信息技术2.0微能力：中学九年级数学上（第六单元）反比例函数的应用-中小学作业设计大赛获奖优秀作品模板-《义务教育数学课程标准（2022年版）》

1、 中学九年级数学上（第六单元）反比例函数的应用义务教育数学课程标准（2022年版）微能力2.0认证-中小学作业设计大赛目 录作业设计方案撰写：TFCF优秀获奖作品2第六章 反比例函数一、单元信息基 本 信 息学科年级学期版本单元名称数学九年级第一学期北师大反比例函数单元组织方式自然单元课 时 安 排节次名称课时安排教材对应内容第 1 节反比例函数1P149-151第 2 节反比例函数的图象与性质2P152-157第 3 节反比例函数的应用1P158-160回顾与思考1P161-162二、单元分析( 一) 课标要求1. 探索现实生活中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；2. 结合实例，了

2、解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例；3. 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；4. 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值，发展运算能力；5. 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系；6. 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论；7. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；8. 能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式y= (k0)探索并理解 k0和 ko 时，双曲线的两支分别位于第一、第三 象限.在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.反 比 例 函 数的性质反 比 例 函 数图象上的点 (x,

3、y) 横纵坐标的积是定值 k ，即 xy=k.在反比例函数图象上任意一点作x 、y 轴的垂线与坐标轴围成的矩 形的面积是定值|K |.1.设含有待定系数的反比例函数解析式为y= (k丰0).2.把点 (x,y) 横纵坐标的对应值，代入解析式得到待定系数的方程.3.解方程求出待定系数.4.写出解析式.求反比例函数与一次函数交点坐标，把两个函数解析式联立成方程 组求解. 若方程组有解，则两者有交点，否则无交点.1. 当 K1 、K2 同号时，有两个交点.判断正比例函数与反比例 函数在同一坐标系内的交 点的个数.2. 当 K1 、 K2 异号时，没有交点.1.知识结构图反比例函数的图象与性质k0 和

4、 k”连接) .4.如右图，点 Q 是函数 y= 在第二象限内的任意一点，且 PQ 垂直x 轴于点 P，若 OPQ 的 面 积 为 5 ， 那 么 k 的 值是 .10直观更加简单清晰地 理解k 的几何意义。5.反比例函数性 质和反比例函数系数 k的几何意义的综合 应用，体会数形关系 的转换，提高综合分 析问题的能力。5.四个反比例函数 y1= 、y2= 、y3= 、y4= 图象的一部分如下图，通过观察图象与坐标轴的位置关系，比较 k1、k2、k3、k4 的大小.作业分析与设计意图6.反比例函数性 质的拓展应用，可使 用多种方法解决，培 养应用与创新意识。7.将比例系数k 的几何意义与动点问

5、题相结合，化静为动， 动静结合，得出结论. 既可以用函数关系 式，也可以用几何直 观法解决，一题多解， 培养学生发散思维。三、每日一“提”：拓展提升 (选做题)完成时间：8 分钟以内6. 当 x1 时，求反比例函数 y = 中 y的取值范围7.如图，反比例函数y = 的图象上 (x0) 有一个动点 P，PBy轴于点 B，点 A是 x轴正半轴上的一个定点，当点 P的横坐标逐渐增大时，四边形 OAPB的面积将会怎样变化？为什么？ 学生自评：今天的收获：_今天的困惑： 教师评价：评价内容等级等级层次说明ABC每日一“读”A：答案 90%以上正确，过程规范B：答案 70%90%正确，过程不够规范完整C

6、：答案正确率低于 70%，过程错误或无过程每日一“练”每日一“提”总 评(必填)AAA，AAB 为 A 等；ABB，AAC，BBB 为 B 等； 其余为 C 等创意之“星”(选填)五星:解法有创新，解题思路清晰，方法简便四星:解法有新意，解题过程复杂或不完整三星:解法有亮点，解题思路不够清晰11一、每日一“读”：阅读教材并填空 (必做题) 完成时间：2 分钟以内反比例函数的概念1.反比例函数表达式的 3 种 形式： _ ； _ ；_ .反比例 函数的 图象与 性质反 比 例 函 数2.用反比例函数解应用题的基 本步骤：(1) 弄清题意，分析确定实际 问题中变量之间的关系；(2) 建立反比例函数

