《量子力学》题库

1、K=1量子力学题库一、简答题试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义答：微观粒子的能量和动量分别表示为：E，hv，-h-p，n，k其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。答：根据量子力学中波函数的几率解释

2、，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。4设描写粒子状态的函数可以写成中，咄+c22,其中C1和c2为复数，1和2为粒子的分别属于能量E和E的构成完备系的能量本征态。试说明式子中，c+c的含121122义,并指出在状态中测量体系的能量的可能值及其几率。答：中，c+c的含义是：当粒子处于和的线性叠加态时，粒子是既处于态,1122121又处于态。或者说，当和是体系可能的状态时，它们的线性叠加态也是体系一个

3、212可能的状态；或者说，当体系处在态时，体系部分地处于态、中。12在状态中测量体系的能量的可能值为E和E，各自出现的几率为|c|2和c2。12112什么是定态？定态有什么性质？答：定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。两者的关系是由全同性原理出发，推论出全同粒子体系的波函数有确定的交换对称性，将这一性质应用到费米子组成的全同粒子体系，必然

4、推出费米不相容原理。7试简述波函数中的标准条件。答：波函数在变量变化的全部区域内应满足三个条件：有限性、连续性和单值性。8为什么表示力学量的算符必须是厄米算符？答：因为所有力学量的数值都是实数。而表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，所以表示力学量的算符的本征值必须是实数。厄米算符的本征值必定是实数。所以表示力学量的算符必须是厄米算符。9请写出微扰理论适用条件的表达式。TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4H1,)答：mn1，(0)E丿E(o)-E(o)nmnm10试简述微扰论的基本思想。答：复杂的体系的哈密顿量芳分成与两部分。是可求出精确解的，而可看成

5、对的微扰。只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。11简述费米子的自旋值及其全同粒子体系波函数的特点，这种粒子所遵循的统计规律是什么？答:由电子、质子、中子这些自旋为2的粒子以及自旋为2的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi)狄拉克(Dirac)统计，称为费米子。12通常情况下，无限远处为零的波函数所描述的状态称为什么态？一般情况下，这种态所属的能级有什么特点？答：束缚态，能级是分立的。13简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例说明(要求写出本征函数系)。在这些态中，测量这两个算符对应的力

6、学量时，两个测量值是否可以同时确定？八答：两个算符存在共同的完备本征函数系的充要条件是这两个算符对易。例如，L2,L0，z这两个算符有共同的完备本征函数系&(0,9)。,m14若两个力学量的算符不对易，对这两个力学量同时进行测量时，一般地它们是否可以同时具有确定值？它们的均方偏差之间有什么样的关系？答：不可能同时具有确定值。它们的均方偏差之间满足海森堡不确定性关系。15请写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。答:1l-11mm一m0,116指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。4X2d2；2；工dx2解：4x2仝是线性算符dx2TOC o 1-5 h zd2d2d24x2(cu+cu)，4x2(c

7、u)+4x2(cu)dx21122dx211dx222d2d2，c4x2u+c4X2u1dx212dx222不是线性算符cu+cu2，C2U2+2ccuu+cu112211121222cu2+cu21122工是线性算符K，1工cu+cu，迓cu+迓cu，c迓u+c迓u112211221122K，1K，1K，1K，1K，117指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。d,dxdidx4仝dx2中*_dx，中*|f中*dxdx-dxx，中一0,0d一卜ddxdx卜(中)*dxdx不是厄米算符dx解：当卜中*f_dx，一中*dx，一卜（中）*dxdxf中*idx，i中*|if中*dxdxi-dx，if

8、(C中)*dx=f(i?中)*dxdxdxi是厄米算符dx18下列函数哪些是算符冬的本征函数，其本征值是什么？dx2x2，ex，sinx，3cosx，sinx+cosxd2解：4-(X2)2dx2x2不是仝的本征函数。dx2d2(exexdx2ex不是丄的本征函数，其对应的本征值为1。dx2空-(sinx)dx2(cosx)dx-sinx可见，sinx是丄的本征函数，其对应的本征值为T。dx2(3cosx)d(-3sinx)=-3cosx-(3cosx)dx2dx3cosx是旦的本征函数，其对应的本征值为T。d2dx2-sinx-cosxdx2(sinx,cosx)(cosx-sinx)=dx

9、-(sinx,cosx)d-4卜如*ddxdx-cdxdxd中*./-，4d2中*dxdx-dx2sinx+cosx是空的本征函数，其对应的本征值为T。dx2d2中*4dx钟*一dx2=-4卜忙处dx4dxdx=-4冬中*dx丿(4空中)*dx-dx2-dx2.4仝是厄米算符dx219问下列算符是否是厄米算符：xp（xp+Px）x2xx1解：v*(xp)Vd,=“*x(p中)d,1x21x2=(X中)*p中d，=(pX中)*中d，1x2x12因为pxpxxxp不是厄米算符。x中*(xp+p)“d,=中*(xp)中d,+中*(px)中d,TOC o 1-5 h z12xx221x221x2中）*

