4.1 对称性、守恒律和简并性

1、第4章 量子力学中的对称性 4.1 对称性、守恒律和简并性一、经典物理中的对称性对拉格朗日函数：若 ,即广义动量为运动常数.类似地，若用哈密顿函数 的正则方程来讨论：1二、量子力学中的对称性量子力学中的操作如平移、转动等是与一个幺正算符T相联系的，习惯上T常被称作对称算符。若T作用下系统不变,则称系统具有与T相关的对称性.对无穷小变化的操作，T可写为， 其中G是对称操作的厄米生成元。若H在T作用下不变， 则根据海森堡运动方程，有 ，即G是运动常量。2例如动量是平移的生成元，若H在平移操作下不变，则动量是运动常量（即守恒）。类似的，若H在转动下不变，则转动的生成元角动量守恒。从态矢变化的角度看，

2、若G与H对易，则 保持是G的本征态，且G的本征值不变：物理规律的平移不变性特征3三、简并 态若H,T=0，T为某对称算符，|n为本征值为En的能量本征态，则T|n也是相同能量的能量本征态。如果T|n与|n是不同的态，则称它们是能量简并态，体系有简并。有时T由连续参量表征T=T(),此时所有的T()|n态都简并（但简并度只是独立的T()|n态数）。4如对转动， 可构造H,J2,Jz的共同本征态|n;j,m。由上所知，所有D(R) |n;j,m态能量简并。由于 , 改变表征D(R)的连续参量,可得不同|njm组合,故不同m的|njm是简并的。因m有2j+1个，简并度为2j+1。从H,J=0和J作用

3、于|njm也可知其有2j+1简并度5作为应用，考虑原子中电子的状态，其所受势为 。由于势V(r)在转动下不变，故原子能级有2j+1重简并。若外加Z方向的电磁场，则电子所受的势不再在转动下不变，简并被消除。64.2 分离对称性，宇称或空间反演 上面讨论的是连续性对称操作，即对称操作可由相继无穷小对称算符所得。量子力学中有用的对称操作并不限于此种形式，可有分立而非连续的对称操作，如宇称，晶格平移和时间反演。宇称或空间反演操作将r变为-r，右手坐标系变为左手坐标系。量子力学中我们讨论的常是作用于态矢而不是坐标系的变换。对称操作的两种等价方式：主动与被动7一、宇称算符的基本性质对|,用幺正算符表示宇称

4、算符，| |。 要求位置算符的期待值变号，即则有位置本征态|x在宇称作用下变为本征值为-x的态：故由于用作用两次体系必恢复原状，故2=1=-1=+，是厄米的。对的本征态|,因|=2|，知=18二、算符在宇称操作下的变换由于先平移后反演等同于先反演后在相反方向平移：有或p,=0. 该关系与p=dx/dt的预期相同。对轨道角动量L=xxp，可预期L,=0.对一般角动量，考虑到R(宇称)=-I,宇称和转动操作对易，故量子力学中的相应幺正算符也对易: D(R)=D(R) ,J=0.9三、矢量和赝矢量在转动下x和J以相同方式变换，两者都是矢量，或一阶球张量，但x和p与反对易，而J与对易。与宇称反对易的矢

5、量称为极性矢量，而与宇称对易的矢量叫做轴矢量或赝矢量。类似的有标量算符（与宇称算符对易）和赝标量算符（与宇称算符反对易） 。LS、xp是标量： + LS= LS赝标量的例子包括Sx、Lx等：10四、波函数在宇称操作下的变换若|为宇称本征态，|= |,则= , 故有“+”对应偶宇称，“-”对应奇宇称。当然，只有与对易的算符之本征态才可能有确定的宇称。如动量算符不与对易，其本征态即平面波并非的本征态，而轨道角动量的本征态则可为的本征态：11五、能量本征态与宇称若H,=0,而|n是H的本征值为En的非简并本征态，则|n是宇称本征态。证：H|n=En|n,由非简并性得|n=ei|n.作为应用，考虑简谐

6、振子本征态。 由于基态为高斯函数，|0=|0, 而|1=a+|0=-|1。 类似可推得|n=(-)n|n12注意:非简并性对得出|n是的本征态是非常重要的。若有简并，如氢原子体系，Cp|2p+Cs|2s是H本征态，但并非的本征态。又如动量本征态也是H本征态，但|p 和 |-p简并, |p并非的本征态.当然，我们可以通过组合H的简并本征态而得到的本征态，如|=|p|-p便是和H的共同本征态13六、对称双势阱 H与对易，H的最低两本征态为对称的|S和反对称的|A,EAES,且EA-ES随势垒增高而减少。14取|R|S+|A，|L|S-|A,在作用下|R和|L对调. |R和|L不是的本征态，也不是H

7、的本征态，但有相同能量期待值. |R和|L是非定态,若t0=0处于|R，则t时状态为该态在|R和|L间震荡，震荡角频率为15该震荡可看成量子力学的隧道贯穿，粒子在经典物理禁止的区域隧穿而震荡于两态间。如势垒无穷高，则EA=ES，从而=0，不再震荡。注：对无穷高势垒， |R和|L均是H的本征态，但|R和|L均非的本征态。即H所具有的宇称不一定反映在其本征态上，这是简并与对称破缺的一个简单例子。这种现象在自然界相当普遍，如铁磁现象，糖与氨基酸的手性等。 16七、宇称选择定则 若 将相反宇称的态相联系。该讨论可推广到其他算符。如算符为奇宇称，则其只有在不同宇称的状态间有不为零的矩阵元。偶宇称算符则在同宇称态间矩阵元才可能不为零。 如果H,=0,能量非简并态