复变函数第一章讲义

1、复变函数第一章讲义作者：日期：引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。1545年意大利数学物理学家HCardan在所著重要的艺术一书中列出并解出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10 x)40的根。他求出形式的根为5庶和5石，积为25(15)40。但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的。因而复数在历史上长期不能为人们所接受。“虚数”这一名词就恰好反映了这一点。直到十八世纪，JRDAlembert,LEuler等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们dt接受并

2、理解了复数。复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕Cauchy、Weierstrass和Riemann三人的工作进行的。到本世纪，复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科及数学的其它分支中，复数函数论都有着重要应用。第一章复数与复变函数教学重点：复变函数的极限和连续性教学难点：复平面上点集的n个概念教学基本要求：1、了解复数定义及其几何意义，熟练掌握复数运算2、知道无穷远点邻域3、了解单连通区域与复连通区域4、理解复变函数、极限与连续1复数1、复数域形如zxiy或zxyi的数,称为复数，其中x和y均是实数，分别称为z的实部和虚部，

3、记作xRez,yImz；i称为虚单位。两个复数乙Xiiy1,z2x2iy2,4z2为x2,%y2.虚部为零的复数可看作壬数。因此，全体实数是全体复数的一部分。xiy和xiy称为互为共轲复数，记为xiyxiy或xiyxiy.复数四则运算规定为：Ziz2(x1x2)i(y1y2)ZiZ2(x1x2小幻i(x1y2x2y1)Z1%x2y丫222Z2x2yiyx2%y222x2y2(Z20)易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的。2、复平面一个复数zxiy实际上是由一对有序实数(x,y)唯一确定，因

4、此，若平面上的点(x,y)与复数zxiy对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系。由于x轴上的点和y轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称x轴为实轴，y轴为虚轴，这样表不复数z的平面称为复平面或z平面。3、复数的模与幅角由图1-1中可以知道，z与从原点到点z所引的向mOz也构成一一对应关系。从而，我们能够借助于z的极坐标r和来确定点z,OZ的长度称为复数z的模，记为r|ZJx2y20根据向量的运算及几何知识，得到两个重要的不等式:Z2oZ与实轴正向间的夹角非复数Z均有无穷多个幅角一个值为ArgZ的主值或ZZiZ2Z1Z2tan满足x称为Z的幅角(Arguent),记作，

5、以argZ表示其中一个特定值，并称满足条件的主幅角，则有ArgZargZ2k(k0,ArgZ,任一argZ的)1,2,注：当z0时，r0,幅角无意义从直角坐标与极坐标关系有Zr(cosisin)(三角形式)(1)若引进著名的Euler公式：eicosisin，则可化为zrei(指数形式)(2),由(2)及指数函数性质即可推得i(1Z1Z2nr2e2)Z1Z2臬2i(1因此ZlZ2Z)|Z2特别地，当Z1Z2ZZ2Hl时,有(cosnisinn)n例1.1求cos3及sin3例1.2例1.3ZiZ2arg(4Z2)nZnZ时，有Z(argZ1argZ2inninre)re,Z1、arg()arg

6、4Z2rn(cosnisinn)argZ2cosnisinn(DeMoivre公式)用cos与sin表示的式子。4、曲线的复数方程连接乙及Z2两点的线段的参数方程为:Z4t(Z2Z1)(0t1)连接乙及4两点的直线的参数方程为：ZZ1t(Z2Z平面上以原点心，k为半径的圆周的方程为ZRZ1)上以R为半径的圆周的方程为ZZ0例1.4Z平面上实轴的方程为ImZ0契复平面上的点集1、几个基本概念Z平面虚ReZ定义1.N(Z0)1满足不等式定义1.ZZ0的所有点Z组成的平面点集称为Z0的-邻域，记为2设E为一平面点集，若点Z。的任意邻域内均有E的无穷多个点，则称。为E的聚点;若0使得N(Z。)定义1.