10、中d，x12=1(px中)*中d,+1(.2x122=1(xp+p讪*“d,2xx12=2(px+妙吧珅d,2xx12：（xp+px）是厄米算符。2xx20全同粒子体系的波函数应满足什么条件？答：描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的，且它们的对称性不随时间改变。二、证明题1已知粒子在中心力场中运动，试证明L（角动量在x方向的分量）是守恒量。x证：因为粒子在势函数为U（）的中心力场中运动时，哈密顿算答是TOC o 1-5 h z占p22ddL2H=+U=(r2)+U2p(r)2prdrdr2pr2(r)八因为L与0、有关而与r无关，且L,L2=0 xx所以,L,=0 x2试证：对于一

11、维运动，设有两个波函数W及“2是对应于同一级量E的解，则叩2一中2“1=常数。其中，是对X的微商。2d2证：因为A乔石+U（丿（x）=即（x），所以中i=-2m(E-U)/2中2=2m(EU)/22ii凑全微分得：(,)=01221积分得：,=常数12213试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。证明：设,和,是对应于同一能级E的不同本征态，则,=常数。121221在特例下，令,2-,2,1=0，即dx=J2dxC,2由此得：,1=C,2所以,和,描述同一个态。124试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。证明：考虑一维情况2mdx2为厄密算符，为厄密算符，为实数为厄密算符为厄密算符5已知轨道角

12、动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为，取试证明:也是和共同本征函数，对应本征值分别为:是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数6.证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令(r,t)=(r)f(t)=(r)e，；Eti力J=(V*V)2mi方丄丄i_i_=(r)e爲EtV(r)e严)*(r)eEtV(中(F)e，aEt)2mi力=(F)V*(r)中*(r)V(r)2m可见J与t无关。7在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(，x)=U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为方2d2TOC o 1-5 h z-一(

13、x)+U(x)(x)=E(x)2dx2将式中的x以(-x)代换，得方2d2(-x)+U(x)(-x)=E(-x)2dx2利用U(，x)=U(x)，得方2d2(-x)+U(x)(-x)=E(x)2dx2比较、式可知，中(-x)和(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此中(-x)和(x)之间只能相差一个常数c。方程、可相互进行空间反演(x-x)而得其对方，由经xt-x反演，可得，n中(x)=c中(x)由再经-xtx反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。n中(x)=c中(，x)乘，得,(X),(-X)=C2,(X),(-X)可见，c2=1c二1当

14、c=+1时，中(-X)=,(x)，,(x)具有偶宇称,当c=-1时，(-x)=-,(x)，,(x)具有奇宇称,当势场满足U(-x)=U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。8证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是J二J二0ereejehme9卩rsin0nm证：电子的电流密度为TOC o 1-5 h z，i力J二-eJ二-e(,V,*-,*V,)nme2卩nmnmnmV在球极坐标中为,a1,a,1aVe+e+e-rarr0a09rsin0a9式中e、e、ree为单位矢量9,ihaJ-eJ-e,(e+e2|LXnm-,*(enm1asin0a申1a1,a,e+earreae

15、9ra1,a,+e+e),arreae9rsinea9nm*nmieha-e(,中*2卩rnmarnm1a-,*nmra0a-,*一nmar、，/1)+e(:_TT中-中*nm9rsin0nma9nm)+e(,中*nmenmraenm1-中*中)rsinenma9nmnm中的r和e部分是实数。ieh-(-im,2yrsin0nm2-im,nm2),ehm9財sin0nm2e可见，J二J二0ereeeehm,rsin9nm9如果算符&、0满足关系式00&1，求证&02一020C2003030C302证：02-02(1+02)一0202+00一02=02+0(1+0)-02200303(20+02

16、)0一03202+020一03202+02(1+0)一0330210证明：&ixyz证：由对易关系&2i&及对易关系&+&0,得xyyxzxyyxTOC o 1-5 h z&i&xyz上式两边乘&，得z八八八八八V&i&2&21xyzzz八八八&ixyz11证明X,X(2),X和咒组成的正交归一系。SSSA证：X(D+XX(S)X(S)+X(S)X(S)SS1/21z1/22z1/21z1/22zX+(S)X+(S)X(S)X(S)1/22z1/21z1/21z1/22zX+(S)X(S)=11/22z1/22z咒咛，心S1z)心S2z)+bldS1z)7S2z)咒咛，心S1z)心S2z)+b

