数列大题专题训练1(老师版)

1、试卷第 页，总14页试卷第 页，总14页数列大题专题训练11.已知数列a的前n项和为S，且S+a=1(ngN*).nnn2n(1)求数列a的通项公式；n11125(2)设b=log(1S)(neN*)，求满足方程+=的n值.n3nbbbbbb512334nn+1【解析】试题分析：(1)由Sn与3关系求数列S的通项公式时，注意分类讨论：当=1时，3=1；当2时,a=SSnnn11a=一a得到递推关系n3n1，再根据等比数列定义确定公比，由通项公式求通项(2)先求数列an前n项和S=1-(|)nn3111再代入求得n=n，因为bnbn+1+1，从而根据裂项相消法求bb231111+=一bbbb2n

2、+134nn+11125解2n+151得直试题解析：(1)当n=1时，S+a=1当n1时，n2nS+a=1n12n1=031aa2n2n-11a=a即n3n12a=-n3n2)3(1一(3)n)=1(1)”b=nn1=1一1bbnn+1nn+111111+=.bbbbbb2n+12334nn+11125即2n+151，解得n=101考点：由Sn与an关系求数列铁的通项公式，裂项相消法求和【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用C于形如ia(其中a是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂aannn

3、1项求和（如本例）还有一类隔一项的裂项求和,如（niJa+i）（n2）或口（n；2）2已知数列是等比数列，首项ai二1，公比q,其前n项和为Sn，且-+力S3+S2+a2，成等差数列.求耳爲通项公式；（2）若数列（b满足a=nn+1求m的最大值【答案】（1）an2)1,T为数列b前n项和，若Tm恒成立,nnn解析】33112231321231(1)n11abnn(1nr1abnnna9(2)由annb2n12丿n+112丿12丿12丿n=a+a一2an试题分析：（1）由题意可知：2（S+a+a）+（S+a）nSS+SSa14aan3=q2,nq31a41n2n-1nT1x1+2x2+3x22+

4、.+n2n-1，再由错位相减法求得T1+(n1)2n,nTTnnn+1n(n+1)2n0nT为递增数列n当n1时,(T)1,mnm0,.q,ta1,/31a4211(2)an+1(1)nl2丿，./bnn2n1,./T1x1+2x2+3x22+.+n2n-1,./2T1x2+2x22+3x23+.+n2n，TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark87 o Current Document nn12/、./-得:-T1+2+22+.+2n-1-n2n-n2n(1n)2n-1，/T1+(n1)2n,n12nTm恒成立，只需（T）m.TTn2n+1（n1）2n（n+1）2

5、n0,nnminn+1n./T为递增数列，.当n1时，（T）1,./m0nT为递增数列n当n1时,nn+1nn试卷第 页，总14页试卷第 页，总14页(T)=1.再利用特殊与一般思想和转化化归思想将原命题可转化(T)mnm2,ngN*.n12nn+1n-1n求证：数列匕为等差数列，并求其通项公式；n设b=a-2-n，T为数列缶的前n项和.nnnn求T的表达式；n求使T2的n的取值范围.nn+3【答案】(1)证明见解析；(2)T二3-:n3，且ngN*.TOC o 1-5 h zn2n【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用错位相减法推证；(2)借助题设运用函数的单调性探求试题解析：(1)由已知

6、，(S-S)-(S-S)=1(n2,ngN*)，即a-a=1(n2,ngN*)，n+1nnn-1n+1naa=1,.数列ta是以a=2为首项，公差为1的等差数列，a二n+1.21n11(2)Va=n+1，.:b=(n+1)nn2n1111T二2x+3x+n-+(n+1)-，n2222-12n11111T=2x+3x+n-+(n+1)-，2n22232n2n+111111-得：_T=1+(n+1)-2n22232n2n+1n+3n+3n+32n2n2n2nn+3n+2设f(n)-1，则f(n+1)f(n)-2，即10,f(2)=-0,f(3)=-0，当n3时，f(n)3，且ngN*.考点：等差数

7、列等比数列及函数的单调性等有关知识的综合运用.4.S为等差数列a的前n项和，且a=1，S=28，记b=lga.其中x表示不超过x的最大整数，如nn17nn0.9=0，lg99=1.(1)求b，b，b；111101（2）求数列b的前1000项和.n答案】(1)b1=0，b11=1，b101=2；(2)1893解析】试题分析：先求公差、通项an再根据已知条件求b1，b，11b101；用分段函数表示匕再由等差数列的前n项和公式求数列b的前1000项和.n试题解析：S为等差数列a的前n项和，且q=】，=28,7a=28.4可得a=4，则公差d=1,a4b=lgn，则b=lg1=0,n1b11=lg11

