4 有界线性算子与线性算子的基本定理g

1、第四章 有界线性算子有界线性算子与线性算子空间有界线性泛函与共轭空间微积分主要研究对象函数R到R的映射一元函数Rn到R的映射n泛函分析主要研究对象线性算子 线性空间到线性空间的映射非线性算子 一般空间到一般空间的映射算子泛函线性泛函 线性空间到R的映射非线性泛函 一般空间到R的映射线性算子空间有界线性算子集合+算子线性运算+算子范数=线性赋范空间共轭空间有界线性泛函集合+泛函线性运算+泛函范数=巴拿赫空间 一、有界线性算子的定义与性质1 有界线性算子的定义定义1 设X是线性赋范空间,DX是线性子空间,映射T: DY.(1)T是线性算子x1, x2D及数K,有T(x1+x2)=Tx1+Tx2T(

2、x)=Tx (2)T是连续算子xn, xD,n=1,2, xnx, 有TxnTx x,x0D, xx0, 有TxTx0;T在D上处处连续 (3)T是有界算子xD, M0, 使|Tx|M|x|X (4)T是有界线性算子T既是有界算子,又是线性算子(5)T是连续线性算子T 既是连续算子,又是线性算子注:1)定义中,D -算子T的定义域; M -算子T的界值;T(D)=Tx|xD- 算子T的值域 2）有界算子与有界函数不同,例如 f (x)=x无界函数有界算子:|f(x)|=|x|0, 使得 |Tx|K.(2) T为连续算子T在x0D处连续 T在D上处处连续证 (1) “” 设T: DY是线性、有界

3、算子，AD为有界集 M0,使得|Tx|M|x|; 且K0, 使得|x|KxAD,TxT(A)Y|Tx|M|x|MK； T(A)Y是有界集 “” 设T: DY是线性算子,且对AD为有界集,有 T(A)=Tx|xAY也是有界集对单位球面S=x| |x|=1,xDD(是有界集),有T(S)=Tx|xS为有界集 xS, 有TxTS, 且M0, 使|Tx|M(3) T为连续算子T为有界算子.xD, x,有 xD, x, 有 当x=D时,有|Tx|=M|x|=因此xD, 有|Tx|M|x|，即T为有界线性算子.(2) “” 设T: DY是线性、连续算子 xn, xD, xnx, 有TxnTx T在D上处处

4、连续(定义） “” xn, xD, xnx, T是线性算子，且T在x0D处连续 (xn-x)+x0D, 且(xn-x)+x0 x0 T(xn-x)+x0Tx0 （T在x0处连续定义） Txn=Txn-Tx+Tx0=T(xn-x)+x0Tx0 (线性算子定义）T是线性、连续算子“” 若T: DY是线性、有界算子, xD, M0, 使得 |Tx|M|x|（有界算子定义） xn,xDX, M0, 使得|Txn-Tx|=|T(xn-x)|M|xn-x|（线性、有界算子定义） xn,xDX, xnx|xn-x|0 (n) (按范数收敛) |Txn-Tx|0 TxnTx (n) T 是线性、连续算子.(3

5、)“” 设T: DY是线性、连续算子.如果T是线性、无界算子 对n, xnD, xn, 使得|Txn|n|xn|,n=1,2, 对于由于T是线性、连续算子矛盾。故T是线性有界算子推论：T为连续线性算子T为有界线性算子.3 有界线性算子的范数 定义2 设X,Y是线性赋范空间，DX是线性子空间, T: DY是有界线性算子,则称|T|=inf M | |Tx|Y M|x|X, xD 为算子T的范数定理2 设X,Y是线性赋范空间,DX是线性子空间,T: DY是 有界线性算子，则T的范数具有下列性质：(1)|Tx|T| |x|,xD(即|T|是有界线性算子T的最小界值定义）(2)（可作为范数定义） 证4

6、 算子的延拓 定义3 设X,Y是线性赋范空间, D1D2X是线性子空间, T1: D1Y, T2: D2Y是两个有界线性算子,且当xD1时,T1x=T2x, 则称算子T2是T1的延拓。结论：算子延拓后,新算子的范数大于或等于原来算子的范数。事实上，5 有界线性算子及其范数举例例1 设X是线性赋范空间,则X上的相似算子T: XX, Tx =x,是有界线性算子。 事实上，x1, x2X, 1,2R, T(1x1+2x2)= (1x1+2x2)= 1x1+ 2x2=Tx1+Tx2; |Tx|=|x|=| |x|; 故T是有界线性算子，且|T|=|.注:当 =1时,T为恒等算子I,|I|=1；当 =