17、ldS1z)7S2z)，X1%(S2z)X2(S1z)X1/2(S1z)X1/2(S2z)=0X(1)+X，1x(S)x(S)+SS21/21z1/22zx(S)x(S)+x(S)x(S)1/21z1/22z1/21z1/22z，12X1+2(S2z)X1+2(S1z)X1/2(S1z)X1/2(S2z)+%2(S2z%2(S1z/2(S1z)G(S2z)1=2X1+2(S2z)X1/2(S2z)+0=0同理可证其它的正交归一关系。1X+x-x(S)x(S)+x(S)X(S)+SS21/21z1/22z1/21z1/22zX(S)X(S)+X(S)X(S)1/21z1/22z1/21z1/22

18、z，X(S)X(S)+X(S)X(S)21/21z1/22z1/21z1/22z+X(S)X(S)+X(S)X(S)21/21z1/22z1/22z1/21z+X(S)X(S)+X(S)X(S)21/22z1/21z1/21z1/21z+X(S)X(S)+X(S)X(S)，1+0+0+1，12212对于无限深势阱中运动的粒子1z1/22z1/2（如图所示）证明1zx，a(x一x)2-a2(16212n22并证明当nfg时上述结果与经典结论一致。解写出归一化波函数：中(x)，2sinnKxnaa(1)咒咛，心S1z)心S2z)+bldS1z)7S2z)先计算坐标平均值：aw2,a2.nX1a2X

19、、xdxx，中xdx=sm2xdx，a(1一cos)ooaaa0a利用公式：2)xcospxsinpxTOC o 1-5 h zxsinpxdx，一一pp2xsinpxcospx3)xcospxdx，一一pp22)2)x212n兀丿.2n兀xxsma12n兀丿2n兀xacosa0计算均方根值用(xx)2，x2-(),以知，可计算x22)dx中2x2dx，J2x2sin2巴xdx，a2x2dx-a3Jax(1-cos汽aaa0a5)121利用公式Jx2cospxdx，x2sinpxxcospx-sinpxpp2p32)2)11”afa2.2n兀xfa1x2，x2x2sina32n兀(2n兀丿a(

20、2n兀丿2-2xcosa2a22n兀x2)2n2兀2(xx)2a2a22n2兀22)2)6)a2a2122n2兀2在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在(0,a)范围中运动，各点的几率密1度看作相同，由于总几率是1，几率密度，一。a2)-fx，Jaxdx，J-xdx，0a22)Ja2)2)(xx)，x2a2a232n2兀22)故当n-时二者相一致。13设b，p，ih,f(q)是q的可微函数，证明下述各式：一维算符(1)L，p2f(q)，2hipf.(证明)根据题给的对易式及b，f(q)，0；L，P2fLqp2f-p2fq，qp2f-p2qf，qppf-p(pq)f，qppf-p(qp-

21、ih)f，(qp-pqhi)pf，2hipfq,pf(q)p，ih(fqpf)(证明)同前一论题q,pfp，qpfp-pfpq，qpfp-pf(qp-hi)，qpfp-pfpqhipf，qpfp-pqfphipf，(qp-pq)fphipf，hi(fppf)q,f(q)p2，2ihfp证明同前一题论据：q,f2=qfppfppq=fqppfppq，fqpp-fp(qp-hi)，fqpp-fpqphifp，f(qp-pq)phifp，2hifphp,p2f(q)，p2fi证明根据题给对易式外，另外应用对易式p,f(q)，-fi(fi)dfidqp,p2f，p2fp2fp，p2(pffp)，p2p

22、,f，p2fihp,pf(q)p，pfpi(证明)论据同(4)：p,pfp，p2fp-pfp2，p(pf-fp)p.pfipih（6）p,f（q）p2.fip2i（证明）论据同（4）：hP，fP2pfp2fp2（pffp）p2ftp2i14设算符A,B与它们的对易式A,B都对易。证明ArBn=旳（甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：按题目假设重复运算n-1次以后，得15证明是厄密算符证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。另一方法是根据厄密算符的定义：fy10皿忑J

23、讪戸力用于积分最后一式:前式=说明题给的算符满足厄密算符定义。16定义A,B三ABBA（反对易式）证明：+/八八八八八八八八八八八八A,BC二AB,CB,CACA,BA,CB+八八八八八八I八八八aA,bB=a,bA,Ba,bA,B2+2+其中a，b与A，B对易。(证明)第一式等号右方=ABC+ACBBCACBA+CAB+CBAACBCAB八八八八八八二ABCBCA=A,BC=第一式等号左方八八八八八八I八八八八八八第二式等号右方=Gbba)(ABBA)(abba)(ABBA)22I八八八八八八八八八八八八八八八八八八八八八八八八=2（abAB一abBAbaAB一baBAcibABabBA一b

24、aAB一baBA）八八八八八八=abAB-baBA八八因a,b与A,B对易，bA=Ab,aB=ba前式=aAbB-bBaA=aA,bB17证明力学量A（不显含t）的平均值对时间的二次微商为：”d2入入入入2A=一A,H,H（H是哈密顿量）dt2（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A不显含t，有dAdti(1)1八八将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量iA，H的平均值，则有:d2Adt2八八八1八八八A,H,H二A,H,Hii2(2)此式遍乘2即得待证式。18试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。证明：设,和,是对应于同一能级e的不同本征态，贝y,-,常数。在121221特例下