8、=1b二lglOl二2.1012）由（1）可知：b=b=bl23=b=0,9b=b=b=b=1,10111299b=b=b=b100101102103=b=2,b=3.9991000数列b的前1000项和为：9x0+90 x1+900 x2+3=1893.n考点：1、新定义问题；2、数列求和【技巧点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点5.已知数列a的前n项和为S，且S=2n2+n(neN*)，数列b满足a=4logb+3(neN*).2n(1)求a

9、,b；nn(2)求数列a-b的前n项和T.TOC o 1-5 h znnn【答案】(1)a=4n-1，neN*，b=2n-1；(2)T=(4n-5)-2n+5,neN*nnn解析】-S可求通项进而可求b；n-1n试题分析：（1）由S=2n2+n可得，当n=1时，可求a=3,当n2时，由a=S HYPERLINK l bookmark69 o Current Document n1n（2）由（1）知，a-b=（4n-1）-2n-1，利用乘公比错位相减法求解数列的和nn试题解析：(1)由S=2n2+n，得当时，a=S=3；n11当n2时，a=SS=4n1，nnn-1所以a=4n-1，neN*.n由

10、4n-1=a=4logb+3，得b=2n-1，neN*.n2nn试卷第 页，总14页试卷第 页，总14页试卷第 页，总14页(2)由(1)知a-b二(4n-1)-2n-i,neN*,nn所以T=3+7x2+11x22+(4n-1)-2n-in2T=3x2+7x22+(4n-5)-2n-i+(4n-1)-2n,n所以2TT二(4n1)-2n3+4(2+22+2n-1)二(4n5)-2n+5.nn故T=(4n-5)-2n+5,neN*且a1，a3,a2+14成等差数列，数列满足：n考点：等差数列与等比数列的通项公式；数列求和.6.已知等比数列a的公比q1,a=1n1ab+ab+ab=(n1)3n+

11、1(neN*).1122nn(1)求数列a和b的通项公式;nn(2)若mab-8恒成立，求实数m的最小值.nn【答案】(1)bn=2n-1；81-【解析】试题分析：(1)数列a是首项为1,公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解n方程可得a二n2n-9二3n-1，再将n换为n-1，两式相减可得b=2n-1；(2)若mab8恒成立，即为m的nnn3n-1最大值，由c=工9作差，判定函数的单调性，即可得到最大值，进而得到m的最小值.n3n-1试题解析：(1)因为等比数列a满足：a=1,a,a,a+14成等差数列，n1132所以：2a=a+a+14，即2aq2=a+aq+1

12、4，312111所以：2q2-q-15=0，所以q=3(因为q1)所以a=3n-1，n因为：ab+ab+ab=(n1)3n+1，1122nn所以当n2时，有ab+ab+ab=(n2)3n-1+1，1122n-1n-1得：ab=(2n-1)3n-1(n2)，nn所以b=2n-1(n2)，当n=1时也满足，所以b=2n-1.nn2n-9(2)若mab-8恒成立，则m恒成立，nn3n-12n-920-4n令c=，则c-c=n3n-1n+1n3n当n二5时，c=c,56当n5时，cccc5时，ccc.678所以c的最大值为c=c=，所以mn,m的最小值为右.n56818181考点：等比数列的通项公式；

13、数列的求和.7.已知数列a，a0，其前n项和S满足S=2a-2n+i，其中neN*.nnnnn（1）设b斗，证明：数列b是等差数列；TOC o 1-5 h zn2nn（2）设c=b-2-n，T为数列c的前n项和，求证：Td成 HYPERLINK l bookmark71 o Current Document nn+1n立.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）九=一1.【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用等差数列的定义推证；（2）依据题设运用错位相减法推证；（3）借助题设建立不等式分类探求.试题解析：（1）当n=1时，S=2a-4a=4，111当nn2时，a=SS=2a2n+1

14、2a+2n，nnn-1nn-1.aa2a=2n，即-h=1,2n2n-1.bn-b=1n-1常数），n-1又bic=b-2-n=(n+1)-nn2n23T=+n21T=2n2)22222n+1nn+1相减得牙t=2nT=3-n2n2n2n2n+1111卜一+22232nn+1n+3=3-d得4n+1+(-1)n九.2n+24n+(-1)n-1九.2n+1，n+1n34n+(-1)n九2n+2+(-1)n九2n+10，34n+(l)n九2n+1X30,2n-1+(1)n九0,当n为奇数时，九2-1，.:九1；当为偶数时，九2n-1，:九2,2九1，又九为非零整数，九=1.考点：等差数列及错位相减

