山东大学高等数学课件01函数、极限、连续

1、高等数学初等数学常量数学高等数学变量数学它是学习其它专业课所必须的基础知识，函数 极限 连续高等数学是一门基础理论课，所用的工具是极限。也是解决科学技术问题的重要工具。高等数学研究的对象是函数， 函数以a为中心任何开区间，称为点a的邻域，记作一 预备知识1.集合2.区间3.绝对值邻域表示方法:4.邻域设有两个变量x与y,如果变量x内任取一个确定数值时，在其变化范围D 变量y按照一定的规则有唯一确定的数值和它对应，1.定义则称变量y是变量x的函数，记作y=f(x)二.函数概念3.求定义域2.分段函数4.性质5.反函数其定义为D,值域为W， 由两个或两个以上数学式子表示的 有界性、一个函数单调性、

2、奇偶性、周期性记作 x=f-1(y),定义.给定函数y=f(x)，如果对于W中任一值y=y0，必定在D中有唯一的x0,使f(x0)=y0,我们说在W上确定了y=f(x)的反函数，三.复合函数1.基本初等函数(六种)（1）常数函数（6）反三角函数（3）指数函数（5）三角函数（2）幂函数（4）对数函数由F(x,y)=0 确定的函数y=f(x)，6.隐函数是x 的隐函数2.复合函数设y是u的函数y=f(u)，且 的值域包含在y=f(u)的定义域内，则通过变量u ,y就是x 的函数，记作 y=f 而 u 称为中间变量而u= 又是 x 的函数.称这个函数为y=f(u)及u= 复合而成的复合函数 3.初等

3、函数由基本初等函数通过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成的且能用一个解析式子表示的函数均为初等函数研究复合函数，经常需要将一个复合函数分解成几个简单函数的形式。四.双曲函数与反双曲函数1.双曲函数 2.反双曲函数反双曲正弦反双曲余弦反双曲正切例 分解复合函数为几个简单函数的形式极限1、数列自变量为整数的函数称为整标函数，将整标函数的函数值按自然数 顺序排列出来的一列数记作称为数列数列中的每一个数叫作数列的项第n 项un 叫作通项一、数列极限2、数列的极限 定义1.给定数列xn,如果当n无限增大时xn无限趋近于某个确定的常数a,则称a为n趋于无穷时数列xn的极限或者称数列xn收敛于a,记作或

4、例如一尺之棒，日取其半，万世不竭。庄子天下篇载一段话即一尺长的木棒,每天取下它的一半,每天取下它的长度是一个数列,当n时,无限趋于常数0,但永远不等于0.这就是万世不竭.定义2 使得当 时，则称常数a为数列xn或（ ）记为若数列 xn 没有极限，则称数列 xn 是发散的设 a 为常数，如果对于任意给定的正数（不论多么小），总存在正数N，恒有当 时的极限， 几何意义：若将数列的项 用数轴上的对应点表示，则数列xn 收敛于A 意味着，总存在着整数N，使当 时所有的点xn都落在点A的 邻域 之内，而只有有限个（至多 个）落在这个邻域之外，于是点 就是点列xn 凝聚中心不管 多么小例 证明思考：数列是

5、否有两个极限，为什么？证：因要使若取正整数由定义可以证明。 1).如果数列xn收敛于a, 则xn的任意子列xn也收敛于a.即但反之不成立（M为常数）即 2).如果数列xn收敛, 则 一定为有界数列二、函数的极限 3）如何刻划这种变化趋势1）作图2）当 时，f(x)与哪个常数无限接近给定一个函数y=f（x），在变量x充分大以后有定义，如果当x无限增大时，函数y=f（x）无限趋近于某一个常数a，定义1几何意义定义2则得数列极限的定义。特例 数列极限结论当x 取自然数n.1）画图3）用什麽方法刻画这种趋势？2.极限2）当 ,f(x) 时,变化趋势如何？例 研究函数f(x)与1愈来愈近当 x 与0无限

6、接近(并不是x=0之意)时, 当 时的变化趋势。定义1设对某个常数h0,函数y=f（x）的实数集函数f（x）的值无限趋近于某一确定常数a，上有定义，如果当自变量x无限趋于x0（xx0）时设函数f(x)在x0 的某邻域内有定义，若对于任意给定的正数 ,总存在正数 ，恒有记作则称常数a为 当 时的极限，（ 可除外）a为一常数，使当时，或定义2注 意1） 意为从 x0 两侧无限接近x02）即使函数f(x)在x0点无定义，仍可考虑记忆法：给定任意小， 必可找， 邻域内，距离任意小。的存在问题3）表示思考 ：若函数f(x) 在x0 有定义4）由定义知： ，x0 为任意实数是否一定成立例2 证明几何意义证