25、，令，中-,0,即1221Jw1dx2dxC由此得：中1C,2所以,和,描述同一个态。1219证明泡利矩阵满足关系i。xyz【证】丁20试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。证明：考虑一维情况2mdx2为厄密算符，为厄密算符，为实数为厄密算符为厄密算符21已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为，取试证明：也是和共同本征函数，对应本征值分别为：。用仏打（2%卜出+1厅仏抵）。是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数2222证明：描写全同粒子体系的波函数的对称性不随时间改变证明：设t时刻波函数是对称的，用表示，S因为HH是对称的，所以HH在t时刻也是对称的，S由，

26、八is=H,tS知，S在t时刻也是对称的，故在下一时刻的态函数：,t+，Sdt也是对称的S,t以此类推，波函数在以后任意时刻都是对称的。同理可证，若某一时刻波函数反对称，则以后任一时刻的波函数都是反对称的。二、计算题1由下列定态波函数计算几率流密度:,11eikr(2)中2eikr从所得结果说明,表示向外传播的球面波，中表示向内(即向原点)传播的球12面波。解：J和J只有r分量12在球坐标中d1d1dV=r+e+e-0drrd申rsin申(1)j=(中*,w,)ih1eikr2mr12m1111(eikr)eikr(eikr)rrrrrr0也1(-12mrr2rr+ik)r0hkhkr=mr2

27、0mr3j与r同向。表示向外传播的球面波。1(2)J=(,V,*一中*V,)22m222ih1e-ikr2mr(ieikr)eikr(!e-ikr)?drrrdrr0占-42mrr2+ik)(丄ik)?rrr2r0hk?hkr=mr20mr3可见，J与？反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。22一粒子在一维势场g，x0U(x)=0,0 xa中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S方程2d2(x)+U(x)(x)二E(x)2mdx2在各区域的具体形式为2d2TOC o 1-5 h zI：x0一(x),U(x)(x)=E(x)2mdx21112d2II:0

28、xa一(x)=E(x)2mdx2222d2III：xa-(x),U(x)(x)=E(x)2mdx2333由于(1)、(3)方程中，由于U(x)=s，要等式成立，必须(x)二01(x)=02即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为d即2(劝,纠L(x)二0dx222令k2=遊，得2d2(x)2,k2(x)二0dx22其解为(x)=Asinkx+Bcoskx2根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件，得(0)=(0)21(a)=(a)23nB二0nAsinka二0,A丰0sinka=0nka=n(n=1,2,3,)(x)=Asinx2a由归一化条件”(x)2dx1A2jsin2x

29、dx=1aamnaIasinx*sinxdx=baa2mn2nsmxaa2mE/k22nEn2(n1,2,3,)可见E是量子化的。n2ma2对应于E的归一化的定态波函数为n中(x,t)n2.n一丄Etsinxe,0 xaaa0,3求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。解：中(x)2oxe-22x2223x2e一2x2d“(x)1dx232x一22x3e一2x2令d“凹0,dxx0X”,由“(x)的表达式可知，x0,”，时,“(x)0。显然不是最大几率的位置。11d2,(x)23而1(2一62x2)一22x(2x一22x3)e-2x243dx2兀(1-52x2-24x4)e-2x2d2,(x)

30、1dx2x12-24310兀e可见是所求几率最大的位置。卩,4一维谐振子处在基态中(x)2x2丄e-2-2t，求:_1(1)势能的平均值Up,2x2;2(2动能的平均陋釜(3)动量的几率分布函数。_11解：(1)U卩,2x2卩,222Jx2e-2x2dxg1_U，222丄上兀222111P，,2P，,2dx2兀兀812兀J8e12(X+肛)222p222dx兀812兀p2222J812(X+色)222dX_-p2e222兀兀812兀e222兀兀a30兀a30动量几率分布函数为兀a30兀a303(p)|c(p)|1冗-P2-22兀a301er/a0，兀a30求：兀a30兀a30解：(1)rJr(

31、r,0,)2dT卜J2*J8re2r/ar2sin0drd0d04f=gr3a，2r/a0dra3000JXne，axdx=-0an+1=43!U=(-e2)=-r2sin0drd0dQra3000r0-JJ2Jge-2r/a0rsin0drd0dQa30000TOC o 1-5 h z4e2f,=-Jge-2r/a0rdra3004e21e2(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为00w(r)dr=2中(r,0,Q)2r2sin0drd0dQ=e，2r/a0r2dra304(r)=e，2r/a0r2a30d(r)42、dr=(2一一r)re，2r/a0a30令如=0,nr1dr=0,r=a