15、法等有关知识的综合运用【易错点晴】本题以数列的前项和与通项之间的关系等有关知识为背景，其目的是考查等差数列等比数列等有关知识的综合运用,及推理论证能力、运算求解能力、运用所学知识去分析问题和解决问题的能力的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息S=2a2+1,借助数列前n项和S与通项a之间的关系TOC o 1-5 h znnnnaa=SS(n2)进行推证和求解本题的第一问，利用等差数列的定义证明数列才是等差数列；第二问中nnn12n则借助错位相减的求和方法先求出T=3二-字=3二3；第三问是依据不等式成立分类推得参数九的n2n2n2n取值范围.8.设数列a的前n项和为S，已知a=1S=2

16、S+n+1CeN*).nn1n+1n求数列a的通项公式；n若b=一n，求数列b的前项和T.naannn+1n【答案】(1)a=2n1(neN*)；(2)T=2.nn2n【解析】试题分析：(1)根据数列的递推关系式，可得=2，利用数列a+1为等比数列，即可求解数列a的通a+1nnn项公式；(2)由(1)得出b=f各)=n=-，利用乘公比错位相减法，即可求解数列b的前n2n+11)2n1丿2n+12n2nn项和.试题解析：(1)S=2S+n+1，当n2时，S=2Sn+1nn+nn1.a=2a+1，n+1n.an+1+1=2(an+1=2又S=2S+1，21.a=3，.2:a+1=2n，即ann=2

17、n1CeN*)a+12=2，a+11(2)Va=2n-1，n，bn=(2n+11)(2n1)=n2n123丄n HYPERLINK l bookmark121 o Current Document n222232n12n-1n HYPERLINK l bookmark63 o Current Document T=+n22232n2n+11111nn+2T=2(+)=2-n222232n2n+12n考点：数列的求和；数列的递推关系式.9已知数列卞丨的首项且满足二.、：三宀b旦（1）设*,判断数列；是否为等差数列或等比数列，并证明你的结论;（2）求数列卞；的前项和【答案】（1）-二：构成以为首项

18、，：为公差的等差数列；（2）=1，;_-3解析】试题分析：（1）对入-：=二；-左右两边同时除以?，那么构成了新数列/即可求解;结合（1）可求出数列卞：的通项公式，进而利用错位相减的方法求出数列卞：的前一:项和试题解析：（1）二二二；-、，-_：_：_；二-,：二构成以=1为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）可知J=：-，所以：=1：-；斗=1占+3-3二+5-护+(山1)-3一-:：-0，a2+2a=4S-1.nnnnn（1）求a的通项公式;n1(2)设b二naann+1，求数列b的前n项和T.nn试卷第 页，总14页试卷第 #页，总14页【答案】(1)a二2n-1；(2)n2n+1【

19、解析】试题分析：(1)根据条件等式分n二1与n2，利用a与S的关系可求得数列的通项公式；(2)首先结合(1)求nn得b的表达式，然后利用裂项法求和即可nTOC o 1-5 h z试题解析：(1)依题意有(a+1)2=4Snn当n=1时，(a1)2=0，得a=1；11当n2时，(a+1)2=4Sn-1n-1有-得(a+a)(aa2)=0，因为a0，:a+a0naa2=0(n2)，nnn1nn1a成等差数列，得a=2n1.nn1nn-1nn-111(2)b=()， HYPERLINK l bookmark117 o Current Document n22n12n+1I-11111、11、nT=b

20、+b+b=_(1+_+)=(1)=n12n23352n12n+122n+12n+1考点：1、数列的通项公式；2、裂项法求数列的和11.已知数列a是等比数列，满足a=3,a=24，数列b满足b=4,b=22，且ba是等差数列.n14n14nn求数列a和b的通项公式；nn求数列b的前n项和。nn答案】()a=3x2n-1；b=2n+3x2n-1(n=1,2,).(II)(3n)+3x2n3.nn2解析】试题分析：(I)数列a是等比数列,所以根据公式qn-m=你，求公比，根据首项和公比求通项公式，因为数nam列ba是等差数列，所以根据数列的首项b-a和数列的第四项b-a，求数列的公差，即求得数列ba

21、nn1144nnTOC o 1-5 h z的通项公式，最后再求得数列的通项公式；(II)b=2n+3x2n】(n=1,2,)，所以根据分组转化法：等nn差数列加等比数列求和.试题解析：(I)设等比数列a的公比为q，由题意得q3=你=24=8，解得q=2.na31所以a=aqn-1=3x2n-1(n=1,2,).n1设等差数列b-a的公差为d，nn试卷第 页，总14页试卷第 页，总14页所以ba=(ba)+3d.即2224=(43)+3d.解得d1.4411所以ba(ba)+(n1)d1(n1)2n.nn11从而b2n+3x2n-1(n1,2,).n(II)由(I)知b2一n+3x2n-1(n1