7、0时, 称T为零算子事实上，T 显然是线性算子可以证明 因此 例2 乘法算子T: Ca,bL2a,b, Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且 T是有界算子,且例3 乘法算子T: Ca,bCa,b, Tx(t)=t x(t)是有界线性算子,且 事实上，T 显然是线性算子可以证明 因此 T是有界算子,且注:乘法算子T: L2a,bL2a,b, Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且 例4 积分算子T: Ca,bCa,b, 是有界线性算子,且 |T|=b-a事实上，T显然是线性算子,且T是有界算子,且 |T|b-a另一方面，取x0=x0(t)=1, 则|x0|=1故 |T|=b-a 例

8、5 积分算子T: L1 a,bL1a,b, 是有界线性算子,且 |T|=b-a.事实上，T显然是线性算子,且T是有界算子, 且|T|b-a另一方面,对任何使a+1/nb的n,构造函数列故 |T|=b-a. |xn|1=1, 且例6 积分算子T: L1 a,bCa,b, 是有界线性算子,且 |T|=1.事实上，T显然是线性算子, 且故T是有界算子,且|T|1.另一方面, 取故T是有界线性算子,且 |T|=1.例7 Fredholm算子(以二元连续函数K(s,t)为核的积分变换算子）T: Ca,bCa,b也是有界线性算子,且事实上，T显然是线性算子,且对x=x(t)Ca,b, 有其中从而T是有界线

9、性算子,且可以进一步证明 因此 例8 Fredholm算子(以二元平方可积函数K(s,t)为核的积分变换算子）是有界线性算子,且事实上，T显然是线性算子, 且对x=x(t)L2a,b, 有可以进一步证明 即|Tx|M|x|, 从而T是有界线性算子，且例9 矩阵算子A: RnRm, 是有界线性算子,且算子A的范数随Rn,Rm中所取向量的范数不同而不同。(1) x=(x1,x2,xn)T Rn, 若取范数则有(2) x=(x1,x2,xn)T Rn, 若取范数则有（矩阵的谱范数）（矩阵的无穷范数）(3) x=(x1,x2,xn)T Rn, 若取范数则有（矩阵的1-范数）证 T 显然是线性算子。(1

10、) x =(x1,x2,xn)T Rn, 取范数则有即A是有界算子，且另一方面, 记取所以(3) x =(x1,x2,xn)T Rn, 取范数则有即A是有界算子，且另一方面, 记所以取例10 设e1,e2,en是Rn的一个基底, 定义线性变换算子T:则T是线性算子，且T由方阵A=(aji)n唯一确定，记T=(aji)n=A例11 设C10,1表示C0,1中所有一阶连续可到函数所构成的空间， 是一个线性赋范空间。则微分算子T: C10,1C0,1, 是无界线性算子。事实上，T 显然是线性算子, 取xn(t) =sin(n t)C1a,b, 有 可见，并非所有的线性算子都是有界算子。另外，一般来说

11、，求出有界线性泛函的范数并不是一件容易的事。但 Txn(t) =n cos(n t)Ca,b, 有故T是无界线性算子,且T不连续。二、线性算子空间1 线性算子空间的概念定义4 设X,Y是两个线性赋范空间，T: XY是有界线性算子,记集合 B (X,Y)=T |T:XY是有界线性算子对T, T1, T2B (X,Y), R, 定义 （1）（T1+T2)x=T1x+T2x , (T)x=Tx, (xX)（2）则B (X,Y)成为线性赋范空间，称之为线性算子空间。注: 1)（T1+T2)(1x1+ 2x2)=T1(1x1+ 2x2)+T2(1x1+ 2x2) =1T1x1+ 2T1x2+ 1T2x1

12、+2T2x2 =1(T1x1+T2x1)+2(T1x2 +T2x2)=1(T1+T2)x1+ 2(T1+T2)x2 (T)(1x1+ 2x2)=T(1x1+ 2x2) =1Tx1+ 2Tx2=1(T)x1+2(Tx2) 所以T1+T2与T都是线性算子；2) |(T1+T2)x|=|T1x+T2x|T1x|+|T2x| |T1| |x|+|T2| |x| =(|T1|+|T2|)|x|;所以T1+T2与T又都是有界算子；| (T)x|=|Tx|=| |Tx| |T| |x|所以T1+T2与T都是有界线性算子,即T1+T2,TB(X,Y),从而B(X,Y)是线性空间。3) |T|0,且|T|=0,

13、当且仅当xX, |Tx|T| |x|=0, 即Tx=，T为零算子; (非负性)(齐次性)| (T1+T2)x|(|T1|+|T2|)|x| |T1+T2|T1|+|T2| (三角不等式)所以由定义的范数满足范数公理,故B(X,Y)是赋范空间。综合1)-3), B(X,Y)按照上述定义的算子的线性运算和算子的范数是线性赋范空间. |T1+T2|T1|+|T2| |T| |T|2 线性算子空间中的极限理论定义5 设X,Y是两个线性赋范空间，Tn, TB(X,Y), n =1,2,(1) 如果|Tn-T|0, 则称算子序列Tn按范数收敛于T, 或称Tn一致收敛于T.(2) 如果xX,|Tnx -Tx