32、30当r=0,1(r)=0为几率最小位置00r2)e-2r/a0a20dr2a30d2r)dr2r=a08=一e-2a30d2(r)484=(2-ra00r=a是最可几半径。0012，r2r(r2r)sin00伽%)-e-pr)drip0WXne-axdx，0an100(2兀)3/2(丄-P)2a00p2)22a33ip兀04ipa(+J)2a00a200a4402a33兀a0(a2p22)20(2a)3/20兀(a2p22)20161616168a3502(ap22)402,可见，动量p的可能值为0n2k2kkk动能舒的可能值为02k222k22k22k22对应的几率3应为A216A216A

33、216善)2,18上述的A为归一化常数，可由归一化条件，-1)-A2,81=工nnA2A2=(Z4x!?)-2，=A2-2,2A=1/,动量几率分布函数3(p)二|c(p)26设t=0时，粒子的状态为(x)=Asin2kx士coskx2求此时粒子的平均动量和平均动能。解：(x)=Asin2kx+coskx=A+(1一cos2kx)士coskx222=1-cos2kxcoskxA=14(ei2kxe-i2kx)1(eikxeikx)222A2,rei0 x一1ei2kx一1e-i2kx十eikx壬e-ikx21616161616161616动量p的平均值为p=工p3nnn-2，=0A2A2A2A

34、2=02kx-2，2kx-2，kx-2，kx2k221k2210+2+2卩82卩85k228卩7设氢原子处于状态1中(r,6,甲)-2叮)%(&,9)-求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解：在此能量中，氢原子能量有确定值ye2s22n2ye2s-82角动量平方有确定值为L(+1)222角动量Z分量的可能值为L0LZ1Z2其相应的几率分别为1-,44其平均值为(n2)(/)_1-L0一z4448试求算符Fieix的本征函数。dx解：F的本征方程为FF16161616即-ie/x_，F9dxTOC o 1-5 h zdddd，iFeixdx，

35、-d(Feix)，d(-Feix)9dxdxln9，-Felncdx9，ce-Fe-ix(F是F的本征值)9设波函数中(x)，sinx,求(?)x2-x，?dxdx解：原式，($)x($)x-xdxfdxdxdxdx，(?)xsinxxcosx-xxcosxdxdx，(sinxxx)x(cosxcosx-x)-x(x-x)，sinx2xcosx10证明：如果算符A和B都是厄米的，那么(A+B)也是厄米的f/K证：1212J*(AB)dT，1216161616fv(A)*dT21fv(Bv)*dT2116161616(AB)*dT11616161616161616A+B也是厄米的。八八八八11求

36、LP-PL，?xxxxLP-PL，?yxxy八八八八LP-PL，?zxxz八八八八/八八八八/解：lp-pl，(yp-zp)p-p(yp-zp)xxxxzyxxzy八八八八八八八八，ypp-zpp-pyppzp)zxyxxzxy八八八八八八八八，ypp-zpp-yppzpp)zxyxzxyx=0Lp-pL，(zp-xp)p-p(zp-xp)yxxyxzxxxz八八八八八八八，iP2xpPPzp+Pxp)xzxxzxz，zP2xPPzP2+PxP)xzxxxz，(xPPx)Pxxz，-iPLPPL，(xPyP)PP(xPyP)zxxzyxxxyx，xpPyP2PxpPyPyxxxyxx，xPPy

37、P2PxPyP2，(xP-Px)Pxy，iP12求Lx-xLxxLxxLyyLxxL，?zz解：xL，(yPzP)xx(yPzP)zy，yPxzPxxyPxzPzyzy/八-j-y八z-j-y八八-j-y八z-j-y八，yPxzPxyPxzPxzyzy=0LxxL，(zPxP)xx(zPxP)xz，zPxxPxxzP+x2Pxzxz，z(PxxP)xx，izLxxL，(xPyP)xx(xPyP)zzyxyx，x2PyPxx2PyxPyxyx，y(xPPx)xx，iy13求在动量表象中角动量L的矩阵元和L2的矩阵元。xx16161616-zp)e:丙dTy解：(L)(丄Je廿(yppp2兀h16

38、16161616161616(L2),xppJ-zp)ehprdTy1f-i,dd丄()3Je-hpr(-ih)(pp)ehprdT2兀hzdpydpyz(彷)(p-zdpydpdp-)(肖)3e材p,)7dTzih(p-pydpzzdpyd)5(p-p，)=中(x)L中dTp，xp16161616-izp)2ehp-rdTy-zp)(yp-zp)ehprdTyzyGh)3e-:p，r(ypdd丄,zdpyzp)(ih)(pp)ehprdtyydpz1616161616161616(ih)(pyd1f,)3Je-hp-rdp2兀hy(ypzp)ehprdTy16161616h2(pdydpz)

