第7课时-函数的简单性质-教师

1、第二章函数概念与基本初等函数I听课随笔第一节 函数的概念与图像2.1.3函数的简单性质-单调性(2)【学习导航】学习要求.熟练掌握证明函数单调性的方法；.会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性；3.能利用函数的单调性解决一些简单的问题.数。二.证明函数的单调性:例2 :求证：函数f (x). 1 X X在R上是单调减函数.【证明】设X!x2，则f(X1)f(X2). 12X12X12X1(X X2)【精典范例】一.较复杂函数的单调性证明：2 1例1：判断函数f(x) x2(x (0,)x的单调性，并用单调性的定义证明你的结 论.(X1X2)(X1X21 Xf 1)2 1【证明】函数 f(x

2、) x2- (x (0,)x是增函数证明如下：设 0 x1 x2，贝Uf(xj f(X2)x x| 丄2X1X21 X12: HYPERLINK l bookmark30 o Current Document x2，二 x1x20 ；| 为 I , 1 x2 , X1 同理 X2；1 x20, X1 J1f (X1)f (X2) 0 ,(X1X1X1(X1X2)G X2)xx2x1x22X1X2:、:1X；1 X；X120,1 x；0,.即 f(xjf(X2),x在R上是单调减函数.1(X1 X2)(x! X2),0 x-i1x1x2x2,x-ix20 ,X-Ix20, f(Xi)f(X2)

3、0 ,x1x2即f (X1)f(X2), 函数例 3： (1)若函数 f(x) 4x2 mx 5 m在 2,)上是增函数，在(，2上是减函数,则实数m的值为；(2)若函数 f(x) 4x2 mx 5 m在2,)上是增函数，则实数 m的取值范围f(x) X2丄& (0,)是增函数.X(3)若函数f(x) 4x2 mx 5 m的单调递说明：本题中的函数f (X)可视作函数 y x2和y 1的和，这两个函数在X(0,)内都是增函数，f (x)也是增函数由此可见：如果两个函数在同一区间上都是增(减)函数，那么它们的和也是增函增区间为2,)，则实数m的值为.解：(1)由二次函数的图像我们可以知道该二次函

4、数的对称轴是x 2即-2即8m 16 ；(2)由题意可以知道2 即 m 16 ；(3)由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是 Xm 16 ；函数y f(x)是减函数，由 f(1 a) f (2a 1)得21 a 2a 1,解得 a -,32 a的取值范围是(，一).3听课随笔追踪训练一1.函数f(x)是定义域上单调递减函数，且过点(3,2)和(1, 2)，则| f(x)| 2的自变量X的取值范围是(B)(A)( 3,)(B)( 3,1)(C)(,1(D)(,)点评：注意函数的单调区间是定义域上的区间，也就 是说函数的单调区间一定是函数定义域的子集。 若本例题中的定义域改为 (1,1)

5、的a的范围又 怎样了呢？2.已知函数f(x)是区间(0,+s )上的减函3数，那么f(a2 a +1)与f ()的大小关系是4小于等于3.求证：函数f (x) x 、2 x在(上是增函数.证明：设x1 x27 ,4 fg) f(xj(X2(X2(X2(X2X1)(.2X22 X1)X1)所以原命题成立.【选修延伸】已知函数单调性，求参数范围：例4:已知函数y f (x)的定义域为R ,且 对任意的正数d ,都有 f(x d) f(x),求满足f (1 a) f (2a 1)的a的取值范 围.【解】 d 0时，f(x d) f(x),听课随笔【师生互动】追踪训练b1 .已知函数f(x) ax和g

6、(x) 在x(0,)上都是减函数，则2h(x) ax bx c 在(，0)上(A)是增函数是减函数既不是增函数也不是减函数h(x)的单调性不能确定2若函数f(x) x 2(a1)x2在区间(,4)上是减函数，则实数 a的取值范围是a 3.若f (x)在R上是增函数，且a b 0,则 f (a) f (b) f( a) f( b).(注：从、中选择一个填在横线上)2函数 f(x) 4x mx 1 在(，3上递减，在2,)上递增，则实数m的取值学生质疑教师释疑范围 _ 24, 16_.5.用函数单调性的定义证明：函数f (x) x3 x在 ， 上是增函 数.证明：设x1 x2 f(X2) f(xj(X； X2)(xf X)(x； xf) (