7、模型，确 定自变量的取值范围； (3)运用反比例函数的有关知 识解决问题.反比例函数的应用二、每日一“练”：巩固基础 (必做题) 完成时间：10 分钟以内1下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是 ( ) .A.压力为 2000 牛时，受力面积 s 与压强 p 之间的关系 B.一个水杯的体积为 50L 时，所盛液体的质量 m 与所盛液体 的密度之间的关系C.当电压为 220V 时，通过电路的电流 I(A)与电路中的 电阻 R()之间的函数关系D.运动员完成 1000m 赛跑的时间 t 与他跑步的平均速度 v 的关系2.矩形的面积为 10 ，它的长和宽的关系用图象表示为( ) .A B

8、 C D3. 已知反比例函数 y= 的图象经过点 (-2 , 5) ,则 k 的值6.3 反比例函数的应用 (第 4 课时)作业分析与设计意图回归教材，以本为 本，结构化、系统化 地掌握知识点，培养 概括能力，为后面顺 利完成练习做好准 备，值得重视的是这 个地方要引导学生注 意 k丰0 这个先决条 件。作业分析与设计意图1.本题选项分别 从压强、密度、 电学 和速度四个物理方面 知识，考察了学生对 函数应用的理解，体 现数学的跨学科特 点，打造多元思维模 型.2.本题利用矩形 面积中长与宽的反比 例关系，结合图象特 点解决问题.培养学 生的数形结合的思 想.实际解题中，学生 还应考虑到长与宽

9、的 实际意义，即矩形长、 宽不可能取负值，从 而排除不符合题意的 选项.3.用待定系数法 求反比例函数的比例12_.4. 随着我国的科技的飞速的发展，成为我们便 捷的出行工具，从宿州到北京乘坐 G2552 列车，当列车的功率一定时，动车行驶的速度 V (m/s) 与它所受的牵引力 F(N)之间的函数关系如图所示.(1)G2552 列车的功率是多少？请写出这一函数的表达式(2) 当它所受的牵引力为 1.6x105 牛时，G2552 列车的速 度是多少？(3) 如果限定 G2552 列车的速度不超过 80m/s 则 F 在什 么范围内？5.正比例函数 y=k1x 图象与反比例函数 y= 的图象相交

10、于 A 、B 两点，其中 A 点坐标为 ( 一 ，3 ) .(1) 分别写出这两个函数的表达式；(2) 直接写出点 B 的坐标.三、每日一“提”：拓展提升 (选做题)完成时间：8 分钟以内 6.下列各点在同一反比例函数图象上的有_(填序号) . (-3 ，2) ( ，- ) ( ，-6) (-0.1 ，60)7.某校学生在体育加试的跑步项目中，测得两个变量之 间的关系如下表：是系数，加深学生对反 比例函数表现形式的 理解。4.现实生活中存 在大量的反比例函 数,本题通过奥运吉 祥物“冰墩墩”乘高 铁这一情境提升学生 兴趣，解答该类问题 的关键是确定两个变 量之间的函数关系， 然后利用待定系数法

11、 求出他们的关系式。 从而让学生明白数学 来源于生活，应用于 生活，体会数学建模 思想，发展应用意识。5.这是一个数学 综合题，涉及正比例 函数和反比例函数. 考察了新旧知识间的 联系，进一步让学生 体会数形结合思想。作业分析与设计意图6.反比例函数性 质的拓展应用，可以 使用多种方法解决， 培养应用与创新意 识。13自变量 V (ms)2.73.43.644.3因变量 t (S)296267235200186请你根据表格回答下列问题：(1)这两个变量之间可能是怎样的函数关系？你是怎样作出 判断的？请你简要说明理由；(2)将这个函数用近似的解析式表示出来；(3)表格中空缺的数值可能是多少？请你