39、2(丄)3e初p)dTzdp2兀hy1616161616161616-h2(pdd)25(p-p)14解求能量表象中，zdpy一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。基矢：u(x)n2.n兀smxaa能量：E2pa216161616对角元：a2.m兀7ax=Jxsm2xdxmm0aa2当时，mn,1u.ucosnudu=cosnu+smnu+cn2n2Jm兀“兀x=(smx)x(sm)dxmna0aa=1Jaxa0(m-n),(m+n),cosx-cosxdxa2=1a(m-n)2兀(m-n),ax.(m-n),ncosx+smx2a(m-n),ax(m+n),-cosx+(m+n)2,2a2ax

40、(m+n),.(m+n),=smxaL1)1,2|(m一n)2(m+n)2=t-1)m-n,2(m2-n2)24mnP=Jmna2m,dn,u*(x)pu(x)dx=-iJ一smxsmxdxmn0aadxa2n,am,n,-ismxcosxdxa20aa.n,-i-a20.(m+n),.(m一n),smx+smxdxa2(m+n),(m+n),a(m-n),cosx+cosx(m-n),.n,a=i-+a2兀(m+n)(m-n)=1)Jl2mn=t1)m-n1(m2-n2)a1)m-ncos(m+n)ucos(m-n)u小sinmucosnudu=一+C2(m+n)2(m-n)15求线性谐振子

41、哈密顿量在动量表象中的矩阵元。解：-1入1221H=p2+2x2=-+2x22p22px22Hpppp161616161f丄221丄，Je-px(-+卩2x2)epxdx2兀2yx22sx2e:(八p)xdxg-竺(-p)2丄Jge:(八p)xdx+1y2丄J2y2兀,g22兀1616161616161616舒5（p*p）+2叫鶴卜（许2竺e:(八p)xdx_8P21616161616161616晋5（p-p）+22（+）2盏：岛ee（八p）仏知（PP）-122轧5（PP）经（P，P）-22f5（P，P）2卩2p216求连续性方程的矩阵表示解：连续性方程为型，VJtTOC o 1-5 h zi

42、J帥中*中)2卩i而V-JV-(中V中*V中)2卩仲V2中*呷*V2中)2y1仲艸*-V*TV)ii(V*TV_VTV*)t(V*V)i(V*TV_vTv*)t写成矩阵形式为i(V+V)中+艸_中艸+t入入一一i(V+V)V+7V(V+7V)*T-T*0t(1)先计算Z的矩阵元z=rcos1616161617设一体系未受微扰作用时有两个能级：E及E,现在受到微扰H的作用,0102微扰矩阵兀为H=H=a，H=H=b；a、b都是实数。用微扰公式求能量12211122至二级修正值。解：由微扰公式得E(i)=Hnnn18E(2)E(2)02E(1)=H=bE(1)011102,H2m1a2E-EE-E

43、m010m0102H2a2mH2mnE(0)-E(0)nm22E(2)01m1E-EE-E020m02mH能量的二级修正值为=E01ba2E-E010201=E02ba2E-E0201计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。(1)先计算Z的矩阵元z=rcos16161616解：4e23TOC o 1-5 h zA=smkr2mk3力c3mkI由选择定则A,=1,知2sTis是禁戒的故只需计算2ptis的几率E-E=2121力r2=x2y2z21212121(1)先计算Z的矩阵元z=rcos16161616(1)先计算Z的矩阵元z=rcos161616162p有三个状态，即中210,中211

44、，中2111616161616(z)21m,100，r*(r)R(r)r3dr中*cosYd1m0002110*1m1Yd0063m0n(z)210,100(z)211,100(z)21-1,100(2)计算x的矩阵元x，rsin，sin(ege-g)2Y，004兀(x)，-R*(r)R21m,1002021Y，-1110(r)r3drY*sin(eQ+e-g)Yd001m23Y*(-Y+Y)d1m111-1f(-61m1+6)m-1-3sinedI8兀3Y，一sin1-18兀(x)，0210,100(x)211,100(x)21-1,100(3)计算y的矩阵元y，rsinsin，rsin2i

45、in(eQ-e一邓)(y)21m,100R*(r)R(r)r3drY*sin(e-e-邓)Yd2i021101m003728371616161612,f2(-6-6)r2pTls，(2X仝+2X仝+1f2)，f26632i3m1m11f(-61-6-1)i6m1m-1(y)0210,100(y)，-f211,1006(y),i6f21-1,100623728371616161637283716161616(4)计算f37283716161616JR*(r)R(r)r3dr,?%020860121亠，()3/2()3/2Jr4e2a0dr2a3aa0000114!x25256272a5a，a6a