22、,2,).n数列(2n的前n项和为2(3n)，数列x2nt的前n项和为12n3x3(2n1)3x2n3.12所以，数列b的前n项和为(3n)+3x2n3.n2考点：1.等差，等比数列求和；2.分组转化法求和.aSa=1,S=na2n2+2n(ngN*)12.设数列l/的前n和为Sn，1nn.(1)求证：数列an为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式;S+H+虽+.+2n1124(2)是否存在自然数n，使得123n?若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由;3)设c=n2n(a+7)n(ngN*),Tc+c+c+.+c(ngN*),若不等式T(mgZ)，对ngN*恒成立,n123nn32

23、求m的最大值.答案】(1)证明见解析，a=4n3,S=2n2n；(2)n=10；(3)7.nn解析】S试题分析：1)利用aSS，求得aa4，这是等差数列，故a4n3,S2n2n；(2)f2n1，nnnn1nn1这是等差数列，前n向和为n2+2n1124，故n10；(3)，利用裂项求和法求得T=2(nJ32，解得m2),相减得n1ana(n1)a4n+4n(n1)a(n1)a4(n1)naa=4(n2).nnn1nn1nn1故数列a是以1为首项，n以4公差的等差数列.a1+(n1)x44n3(ngN*),S山丿2n2n(ngN*).nn2试卷第 页，总14页试卷第13页,总14页1)试卷第 页，

24、总14页(2)由(1)知=2n1(ngN*),nSSS()n1+(2n1)S+2+3+.+n+2n=1+3+5+.+l2n1丿+2n=+2n=n2+2n,由123nn2+2n=1124，得n二10,即存在满足条件的自然数n二10.3)(111匚1)r11r11,T=c+c+c+.+c=1+.+jnn+1丿n123n2j2丿:23丿jnn+1丿n+1,即T单调递增,n=2=1=1nn(a+7)2n(n+1)2n=nTT2(n+1)n+1n=2W)=2(n+2)(n+1)-恒成立，只需324成立，即m8(mgZ).324(1)求数列a的通项公式;n2)设b=n(a1馬1)，求数列呼的前n项和Sn.

25、nn+1答案】(1)a=2n(ngN*)；(2)S=1nn2n+11解析】试题分析：(1)利用递推关系即可得出；12n12n+11(2)结合(1)可得b=n1，利用裂项相消求和.aaa试题解析：因为a1+W+右+茁=2n，ngN*，所以当n=1时，a1=2当n2H寸，a+2+3+n-1=2(n-1)，-得，=2-2n1所以a=2nn因为a1=2,适合上式，所以a=2n(ngN*).2na2)由所以b=nn(a1)(a1)(2n1)(2n+11)nn+12n12n+11所以S=B+B+Bn12n111111=(1)+()+()+(3377152n12n+i1=1-丄.2n+11考点：(1)数列递

26、推式；(2)数列求和.2x14.已知函数/(x)=-，数列a满足a=1，a=f(a).3x+2n1n+1n(1)求数列a的通项公式；n2)设b=aannn+1，数列b的前n项和为S,若SVm2016对一切正整数n都成立，求最小的正整数m的值.nnn【答案】（1）A=；（2）2018n3n1解析】试题分析：（1）由已知可得到数列a的递推公式，递推公式两边取倒数，可得数列n是等差数列，求出的通项公式进而可得数列a的通项公式；（2）由（1）可得数列B的通项公式，将其变形后利用“裂项相消法”nn2m62求前n项和，可得S，只需J即可（考虑m为正整数）.n3232AN-试题解析：(1)a=f(a)=3A

27、n+2,n+1n取倒数，可得An+113113贝H=+=(n1)=anA213n一1，即有A2）=aann+13n13n+23(3n13n+2丿)=4(11)91解析】试题分析：（1）由a=S+3n，可得数列S3n是公比为2，首项为a3的等比数列；（2）当n2时,n+1nn1a=S-S=(a-3)x2n-2+2x3n-1，利用a为递增数列，即可求解a的取值范围.TOC o 1-5 h znnn-11n1试题解析：(1)证明：Ta=S+3n(nN*),S=2S+3n,n1nn1nS3n+i=2(S3n).又Ta#3,n+1n1数列S3n是公比为2,首项为a3的等比数列.n1(2)由(1)得，S3n=(a3)X2ni,AS=(a3)X2ni+3n.n1n1当n$2时，a=SS=(a3)X2n2+2X3ni.nnn11Ta为递增数列，n当n$2时，(a一3)X2n-i+2X3n(a3)X2n2+2X3ni,厂3-22n212X+a30,.a一9.12丿11Ta=a+3a,a的取值范围是a一9.21111考点：等比数列的性质；等比数列的定义；数列的递推式