7、任意给定 因为欲使只要例 3 证明对于任意给定 因为所以要使只要例4 证明证 对于任意给定的正数因为欲使只要2、左、右极限记作1）右极限函数y=f（x）在实数集上有定义，设对某个常数h0,左极限2）函数y=f（x）在实数集上有定义，设对某个常数h0,定理记作左极限和右极限统称为单侧极限例 5 例 6注意 不要把无穷小与很小的数混为一谈！定义5 无穷小与无穷大1、无穷小注：1）无穷小是一个变量，而不是一个数因而0是无穷小2）当 时，满足无穷小的定义，3）当 （或 ）时，函数与零无限制地逼近定义6定理2 1.无穷大是一个变量，而不是数。2.函数的极限是无穷大,表明极限不存在注:问题：无穷大量与无界

8、函数有什么区别？2、无穷大 极限的性质和运算法则一、极限的性质1.如果 f（x）g（x），而则有AB2.极限的唯一性如果又则必有A=B3.极限的局部保号性1)2)(局部)有界性定理5 4、极限与无穷小的关系 (1) 自变量必须在同一变化趋势下；(2)极限存在的函数可写成其极限值 与无穷小之和注意二、无穷小的运算性质定理6 有限个无穷小的代数和仍为无穷小.定理7 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.推论1 常量与无穷小之积仍为无穷小.推论2 有限个无穷小之积仍为无穷小. 无穷大量与无穷小量的乘积是否为无穷大？思考：无穷大量与无穷小量的乘积是否为无穷小？三、极限的运算法则定理8推论3推论41）若有限

9、个函数的极限存在，2）上面各定理对于数列同样正确3）上面各定理的极限过程为 或注 1）例1若则和的极限 等于极限的和注意：若且则例2注 2）注 3）若则则应消去零因子后，再求极限例3若注 4）例4注 5）对于无理分式，若是则应将分子或分母有理化后，再求极限例5例6例7例8注 6） 例9例9四、有关数列极限的题目例10例11例12 极限存在准则 两个重要极限一、极限存在准则准则1*准则1如果数列 及 满足下列条件则数列 的极限存在且 （夹逼准则）例1xn单调有界数列必有极限. 单调增数列单调减数列单调数列的变化趋势例2准则二、两个重要极限由数学归纳法证明得证：作单位圆则SAOB即交OB的延长线于

10、D 由于所以以 代 此不等式仍成立过点A 作圆的切线,SAODS扇AOB于是设圆心角为用准则 有所以即得下面证明事实上注意注意：凑函数 u(x)， u(x)趋于零例1例2例3例4分子分母同乘以例5重要极限首先考虑 取整数 的情形设 证 单调有界由二项式定理展开类似地比较与 知：又即可以证明结论：有界，有准则，此数列 有极限。例2例3例1注意例1例4无穷小的比较一、无穷小的比较定义1二、无穷小主部和无穷小的阶定义2定义3例1例2三、等价无穷小代换定理定理1证例3 求例4注意 等价无穷小代换不能在加减法中适用.例总 结习题课小结；求极限的方法 1.利用极限的基本性质和运算法则 例1 例2例3 2.

11、 利用两个重要极限例4例5原式=例6例7例8有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量为有限值）（3.利用适当的函数变换例9例10例11已知求因为所以即4.利用极限存在准则例12 设 求其中解又单调减少,且有下界,有极限设极限为 ,即即5.等价无穷小代换记住一些常用的等价无穷小例13由得例14例15例166.左右极限例17例18设求7.根据极限求参数例19设求解而 是常数即例20已知求 之值 解而即即对于极限是否存在,有下面的结论: (2)对于函数来说: 的充要条件是对于任一列 都有是其任意子列都收敛,1)且都收敛于同一极限(1)对于数列来讲,一个数列收敛的充要条件 的充要条件是对于任一列 都有2)3

12、) 对于单侧极限也有类似的结论上述极限性质常用于判别极限不存在1）对于数列来讲，则原数列极限不存在。但极限值不等，若有两个子列均收敛，则函数极限不存在。3）上述性质也可用于判断极限不是无穷大例21但当 时2）对于函数来说，若有两个数列均收敛于x0（但每一项都不等于x0 ）（或趋于 ），但其函数列不收敛或极限不相等，证明函数在 上无界，这函数也不是无穷大证：这说明在 上无界而取又当而这说明 不是无穷大量例22 证明不存在证 取则所以取则所以由于所以 不存在第六节 函数的连续性与间断点一、函数的连续性注意增量定义1二.函数连续的定义若反之,称函数在x0 处间断,且将x0 叫作函数的间断点 于是,得

13、到连续性的等价定义因为 或故由可推得注意 等价定义如下定义2连续函数的几何意义:若 在 上连续,则图形在 必断开,则对应于函数的图形(曲线)是连续不断的,且断开的形式是多种多样的.若在 处 不连续,例1由 的任意性知例2同法可以证明 在 内也连续例3三、间断点定义3间断点分类例4例5三、初等函数的连续性(导读)和差积商的连续性反函数的连续性复合函数的连续性例6即 若则更一般地初等函数连续性1、基本初等函数在其定义域上连续.2、初等函数在其定义区间上连续.3、初等函数在其定义区间上求极限即求该点的 函数值.4、初等函数求连续区间即求定义区间.例7第七节 闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值定理定义最大值和最小值. 定理1 (最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有几何说明：例如 在 上连续