46、4035081600343f2，25a2TOC o 1-5 h z3904e23A，s21r22pTls3屁3214e23e425-()3-a23hc38方3390283e4h2、S()2h10c3e2seios，1.91x109s-1h6c3161616161t，5.23x10-10s，0.52x10-9sA2119求线性谐振子偶极跃迁的选择定则解：Amkrmk2，lxmkx，mk*xQdxmkmnk+2k1mnQk+1x，丄mkak62m,k1k+1+2m,k+1m，k1时,x丰0mk16161616即选择定则为Am，m-k，120一维无限深势阱(0 xa)中的粒子受到微扰16161616

47、16161616H(x)，!-a!(1-)a(0“x“)2(“x“a)21616161616161616作用，试求基态能级的一级修正。解：基态波函数(零级近似)为2,-(0“x“a)(xa)(0)，smx1aa(0)，01：能量一级修正为E(1)，(0)*H(0)dx111，Ja/22九sin2xdx+Ja2九(1一)sin2xdxa0aaaa/2aaTOC o 1-5 h z2九f/22f2，Jax(1一cosx)dx+aJa(1一cosx)dxa20aa/2aax(1一cosx)dxa/2a16161616(1a22x2a2一xsinx一2aa2422sinxa+a(xAsin2!x)2a

48、a(1a/22x2a2a22一xsinx一cos2a42a)aa/2161616162九r1a2a21a2,云8a2+越+T(8a2越)2九za2a212(+)入(一+a2421求在自旋态(S)中，S和S的测不准关系:(AS)2(AS)2?xy解：在S表象中(s)、S、S的矩阵表示分别为y1616161616161616在(S)态中TZ2(11100AS2x+S2x1x了22(1(AS)2S2-Sxx2AS%+S(1y1y12200)2xy4在x(S)态中，szz221161616161161616164(AS)2(,S)2花xy116161616可见式符合上式的要求。的本征值和所属的本征函数

49、。士(01)22求S=-210丿解：S的久期方程为x2()2=0n=22S的本征值为土石。x2116161616116161616设对应于本征值的本征函数为1/2116161616由本征方程Sx=x，得x1/221/21a)(1由归一化条件(b)(1ra)(1a丿b丿11nX1/2X1/21，得ba11116161616116161616(a*,a*)(1111aa1丿1a1216161616对应于本征值2的本征函数为Z1/2-设对应于本征值-兀的本征函数为X-1/2a,2b丿v2z-由本征方程sx=-xx-1/22-1/2a,2b丿v2zb,(a,2=2a丿I-b丿nb=-a2由归一化条件，

50、得a2-a丿2(a*,-a*)2对应于本征值-的本征函数为x2-1/22-1丿1(1,1(1,X=CX=C-22i丿-22-i丿-同理可求得s的本征值为2。其相应的本征函数分别为23求自旋角动量(cosa,cosP,cos)方向的投影八八/S=Scosa+Scosp+Scos2i0丿201丿解：表象，coscosS-nS的矩阵元为nz2cosa+icospcosa-icospcos丿16161616其相应的久期方程为cos一九-(cosa-icos)(cosa+icos)-cos-九22022即：入2-cos2-(cos2a+cos2)=0442X-2一=0(利用cos2a+cos2,cos2

51、=1)4所以s的本征值为，则coscosa-icos(ara.cosa,icos-cos丿b丿=2b丿na(cosa,icos)-bcos=b2设对应于Sn=-的本征函数的矩阵表示为x(S)=2Tn2,cosa+icosb=1+cos由归一化条件，得(a,b丿1=岑=(a*，b*)22ccosa,icos2,1,cos211+coscosa,icos取a=，得b=22(1,cos)16161616(S)=n21+cosy1cosa+icosP2(1+cosy)丿(S)=n21+cosy1、21+cosy2可见，p(o、2(1+cosy)1丿cosa+icosP2(1+cosy)-12一一2co

52、sa+icos+的可能值为16161616相应的几率为1+cosy_2_cos2a+cos2P=1-cosy2(1+cosY)2161616161+cosyS=z22同理可求得1-cosy=cosy2=-的本征函数为222对应于S0_0-*-求总磁矩M=-一L-S2卩卩的z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。解：v可改写成41616161611,30,中=2R21(r)Y11(0，p)0J一2R21(r)Y10(0，p)1丿13-R(r)Y(0,p)(S)-R(r)Y(0,p)(S)22111丄z22110丄z2-2从v的表达式中可看出L的可能值为z相应的几率为L=4斤丿勺可能值为2-2相应的几

53、率|c|2为413XX2424ee-M二一LSz2卩z卩zeeXX(一)2卩4卩44161616161=x=M2卩44B25一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为,，则体系可能的状态为ij广i(q1)i(q2)i(q3)2=)J)j.q)i(q1)i(q2)j(q3)i(q1)i(q3)j9)13(q)(q)(q)i2i3j11(q)(q)(q)(q)(q)(q)3j1j2i3j1j3i2(q)(q)(q)j2j3i126设体系处于中=cY+cY态，

