原子物理学第一章习题参考答案

1、第一章习题参考答案1.1速度为v的非相对论的a粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：a粒子的最大偏离角约为10-rad.要点分析：碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变，并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞（靶核不动），注意这里电子要动.证明：设粒子的质量为M,碰撞前速度为V,沿X方向入射；碰撞后，速度为V,沿方向散射.电子质量用me表示，碰撞前静止在坐标原点O处,碰撞后以速度v沿方向反冲.粒子-电子系统在此过程中能量与动量均应守恒，有：MV2，MV2mv2(1)(2)(3)(4)(5)TOC o 1-5 h z2a2a2eMV，MVcos+mvcosaae0，MVsin一mvsinae作运算：(2

2、)sin(3)cos，得sinmv，MVeasin(+)MVMVsinaasin(+)再将(4)、(5)二式与(1)式联立，消去V与V,sin2M2sin2MV2，MV2+aV2-aasin2(0+)msin2(0+)e化简上式，得sin2(+)，sin2+竺(6)mp，e若记a，可将(6)式改写为psin2(0+)，psin2+sin2视为的函数()，对(7)式求的极值，有sin20-psin(0+)，p-sin2+sin2(0+)d空，0则sin2()-sin20即2cos(2)sin0(1)若sin0则0(极小)(8)(2)若cos(2)0贝990-2(9)将(9)式代入(7)式，有ps

3、in2(900-)，psin2+sin20由此可得sin=卩=14183610-4弧度(极大)此题得证.1.2(1)动能为5.00MeV的a粒子被金核以90。散射时，它的瞄准距离(碰撞参数)为多大？(2)如果金箔厚l.Oum，则入射a粒子束以大于90。散射(称为背散射)的粒子数是全部入射粒子的百分之几？aZZeb=-cot-a三才七解:(1)依22和0金的原子序数Z2=79712Z-e-79x1.44b=cot二cot45o二22.752x10-i5(m)24ksE25.000答：散射角为90所对所对应的瞄准距离为22.8fm.(2)要点分析：第二问解的要点是注意将大于90的散射全部积分出来.

4、90180范围的积分，关键要知道n,问题不知道nA,但可从密度与原子量关系找出注意推导出n值.Nmol-N1/Vppn=总分子数=a=(N)=NVVVAAAA，其他值从书中参考列表中找.从书后物质密度表和原子量表中查出ZAu=79,AAu=197，Au=1.888x104kg/m3dN=ntN2sind16叫依：dNa22sind=Jnt16sin4sind=2sincos2d()=2sin2d(sin)222222nt(工4&2)22(2Z)2E2sincos-d16xsin42N2cos2d16xsin32Lze2274sin2d(sin2)=JKnt()22px()2224ksE2e22

5、Z=JKnt()22()24ksE216xsin42Nmol-N1/Vp“、pATn=总分子数=a=(N)=N注意到：VVVAAAA即单位体积内的粒子数为密度除以摩尔质量数乘以阿伏加德罗常数.TOC o 1-5 h zze2兀2Z.nt()2()24兀,4E是常数其值为1.881076.221023p2791971.010-6(1.4410-15)2()2=9.64810-545.00/cos2d(sin2)I=j-d=2=1sin3sin3-2222最后结果为：几-5.原10说明大角度散射几率十分小.1-3试问4.5MeV的a粒子与金核对心碰撞时的最小距离是多少？若把金核改为7Li核，则结果

6、如何？要点分析：计算简单，重点考虑结果给我们什么启示，影响靶核大小估计的因素.a二180。，r二一1+escm2时，解：对心碰撞时2r=(1+csc90)=am2离金核最小距离ZZe2r=a=12-m4冗,E02791.4443=50.56fmZZe21_2-4冗,E0中，=180。，时，a=若金核改为7Li核，mvvM则不能满足，必须考虑靶核的反冲在散射因子应把E理解为质心系能EC1mMME=V2=C2m+Mm+M离7Li核最小距离3.0fm。结果说明：靶原子序数越小，入射粒子能量越大，越容易估算准核的半径.反之易反.1-4假定金核半径为7.0fm，试问入射质子需要多少能量才能在对头碰撞时刚