12、给出合理的数值.8.上网搜集 2021 年中国十大科技新闻，在那些科技领 域用到反比例函数？7.主要考查了函 数的应用。解题的关 键是根据实际意义列 出函数关系式，从实 际意义中找到对应的 变量的值，利用待定 系数法求出函数解析 式，在根据自变量的 值求算对应的函数 值。8.本题让学生通 过查阅资料，了解中 国在科技领域中的强 大，激发学生的爱国 热情，从而更加努力 的学习。学生自评：今天的收获：_今天的困惑：_教师评价：评价内容等级等级层次说明ABC每日一“读”A：答案 90%以上正确，过程规范B：答案 70%90%正确，过程不够规范完整C：答案正确率低于 70%，过程错误或无过程每日一“练

13、”每日一“提”总 评 (必填)AAA，AAB 为 A 等；ABB，AAC，BBB 为 B 等；其余 为 C 等创意之“星”(选填)五星:解法有创新，解题思路清晰，方法简便四星:解法有新意，解题过程复杂或不完整三星:解法有亮点，解题思路不够清晰14一、选择题1.下列函数中，属于反比例函数的是 ( ) .A y= B y= C y3 4x D y2+3x22.若反比例函数y= 的图象经过点 (2 ，-3) ，则实数m作业分析与设计意图1.考查反比例函 数的概念，利用表达式 的形式来判断函数关 系，进一步体会反比例 函数是刻画变量之间 关系的数学模型。2.考查反比例函 数性质与k 的值有关， 可类比

14、一次函数求系 数的方法解决。3. 本题利用长方 形面积中长与宽的关 系，确定函数关系式是 反比例函数.培养学生 在日常生活中运用反 比例函数解决问题的 能力。4.由点的坐标确 定 k 的正负值，判断反 比例函数所在象限。培 养学生举一反三的能 力和逆向思维的能力。5.这是一个数学综合题，涉及到一次函 数和反比例函数.考察 了新旧知识间的联系， 进一步让学生体会数 形结合思想。的值是 ( ) .A 6 B C - D 63.面积是 240 平方米的长方形，它的长 y 米，宽 x 米之间的关系表达式是 ( ) .A y240 x B y= C.y240+x D y240 x4.若反比例函数 y=

15、的图象经过点 (3a，a) ，其中 a0，则此反比例函数图象经过 ( ) .A 第一、三象限 B 第一、二象限C 第二、四象限 D 第三、四象限k 5. 如图，直线 yx+3 与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y=x(k0) 的图象交于点 B ，过点 B 作 CBx 轴于点 C ，AO3CO ，则反比例函数的解析式为 ( ) .A. y= 一 B y=C. y= D y= 一 北师大版九年级数学第六章反比例函数 单元质量检测作业(完成时间：30 分钟以内)15二、填空题6.双曲线 y= 和直线 yx+ 1 交于点 (m ， 3) ，则双曲线的表达式为 7. 如图，直线 ykx 与双曲线 y=

16、 (x0) 交于点 A(2 ，a ) ，则 k 第 9 题第 8 题第 7 题1 8.如图：平行于 x 轴的直线 AB，交反比例函数 y1= x 图象于点 A，交反比例函数 y2= k 2 图象于点 B，当 SABO3 时，K2 - K1 xk 9. 已 知 函 数 y= 图 象 如 图 ， 以 下 结 论 ， 其 中 正 确 有 ： xk0；在每个分支上 y 随 x 的增大而增大；若 A ( 2 ，a ) ，点 B (3 ，b) 在图象上，则 ab若 P (x ，y) 在图象上，则点 P1 ( x ， y) 也在 图象上三、解答题10若正比例函数 yk1x 的图象与反比例函数 y= 的图象有