7、3若E上的每个聚点都属于集。E则称为E的内点。E,则称E为闭集；若E的所有点均为内点，则称E为开定义1.4若M0,zE均有M,则称E为有界集，否则称E为无界集。2、区域与Jordan曲线定义1.5若非空点集D满足下列两个条件：(1)D为开集(2)D中任意两点均可用全在D中的折线连接起来，则称D为区域。定义1.6若z0为区域D的聚点，且zo不是D的内点，则称zo为D的界点，D的所有界点组成D的边界，记为D,若r0,stNr(Zo)0，则称zo为D的外点。定义1.7区域D加上它的边界C称为闭区域，记为DDC。例1.5z平面上以点zo为心，R为半径的圆周内部(即圆形区域)：Zz0R例1.6z平面上以

8、zo为心，R为半径的圆周及其内部(即圆形闭区域)：ZZoR例1.7上半平面Imzo下半平面Imzo它们都是以实轴Imzo为边界，且均为无界区域。左半平面Rezo右半平面Rezo它们以虚轴Rezo为边界，且均为无界区域。例1.8图17所示的带形区域表为y11mZy2其边界为yy1与yy2,亦为无界区域r与ZR,为有界区域。上的连续函数，则由方程ZZ(t)x(t)iy(t)(t)所确定的点集C称为z平面上一条连续曲线，对任意满足t1及t2的t1与t2，若t1t2时有Z(t1)Z(t2),则点Z(t1)称为C的重点；无重点的连续曲线称为简单曲线(Jordan)；z()z()的Jordan曲线称为简单

9、闭曲线；若在t上时，x(t)及y(t)存在且不全为零，则称C为光滑(闭)曲线。定义1.9由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。定理1-1(Jordan定理)任一简单闭曲线C将z平面唯一地分为c,I(c)及E(c)三个点集(下图)，它们是有如下性质：(1)彼此不交；(2)I(c)与E(c)一个为界区域(c的内部)，另一个为无界区域(C的外部)；(3)若简单折线p的一个端点属于I(c),另一个端点属于E(c)，则p与c必有交点。对简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察者沿c绕行一周时，c的内部(或外部)始终在c的左方，即“逆时针”(或“顺时针”)方向，称为c的正方向(或负方

10、向)。定义1.10若平面上的区域D内任意一条简单闭曲线的内部全含于D,则称D为单连通区域，不是单连通区域称为多连通区域。例如例1.51.8所示的区域均为单连通区域；例1.9所示区域为多连通区域。作业：P123.5.7.8复变函数一、教学目标或要求：掌握复变函数概念、反变换、极限与连续、比较与数学分析中同与不同二、教学内容(包括基本内容、重点、难点)：基本内容：复变函数概念、反变换、极限与连续、比较与数学分析中同与不同重点：比较与数学分析中异同点难点：比较与数学分析中异同点三、思考题、讨论题、作业与练习：习题一11-19.复变函数的概念定义1.12设E为一复数集，若对E内每一复数z,有唯一确定的

11、复数w与之对应，则称在E上确定了一个单值函数wf(z)，如对内每一复数z,有几个或无穷多个w与之对应，则称在E上确定了一个多值函数f(z),(zE),e称为函数wf(z)的定义域。对于E,w值的全体所成集称为函数wf(z)的值域。例|z|,z2，wz等均为单值函数。UziArgz等均为多值函数。注以后如不特别说明，所提函数均指单值函数。?复变函数一般有三种表示形式：f(z),(zE)?(2)若令zxiy,则有u(x,y)iv(x,y),(x,y)E)?(3)若令zr(cosisin),则有P(r,)iQ(r,)。？复变函数wf(z)的定义类似于数学分析中实函数yf(x)的定义，不同的是前者wf