7、好到达金核的表面？若金核改为铝时质子在对头碰撞时刚好到达铝核的表面，那么入射质子的能量应为多少？设铝核的半径为4.0fm.要点分析：注意对头碰撞时，应考虑靶核质量大小，靶核很重时，mM可直接用公式计算；靶核较轻时，mvvM不满足，应考虑靶核的反冲，用相对运动的质心系来解.79AAu=196；13AAl=27解:若入射粒子的质量与原子核的质量满足mvvM，贝9入射粒子与原子核之间能达到的a.2c+2。)=ar=1+escm最近距离为m2ZZe2i2，r:.E，4Em即0E，1.44fmMeV即：e2ZZ1_2-4Er0m179-，1625MeV7.Cfm若金核改为铝核应把E理解为质心系能EC1m

8、MMaE，V2，EaC2m+Mm+MLmM则不能满足，必须考虑靶核的反冲在散射因子ZZe2a二4eE0中，ZZe2ZZe2m+M1_2，1_24SE4E0C0a沁rcmE=9.2MeV说明靶核越轻、Z越小，入射粒子达到靶核表面需要能量越小1-5动能为l.OMeV的窄质子束垂直地射在质量厚度为1.5mg/cm依公式的金箔上，记数器的记录以60角散射的质子计数器圆形输入孔的面积为1.5cm2,离金箔散射区的距离为10cm,输入孔对着且垂直于射到它上面的质子，试问：散射到计数器输入孔的质子数与入射到金箔的质子数之比为多少？（质量厚度Pm定义为单位面积的质量Pm=Pt,则P=Pm/1其中P为质量密度，

9、t为靶厚）.要点分析：没给直接给nt.设置的难点是给出了质量厚度，计算时需把它转换成原子体密度n和厚度t.需推导其关系.解：输入圆孔相对于金箔的立体角为s1.5dQ，1.5-10-2r2102AAu=197q=60mP，注意密度为单位体积的质量V，单位体积内的粒子数为m1Pn，N，NVAaAan，PNn，mNnt，mNAAtAAAAa2dN，ntNdQ90一1sin223/231/29021d2.sin42cosd4补2唁isin322d(sin)_4kJ2_8兀1sin3-22兀sind22结果：1sin42=一4兀112_sin22=一4兀121TOC o 1-5 h z伯2ksind：.

10、41sin4补：求积分式2的积分结果解：积分式的积分结果.2sin-cos_222兀sind?冗Jsind?冗121还有另外一种求解方法.1-7单能的窄a粒子束垂直地射到质量厚度为2.0mg/cm2的钽箔上，这时以散射角G/20.散射的相对粒子数(散射粒子数与入射数之比)为4.0X10-3试计算：散射角9=60角相da对应的微分散射截面d.要点分析：重点考虑质量厚度与nt关系.解：m=2.0mg/cm2ATa=181；ZTa=73；=60ppnNn一mNAAtAA依微分截面公式daa21忑16爲卫2知该题重点要求出a2/16o由公式竺nt兰180N1620dNNd2.010，2pntmNAA2

11、0 x6.022x1023x巴x180-1811620sm42022兀sin9d04.3x10,3sin42180罟6-0221023卷叮2兀sin9d0a26.65x1021xx（4兀）”U16sm4-2sin22204.3x10-3a26.651021忆（一溉）（-2213）4310，3a22.33x10，26所以16竺竺2.33x10,26x11.456x10,27d164U60sm4sin4221-8(1)质量为ml的入射粒子被质量为m2(m2m1)的静止靶核弹性散射，试证明：入射粒sinUm子在实验室坐标系中的最大可能偏转角9由下式决定.m1(2)假如粒子在原来静止的氢核上散射，试问

12、：它在实验室坐标系中最大的散射角为多大?_二二二要点分析：同第一题结果类似.证明：111mV2，mV2+mv2212122(1)mV，mVcos0+mvcos申(2、112(2)0，mVsin0-mvsin申“、12(3)作运算：(2)sin(3)cos，得sinmv，mV21sin(+q)sinqmV，mV一11sin(0+q)再将(4)、(5)二式与sin2qmV2，mV2-11sin2(0+q)化简上式，得(5)(1)式联立，消去V与v,得m2sin20+亠V2_msin2(0+q)2sin2(0+q)，sin2q+竺m1(6)m卩，2若记m1，可将(6)式改写为psin2(0+q)，p