17、一个交点坐标是 (3 ，-2) .(1) 求这两个函数的表达式；(2) 求这两个函数图象的另一个交点坐标k作业分析与设计意图6.进一步考查反 比例函数与一次函数 图象与性质，用待定系 数法求反比例函数的 比例系数，加深学生对 反比例函数表现形式 的理解。7.考查反比例函 数与正比例函数综合 运用 。8.考 查 反 比例函 数中 k 的几何意义应 用，通过几何直观更加 简单清晰地理解 k的几 何意义。9.考 查 了 反 比 例 函数的性质的应用，体 现了从特殊到一般、分 类讨论的数学思想。作业分析与设计意图10.这是一个正比 例函数与反比例函数 综合运用题，涉及正比 例函数和反比例函数， 考察了

18、新旧知识间的 联系，进一步让学生体 会数形结合思想。1611. 在物理课上学习了杠杆原理，知道了杠杆在平衡条件下 F1 L1=F2 L2 。它特别喜欢阿基米德说的：给我一个支点，我可以撬动地球。于是, 欲用撬棍撬动一 块大石头，已知阻力 F1 和阻力臂 L1 分别为 1000N 和 0.5m.(1)动力 F 与动力臂 L 有怎样的函数关系？当动力臂为 2.5m时，撬动石头至少需要多大力？(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力 臂 L 至少要加长多少？12.如图，已知反比例函数 y=与一次函数 yk2x+b 的图象交于点 A (1 ，m ) 、B ( 4 ， 2) (1

19、) 求 k1 、k2 、b 的值；(2) 求AOB 的面积；(3) 若 P (x1 ，y1 ) 、Q (x2 ，y2 ) 是反比例函数 y= 图象上的两点，且 x1 x2 ，y1y2 ，请指出点 P 、Q 各位于哪个象限，并简要说明理由11.主 要 考 查 用 反比例函数 知识解决 简单的实际问题，让学 生明白生活处处有数 学，通过用反比例函数 的相关知识及杠杆的 平衡条件，体会数学与 物理学科的联系，调动 学生学习数学的积极 性。12.这道题是反比 例函数与一次函数的 交点问题本题主要考 查了用待定系数法求 一次函数和反比例函 数的解析式和一次函 数和反比例函数的交 点及面积问题的应用， 用

20、了数形结合思想。1713.数学日记：通过本章的学习，相信同学们肯定收获满满，当然或许也有很多困惑大家是不是有很多话要说？那么，请大家以数学日记的形式，对本章所学所感进行 回顾总结一下吧！可以是思维导图，可以是手抄报，也可以 是一题多解或典型题巧解，还可以是个人学习心得在这 一方属于你的天地中，以你喜欢的方式，尽情展示你的才华 吧！ (形式不限，字数不限)13. 通过引导学生 观察、收集、记录他们 在学习生活中所触及 的数学问题及数学例 子 ，进而写成数学 日 记，逐渐养成用数学的 眼光和思维去解释和 表示事物间的数量关 系、空间形式和数据信 息的习惯，同时，为学 生展现个性思维提供 平台，体现

21、了学科间的 融合与数学的实践性、 综合性、趣味性。学生自评：今天的收获：_今天的困惑：_教师评价：评价内容等级等级层次说明ABC总 评 (必填)A：答案 90%以上正确，过程规范B：答案 70%90%正确，过程不够规范完整C：答案正确率低于 70%，过程错误或无过程创意之“星”(选填)五星:解法有创新，解题思路清晰，方法简便四星:解法有新意，解题过程复杂或不完整三星:解法有亮点，解题思路不够清晰18单元质量检测作业双向细目表题 号来 源题型作业目标认知 维度能力维 度难度系数1改编选择题理解并掌握反比例函数的概念，进一步感受模 型思想.理解模型观念0.902改编选择题理解反比例函数的概念，能够

22、确定表达式.掌握抽象能力0.853原创选择题能用反比例函数解决简单的实际问题，发展应 用意识。运用应用意识0.804改编选择题能根据反比例函数图象的点坐标判断反比例函 数图象所在象限.掌握几何直观0.705原创选择题通过函数表达式和图象，理解反比例函数的性 质，体现数形结合思想.理解几何直观0.556改编填空题用待定系数法求反比例函数的比例系数，加深 学生对反比例函数表现形式的理解.理解数据观念0.707改编填空题能根据一次函数与反比例函数图象交点求出函 数解析式.理解空间观念0.658改编填空题理解并掌握反比例函数k 的几何意义，利用数 形结合思想求出结果.理解掌握模型观念0.609改编填空