12、(z)是复平面到复平面的映射，所以复变函数不能用同一个平面或同一个三维空间中的几何图形来表示。要描述wf(z)的图形，可取两张复平面，图1.7分别称为z平面与w平面，而把复变函数理解为两个复平面上的点集间的对应，如图1.7所示.具体地说，复变函数wf(z)给出了从z平面上的点集D到w平面上的点集F间的一个对应关系，与点zD对应的点wf(z)称为z点的象点，而z点就称为wf(z)的原象.定义1.13若对z平面上点集E的任一点z,有平面上点集F的点由，使得wf(z)，则称wf(z)把百变(映)入尸(简记为f(E)F)，或称wf(z)是与到尸的入变换。定义1.14若f(E)F,且对F任一点，有式的点

13、胃，使得田.,，则称出./仁)把不变(映)成F,简记为/=尸，或称心/是否到产的满变换。定义1.15若B(Z)是点集豆到F的满变换，且对F中的每一点0，在E中有一个或至少两个点与之相对应，则在F上确定了一个单值或多值函数，记为工二/，称为的57反函数；若是产到区的单值变换，则称色/(幻是下到F的双方单值变换或变换。一2.例函数z把z平面上的下列曲线度为W平面上的何种曲线？(1)以原点为心,2为半径，在第一象限里的圆弧；倾角3的直线；22)双曲线xy4；解：(1)设zxiyr(cosisin),wuivR(cosisin)2w4,0argz因为Rr，2,故得(i)当z2时a2时，0argz.故以

14、原点为心.2为半径.在第一象限里的园弧变为W。平面上以原点为心.4为半径.在上半面的园弧。l1:argzl1:argz(2)倾角3的直线；即为两条射线：3及33时经变化2argw2argz2v.因ywxy4故u=4又7Z在双曲线u是一条射线.且与射线L重合。i2xy,故xy因xy在y,v22一、xy4上变动时v2argzargw2argzargz当3时经变化得3为射线L.当(-8,+8)上变动。因此.z的象wuiv是这样的点：其实都U恒为4.其实部v2xye(-8,+8),因此满足上述条件的点所成立之集是平行于虚轴的一条直线u=4。2.复变函数的极限与连续性定义1.16设wf(z)于点集E上有

15、定义，z0为E的聚点。如果存在一复数w0,使对任给的0,有0,只要0|zz0|,zE。就有1fw0|limf(z)w0则称函数wf(z)沿E于z0有极限w0。并记为zz0。limf(z)w0注极限zz00与趋于z0的方式无关。即z要沿从四面八方通向z0的任何路径趋于z0。这是与实函数的极限的不同之处。？下述定理给出了复变函数极限与其实部和虚部极限的关系定理1.2设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)于点集E上有定义，z0 x。iy。，则lzmfaib?的充要条件是(x,y)linLy0)u(X,y)a,?证由极限定义易证。下面再引入复变函数连续性的概念，其定义与实函数的连续性是相似的。定义1

16、.17设wf(z)子点集E上有定义，z0为E的聚点，且z0E。若limf(z)f(4)zz0即对任给的0,0,只要zz0,zE,就有f(z)f(z。)则称f(z)沿E于z0连续。?定理1.3设函数/+z()于点集式上有定义，豆亘，则了沿在点。十佻连续的充要条件是：二元实变函数火工加),Mk/)沿/于点打)连续。上述定理告诉我们：判断复变函数是否连续，只需看其实部、虚部是否连点无极限，从而在原点不连续。证令变点66+工28）,则=sin26血1/（己）=0nn从而ZQ八,（沿正实轴日=口）而沿第一象限的平分角线4,2T0时，/T1。故,（力在原点无确定的极限，从而在原点不连续。lim例试证z0Rezz不存在。Rezx证设zxiy，则zxiylimx0ykxRezzlimx0ykxxxikx11ik显然，k取不同值时，1值1ik也不同，故极限lzm0Rezz不存在。定义1.18如函数fu(x,y)iv(x,y)在点集E上各点均连续，则称wf（z）在E上连续。例设了在点诙连续，且了（小0,则加）在点%的某以邻域内恒不为0.?ffi因了在点分连续，则甲岑0/：。，只要卜一叫0因此，/在了邻域屯区）内就恒不为o。在数学分析中，闭区间上的连续函数有三个重要性质：有界性、达到最值及一致连