，即，则甲写错了常数b，得到的根为或，由两根之和得：乙写错了常数c，得到的根为或，由两根之积得：，所以方程为，解得：或即或，解得：或.故选：AD11. 已知函数满足，且函数与图象的交点为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据满足可得的对称点，再结合的对称性分析即可【详解】由满足可得关于对称，又也关于对称，故与的图象交点也关于对称，故，故选：BD12. 在平面直角坐标系xOy中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则k的值可能为（ ）A. -7B. -5C. -2D. 1【

7、答案】ABC【解析】【分析】先设出，利用求出在以原点为圆心，半径为2的圆上，数形结合转化为且只需原点到直线的距离小于半径2即可，用点到距离公式列出不等式，求出k的取值范围.【详解】设，连接，设，则，所以，又，所以令，则有，解得：或因为在单位圆外，所以舍去，即在以原点为圆心，半径为2的圆上，因为曲线上存在四个点（i1，2，3，4），即与圆有4个交点，结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可，所以，解得：或（舍去），故选：ABC【点睛】数形结合的思想对于求解函数零点或交点个数问题经常使用，要能抓住一些不变量，比如本题中的直线方程过定点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填

8、在答题卡的相应位置13. 已知，则_【答案】【解析】【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由，又由.故答案为：14. 已知等差数列的前n项和为，若，则_，_【答案】 . 0 . 0【解析】【分析】根据等差数列的求和公式，化简可得，代入即可求出，根据等差数列的通项公式和求和公式，即可求出答案.【详解】等差数列中，所以，即，所以，故答案为：0；0.15. 3名女生和4名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为_【答案】【解析】【分析】首先求出基本事件总数，再分女生都不相邻和有两个女生相邻两种情况讨论，求出符合题意的基本事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得；

9、【详解】解：依题意基本事件总数为，若女生都不相邻，首先将4个男生全排列，再将3个女生插入所形成的5个空中的3个空，则有种排法，若有两个女生相邻，首先从3个女生中选出2个作为一个整体，将4个男生全排列，再将整体插入中间3个空中的1个，再将另一个女生插入4个空中的1个空，则有种排法，故每名女生旁边都有男生的概率故答案为：16. 如图，正方体的棱长为4，点M是棱AB的中点，点P是底面ABCD内的动点，且P到平面的距离等于线段PM的长度，则线段长度的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义，可知点是以为焦点，以 为准线的抛物线，然后根据空间中两点的距离来求解.【详解】由P到平面的距离等于线段

10、PM的长度，可知点是以为焦点，以 为准线的抛物线.以中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ，设 点的方程为： 当时，长度最小为 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为1，（1）求A的大小（2）求ABC外接圆面积的最小值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理和面积公式得到，求出；（2）设ABC外接圆半径为R，利用正弦定理得到，利用余弦定理和基本不等式求出，求出外接圆面积的最小值【小问1详解】由余弦定理得：，由面积公式得：，联立得：因为，所以【小问2详解

11、】设ABC外接圆半径为R，由正弦定理得：，解得：，因为，所以，由余弦定理得：，解得：，当且仅当时等号成立，所以，所以ABC外接圆面积的最小值为.18. 已知数列满足，且，且数列是等比数列（1）求的值；（2）若，求【答案】（1）3； （2）.【解析】【分析】（1）设数列的公比为，可得结合条件即得；（2）由题可知，然后利用分组求和即得.【小问1详解】设数列的公比为，则，又，所以；【小问2详解】由上可知，所以数列是3为首项，3为公比的等比数列，即，.19. 为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试，从该次考试成绩中随机抽取样本，

12、以，分组绘制的频率分布直方图如图所示（1）根据频率分布直方图中的数据，估计该次考试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）取（1）中的值，假设本次考试成绩X服从正态分布，且，从所有参加考试的乡镇干部中随机抽取3人，记考试成绩在范围内的人数为Y，求Y的分布列及数学期望【答案】（1） （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图平均数的计算公式计算可得；（2）由（1）可知，根据正态曲线对称性可得，则，根据二项分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；【小问1详解】解：依题意可得【小问2详解】解：由（1）可知，且，所以所以，则的可能取值为、，所以

13、，所以的分布列为所以20. 在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，E为的中点，点P在平面内的投影F恰好在直线上（1）证明：（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由四边形为长方形得，由平面得，根据线面垂直的判断定理可得平面，再由性质定理可得答案；（2）连接，由（1）和已知得，求出、，过做交于，分别以所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量、，利用线面角的向量求法可得答案.【小问1详解】因为，E为的中点，所以，所以四边形为长方形，因为平面，平面，所以，又因为，所以平面，平面，所以【小问2详解】连接，由（1）平面，平面，所以，因为，

14、所以，所以，即，所以，即，过做交于，分别以所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设平面的一个法向量为，所以，即，令，则，所以，设直线PB与平面PAD所成角为，所以，所以直线PB与平面PAD所成角的正弦值为21. 已知椭圆，为其左焦点，在椭圆 上（1）求椭圆C的方程（2）若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，且，问OAB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）存在，【解析】【分析】（1）根据题目所给条件，列出关于 的方程，解出即可（2）先分斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时， ，此时三角形面积为定值；斜率存在，先利用弦长公式求出

15、 ，再写出三角形面积的表达式，利用函数的单调性求出面积的取值范围即可【小问1详解】 为其左焦点, 又在椭圆上， 又 解得 ， 椭圆方程为：【小问2详解】（1）当直线 的斜率不存在时，此时易求 此时 （2）当直线 的斜率存在且不为0时，设的斜率为 ，直线与椭圆交于两点直线 的方程为： 联立直线 与椭圆的方程 整理得： 同理可求得 令 ，则 令 ，则 又 ，综上，OAB的面积有最大值，最大面积为22. 已知函数（1）若，求曲线在x0处的切线方程；（2）若，求a的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出，求导后求出，点斜式写出切线方程；（2）根据，得到要想恒成立，需要，由，解得：，接下来验证