14、|0, 则称算子序列Tn强收敛于T.定理3：Tn一致收敛于T Tn强收敛于T; 但反之不然。证 Tn一致收敛于T|Tn-T|0Tn,TB(X,Y), n=1,2, 有|Tnx-Tx|=|(Tn-T)x|Tn-T| |x|0反之不然, 例如，当X=Y=l 2 时, x=iX，i0, N0, 当n,mN时，有 |Tn-Tm| xX, |Tnx-Tmx|=|(Tn-Tm)x|Tn-Tm| |x|x|Tnx是基本列 |Tnx-Tmx|=|(Tn-Tm)x|Tn-Tm| |x|x|Tnx是基本列Tnxy=Tx (xX, T: XY)(Y完备, 基本列收敛） |Tnx-Tx|=|(Tn-T)x|Tn-T|

15、 |x|x|Tn-T|N, m) Tn一致收敛于T2）证明上述存在的TB(X,Y), 即T是有界、线性算子.事实上，3、有界线泛函的定义与性质1 有界线性泛函及其范数定义6 设X是数域 K (R或C)上的线性赋范空间,映射f: XK(R或C)称为X的泛函.(1) x1, x2D及数K, 有f (1 x1+ 2 x2)= 1f (x1)+ 2f (x2) (2) xD, M0, 使|f (x)|M|x|X则称f是X上的有界线性泛函，也记作x*=f。注：有界泛函与有界函数不同。例如 f(x)=x无界函数有界泛函: |f(x)|=|x|1)空间上的有界线性泛函及其共轭空间是lp空间上的有界线性泛函的

16、唯一表现形式则且记作证：1) 先证是l p (p1)空间上的有界线性泛函f 是l p上的线性泛函。又 xl p,f 是l p上的有界泛函f 是l p上的有界线性泛函，且|f |=|y|lq霍尔得不等式2) 再证对xl p及l p上的任一有界线性泛函f, 必存在y=yil q,使得( f 的线性有界性) 另一方面注：（3）Lp a,b ( p 1)空间上的有界线性泛函及其共轭空间是Lpa,b空间上的有界线性泛函的唯则且1) 先证是l p (p1)空间上的有界线性泛函证：一表现形式，记作 2）再证对x=x(t)Lpa,b及Lpa,b上的任一有界线性泛函 f, 必存在y=y(t)Lpa,b, 使得(

17、从略)4 有界线性泛函的存在定理（汉恩-巴拿赫定理）定理5 （汉恩巴拿赫(Hahan-Banach)延拓定理）设X是线性赋范空间, LX是线性子空间, g是定义在L上的有界线性泛函,则g可以延拓到整个空间上，且保持范数不变，即存在X的有界线性泛函f,满足条件： 1) f (x)=g(x),当xL时； 2) |f|X=|g|L。定理6 （汉恩巴拿赫定理之2）设X是线性赋范空间, LX是线性子空间, x0X L,则必存在X上的有界线性泛函 f, 满足条件： 1) f (x)= 0, 当xL时；2) f (x0)=d, 3) | f |X*=1. 推论1 设X是线性赋范空间, LX是线性子空间, x

18、0X L, 则必存在X上的有界线性泛函f1, 满足条件： 1) f1(x) = 0, 当xL时；2) f1(x0) = 1； 3) |f1|X*=1/d。 推论2 设X是线性赋范空间, LX是线性子空间, x0X L, 则的充分必要条件是对X上任意满足f (x)= 0(xL)的泛函, 必有 f (x0)= 0.定理7 （汉恩巴拿赫定理之3）设X是线性赋范空间, 对X是线性子空间, x0X, x00, 则必存在X上的有界线性泛函f, 满足: 1) f(x0)=|x0|； 2) |f|=1.证 在定理6中，取L=, 则d=|x0|。推论3 若对X上的任意有界线性泛函f, 均有f(x0)=0, 则x0=5 线性赋范空间X与其二次共轭空间X*的关系定理8 (X*与X*的关系）设X是线性赋范空间, X*、X*分别是X的共轭空间和二次共轭空间，则存在一个从X到X*的线性映像（称之为自然映像）J: XX*, J(x)=x*(xX), 且有 |x|X=|x*|X* , XX*证 xX, x*X*, 作X*上的泛函x*：x*(x*)=x*(x)x*(x1*+x2*)=(x1*+x2*)(x) =x1*(x)+x2*(x)=x*(x1)+x*(x2)|x*(x*)|=|x*(x)|x*| |x|=|x| |x*|x*使X*