13、sin2q+sin2(7)视为的函数(),对(7)式求的极值，有sin20-psin(0+申)，p-sin2q+sin2(0+申)dqd0，0令dq,贝9sin2()-sin2=0，即2cos(2)sin=0若sin=0,贝y=0(极小)(8)若cos(2)=0则=90-2(9)将(9)式代入(7)式，有psin2(90。-q)，psin2q+sin2(0)m2m1sin0，p，由此可得若m2=m1msin0，p，t贝有m1此题得证.，1,，90。1-9动能为l.OMev的窄质子束垂直地射到质量厚度（Pt）为1.5mg/cm2的金箔上，若金箔中含有百分之三十的银，试求散射角大于30的相对质子数

14、为多少？要点分析：此题靶为一个复合材料靶，比例按照质量比计算关键找出靶的厚度t.然后计算出金原子数和银原子数，即可积分计算.从书后表可知：ZAu=79，AAu=197，Au=1.888xl04kg/m3；ZAg=47，AAg=108，Ag=1.05x104kg/m3.解：先求金箔的厚度tSSSt=（0.7Au0.3Ag）ti.5mg/cm2（此种处理科学否？）是原子数之比，还是质量之比还是?1.5xlO-21.5x10-2厂tm0.916mm0.7,0.30.7x1.888x104,0.3x1.05x104AuAg这种金箔中所含金原子数与银原子数分别为AtAuAAutaNAAAg再计算质子被金

15、原子与银原子散射到30范围内的相对数目被金原子散射的相对数目为:tT兀Z2Z21.442I11.AA2I2-sm4auIsin2-2I2180二贬AuN1申a22Ksin9d0nt-301630式中，N为入射质子总数，dNAu为被金原子散射到30范围内的质子数同理可得质子被银原子散射的相对数目为：dNJAgAgN1申a22Ksin9d0b=nt-1630sm42Pt兀Z2Z21.442aN1_3AA2Ag180112卫PtT兀Z2Z2(1.44x10-5)2PtT兀Z2Z2(1.44x10-5)2一+一二aN,-N一AuAgAA4E2AA4E2AuAg1130180sm2sm2L22被散射的相

16、对质子总数为30将已知数据代入：NA=6.02x1023,E=1.0MeV,t=0.916m，ZAu=79，AAu=197，Au=18.88x103kg/m3，ZAg=47，AAg=108，Ag=10.5x103kg/m31.028x10-5结果讨论：此题是一个公式活用问题.只要稍作变换，很容易解决.我们需要这样灵活运用能力.1-10由加速器产生的能量为1.2MeV、束流为5.0nA的质子束，垂直地射到厚为1.5um的金箔上，试求5min内被金箔散射到下列角间隔内的质子数.金的密度(P=1.888X104kg/m3)1596i；2eeo=6o3eeo=io要点分析：解决粒子流强度和入射粒子数的

17、关系.注意：第三问，因卢瑟福公式不适用于小角(如0)散射，故可先计算质子被散射到大角度范围内的粒子数，再用总入射粒子数去减，即为所得.解:设j为单位时间内入射的粒子数，I为粒子流强度，因I=je，j=I/e，时间T=5min内单位面积上入射的质子的总数为N个：N，jT，IT，50 x1-9x5x60，9.36x1012e1.602177x10-19再由卢瑟福公式，单位时间内，被一个靶原子沿方向，射到立体角内的质子数为：dN，N16Asin4-2单位时间内，被所有靶原子沿方向，射到2d2ddN，NnAt，ntNn40164016Asin4sm422a2da2da22兀sin0d0dn，NnAt，jTnt，jTnt16Asin416sin416sin4222立体角内的质子数为式中，n为单位体积的粒子数，它与密度的关系为：n，NAA所以，上式可写为”a2da2dpa22兀sin0d0dn，N0nAt，jT0，jTNt016Asin416sin4AA16sin42221a202兀sin0d002-02jTNta22兀Sin0d0AA02dn，01Ttj二x(-4兀)“汕“16丿2-o1皿x14x6.2x1023x1.5x10-6x9.36x1012x196x103791.44x伫1.2丿4X10-3061xI2-59A160，5.719x109x-(0.228)，1.3x109仍然像