54、求11122016161616/的可能测值及其平均值。xl2的可能测值及相应的几率。l,l，的可能测值。xy(解)(1)按照习惯的表示法Y(6,)表示角量子数为l，磁量子数m的，(12,/)的共imx同本征函数，题材给的状态是一种l2,l的非本征态，在此态中去测量l2,l都只有不确定,xx面假定从(6,)，cY+cY111220看出，当体系处在Y态时，l的测值，处在Y态时，l的测值为零。11x20 xl在态中的平均值xl,c2+c20，c2:z121又从波函数看出，l也可以有两种值，体系处Yn态中时l2测值为l(l+1)2，1+(1+1)2，22当体系处在Y态时l2的测值为202(2+1)2，

55、62相应的几率即表示该态的展开式项系数的复平方：212的并态中的平均值12，2|c222关于在态中l，l的可能测值可以从对称性考虑来确定，当使用直角坐标表示算符xy时，l，l，l有轮换对称性，由于在态中12可有二种量子数l，1,2所以将l轮换l的xyxzx结果，知道l的可能测值只能是xl，2，0，2x同理，l的可能测值也是这此值yl2,0,2y27设粒子处在宽度为a的无限深势阱中，求能量表象中粒子坐标和动量的矩阵表示。解一维无限深方势阱的归一化波函数是：/、2.n,x中(x)=sinnaa这波函数是能量本征函数,任何力学量F的矩阵元是：Fmnx=2asinaon，x-.Fsman,xdxa16

56、161616此公式用于坐标矩阵：TOC o 1-5 h z2n,xn,xx=asinsindxmna0aa1(m-n),x(m+n),xn7=Jacos-cosxdxaoaa(1)T1+(-1)m+n-1m2-n22此式不适用于对角矩阵元，后者另行推导。当m=n时，得对角矩阵元:aL.m,x1axJsin2xdx=(2)mm20a216161616动量矩阵元(非对角的)m,xdm,x2n,sinsindx=aidxaa2ipmn20m，xn，x,sincosdxaa2imn(1+(-1)n+m-1)a2(n2-m2)2n,L.m,xn,x,_p=sincosdx=0mma2i0aa28粒子在二

57、维无限深势阱中运动，已知U(x,y)0,0 xa,0ya其他区域写出第一激发态的能级；问第一激发态的能级是否简度，若是简并，是几重简并？以下的线不知如何去掉？解：(1)二维无限深势阱中运动的粒子，其能级为16161616En1n22兀2(n2n2),2,a212n,n=1,2,3.121616161616161616所以其基态能级为En，而第一激发态能级为E12=E21E=E1221(2)粒子的波函数为2.nKx.n兀y=sm1sm2(x，y)aaa所以H，第一激发态是二重简并的。1221可利用公式:29求一维谐振子的坐标及Hamilton量在能量表象中的矩阵表示。提示:%二Jie用+解：线性

58、谐振子的能级为I2对应的能量本征函数，利用公式16161616(2)30质量为的粒子在一维势场U（x）0,0 xa中运动。设状态由波函数g,x0,xa1616161616161616sin(Kx)cos2严)描述。求（1）粒子能量的可能值及相应的几率；（2）粒子的平均能量E；（3）写出状态在能量表象中的波函数。(1)中sin严)cos2(Kx)16161616161616161/.兀x.3兀x、(sin+sin)aaa而一维无限深势场中的能量本征函数为中n2.n兀x厂sin，对应的本征值为Eaann2兀222pa2兀229兀22所以本题中，粒子的能量的可能值是Ei二2pa，E3二2pa，出现的

59、几率均为心16161616E二,ICn1n由(1)得，兀2方25兀2方2|2=(9冗22)=2|a22a22|a2（也可由养厚駁求出）16161616中二1中+(1120121所以，在能量表象中，31设在（无微扰时的哈密顿算符）表象中，的矩阵表示为其中，试用微扰论求能级二级修正。解：在表象中,1616161632求在状态中算符J的本征值。z解:八八八J=(L+S)zzz2X102(-、2）X2XY-1102所以，算符J33貝n2尽弋+瑟+孑池+0+于廖2X1(s)Y10(，,9)+X2(Sz)1(S-1(，9)2z72（Sz）Y-XY11011,-122二Y211,-12的本征值为-2Y+XY10(，,9)勺(s)1,-1(，,9)2(Sz)131LzY1,-1v2+sxYz11,-12XY11,-12已知厄密算符A和B是二行二列矩阵，且的本征值，（2）在A表象下求算符解：（1）（1）求算的矩阵表示。设的本征值为，本征函数为同理算符的本16161616征值也为(2)在A表象，算符的矩阵为一对角矩阵，对角元素为本征值，即设利用B为厄密算符取:x16161616,0,axa,-aya34粒子在二维无限深方势阱U=仁其他区域，请写出能级和能量本征函数；（2）加上微扰H二九xy,求最低能级的一级微扰