ch4 随机变量的数字特征

1、 第四章 随机变量的数字特征 2022/8/18数学期望的定义随机变量函数的数学期望数学期望的性质1 数学期望2022/8/18一、数学期望定义1） 离散型设离散型随机变量X的分布律为： 若级数 绝对收敛，则称随机变量 X 的数学期望存在，记作 E(X)，且数学期望也称为均值。 2022/8/182）连续型设连续型随机变量X的概率密度为 ， 若积分 绝对收敛，则称积分的值为X的数学期望。记为2022/8/18例1此例说明了数学期望更完整地刻化了X 的均值状态。2022/8/18例 2按规定，火车站每天8:009:00, 9:0010:00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时

2、间相互独立，其规律为：到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率 1/6 3/6 2/6(1) 旅客8:00到站，求他侯车时间的数学期望。(2) 旅客8:20到站，求他侯车时间的数学期望。2022/8/18二、随机变量函数的数学期望定理 1：设 Y =g( X ), g( x ) 是连续函数，(2)若 X 的概率密度为 f ( x )，（1）若 X 的分布率为则则2022/8/18定理 2：若(X, Y)是二维随机变量，(1) 若 ( X, Y ) 的分布律为(2) 若(X ,Y)的概率密度为 f ( x , y ) ，且 g ( x , y) 是二元连续函数，

3、2022/8/18例 3 设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴,y 轴和直线x+y+1=0所围成的区域。求E(X)，E(-3X+2Y)，E(XY)。例4 国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量 X（吨），X U2000,4000，每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但销售不出而囤积在仓库，则每吨需浪费保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。 2022/8/18三、数学期望的性质c是常数.c是常数.4) 若X,Y 独立.2022/8/18例 5对N个人进行验血，有两种方案：（2）将采集的每个人的血分成两份，然后取其中的一份，按k个人一组混合后进行化验

4、（设N是k的倍数），若呈阴性反应，则认为k个人的血都是阴性反应，这时k个人的血只要化验一次；如果混合血液呈阳性反应，则需对k个人的另一份血液逐一进行化验，这时k个人的血要化验k+1次;（1）对每人的血液逐个化验，共需 N 次化验；2022/8/18假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是p，且各次化验结果是相互独立的。试说明适当选取 k 可使第二个方案减少化验次数。 例6一民航送客载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数。求E(X)（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。2022/8/18本节小结：1）数

5、学期望的定义。2）随机变量函数的数学期望。3）数学期望的性质。2022/8/182 方差方差的定义方差的性质切比雪夫不等式2022/8/18一、方差的定义设 X 是随机变量，若 存在，称其为随机变量 X 的方差，记作 D(X),或 Var ( X ) ，即：1）定义：2022/8/182）方差公式：注：方差描述了随机变量的取值与其均值的偏 离程度。离散型：连续型：2022/8/18例12022/8/18二、方差的性质2022/8/18称 Y 是随机变量 X 的标准化了的随机变量。则 E(Y) = 0, D(Y) = 1。性质4）的证明将在后面给出。例 22022/8/18三、定理：（切比雪夫不

6、等式）则对任意设随机变量 X 有数学期望证明：(只证 X 是连续型)2022/8/18例如：在上面不等式中，取 ，有： 这个不等式给出了随机变量X 的分布未知情况下，事件的概率的一种估计方法。2022/8/18例3 设种子的良种率为1/6，任选600粒，试用切比雪夫（Chebyshev）不等式估计：这600粒种子中良种所占比例与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。解：2022/8/18小结：1）方差的定义；2）方差的性质；3）切比雪夫不等式。2022/8/183.几种重要随机变量的数学期望及方差2022/8/182） 二项分布1）两点分布2022/8/18所以说明了二项分布与两点分布的关系

7、。3）泊松分布设 X 服从参数为 的泊松分布，2022/8/184）均匀分布5）指数分布2022/8/185）正态分布 2022/8/18注意：在上一节用切比晓夫不等式估计概率有因此，对于正态随机变量X来说，它的值落在区间 x0内几乎是肯定的。2022/8/18要求：熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的期望值和方差值。2022/8/184 协方差及相关系数协方差的定义协方差的性质相关系数的定义相关系数的性质2022/8/18一、协方差称 COV( X, Y ) = EX E(X )Y-E(Y ) = E(XY) E(X)E(Y)为随机变量 X,Y 的协方差. COV

8、( X, X )=D(X). 称为随机变量 X,Y 的相关系数。是一个无量纲的量；1）协方差的定义2）相关系数的定义2022/8/18证明：E(XY)= E(X)E(Y)所以COV( X,Y ) = 0.由数学期望的性质: 定理：若X，Y 独立，则 X , Y 不相关。 (反之，不然）称 X,Y 不相关，此时 COV( X，Y ) = 0 .若X，Y 独立，注意：若 EX E(X)Y E(Y)则X，Y一定相关，且 X，Y 一定不独立。即 E(XY)-E(X)E(Y)2022/8/18二、协方差的性质1) COV( X,Y )=COV( Y, X ) 2) COV(aX，bY)=abCOV(X，

9、Y)；3) COV(X+Y , Z)=COV(X , Z)+COV(Y, Z);5) X，Y不相关2022/8/18三、相关系数的性质证明：令：求a，b 使 e 达到最小。令：2022/8/18得：2022/8/182022/8/18即由上式得:现在证明：由上面知此时2022/8/18从而 所以2022/8/18反之，若存在 使，这时故 则故2022/8/18说 明X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。X 与 Y 不相关，但不一定相互独立。2022/8/18例1解：2022/8/182022/8/18命题设(X，Y)服从二维正态分布，则2022/8/18例2证明：2022/8/182

10、022/8/18小结：1）协方差的定义和性质；2）相关系数的定义性质；3）不相关的定义及等价条件；4）独立性与不相关性的关系；5）二维正态分布的不相关性与独立性等价。2022/8/185 矩矩n 维正态分布的性质2022/8/18一、矩的定义若 存在，称之为 X 的 k 阶中心矩。若 存在，称之为 X 和 Y 的k+l阶混合中心矩。 所以 E（X）是一阶原点矩， D（X） 是二阶中心矩，协方差COV (X，Y)是二阶混合中心矩。2022/8/18二、n维正态分布的性质服从一维正态分布。正态分布。相互独立2022/8/18例1解：2022/8/18思考题：小结：1）矩的定义.2）n 维正态分布的性质.2022/8/181 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握 它们的性质与计算，会求随机变量函数的数