23、题掌握反比例函数的性质应用，从特殊到一般的 分类讨论的数学思想.掌握推理能力0.5010改编解答题正反比例函数综合运用，利用待定系数法求表 达式，进一步体会数形结合的思想.理解掌握运算能力0.8011原创解答题反比例函数应用能结合杠杆的平衡条件解决生活中实际问题.理解应用意识0.6012改编解答题反比例函数应用通过交点问题，灵活运用数形结合思想.掌握运算能力0.4513原创综合与实践反比例函数相关知识的实践与综合应用运用创新意识0.50整卷知识结构分布 (%) ：6.1 ： 22.8 6.2 ： 45.2 6.3 ： 32 整卷难度分布 (%) ：容易： 45.3 中等难度： 42.5 较难:

24、 12.2 整卷难度系数： 0.66 19(k2 一 10 = 一 1(k六、参考答案与解析6.1 反比例函数(第 1 课时)一、每日一“读”1.反比例函数；零.2.y= (k丰0) ; xy =k(k丰0 ) ;y=kx一 1 (k丰0) .二、每日一“练”1.B.2.C.3.一 .4.解： y= (3-k)xk2 一10 是反比例函数 3 一 k 0解得:k=-3即：当 k=-3 时，y= (3-k)xk2 一10 是反比 例函数.5.解： (1) 设函数表达式为：y=kx把 x= ，y=-6 代入得：k=-6 即：y 与 x 之间的关系式为：y=- (2) 当 y=-2 时，-2=-解得

25、：x=3三、每日一“提”6.解： (1) y1 与 x 成正比例，y2 与(x + 1)成反比例设 y1=k1x , y2= y=y1-y2y=k1x - 当 x=0 时，y=4；当 x=1 时，y=4(- 4 = -k|4 = k1 一 = 6| 2解得:kEQ * jc3 * hps13 oal(sup 11(1),2) = 4y=6x - (2) 把 x=-2 代入 (1) 中表达式， 得:y=-86.2.1 反比例函数的图象与性质 (第 2 课时)一、每日一“读”1.列表，描点，连线；2.双曲线，一、三，二、四，无交点； 3.中心对称，原点 O，轴对称，y=x，y=-x ;二、每日一“

26、练”1. C 2. m6 3. D4. 解 (略) 【注意要点】：(1)列表时，自变量的值可以选取一些 互为相反数的值，这样既可以化简计 算，又便于对称性描点。(2)列表描点时，要尽量多的取一些数 值，多描一些点，这样既可以方便连 线，。又较准确的表达反比例函数的 变化趋势。(3)连线时，一定要养成按自变量从小 到大的顺序，依次用平滑的曲线连接， 从中体会函数的增减性。画反比例函 数图象要出“头”，体现反比例函数 图象有延伸性。三、每日一“提”5.【解析】：因为反比例函数的图象 有对称性，即：反比例函数图象上的 点也是关于原点对称的。 4m = (-4)2 m = -26.【解析】：将 y 轴

27、左边 (或者右边)20的阴影部分面积沿着 y 轴对折，可得 阴影部分的面积等于图中长方形面积 的一半。即：S 阴影= 11 10=55.6.2.2 反比例函数的图象与性质(第 3 课时)一、每日一“读”1.第一、三，每一象限，减小；第二、 四，每一象限，增大.2.S1=S2= |k|.二、每日一“练”1. (2) (4) ； (1) (3) (4)提示：y=- 是正比例函数2. ； , y3 y14.-105.k1k2k3k4三、每日一“提”6. 0y0,在每一象限内 y 随 x 的增大而减小。当 x1 时 y1 时反比例函数的图象位于 第一象限当 x1 时 0y1 时 0y0V 随 F 的增

28、大而减小当 V 80 时，F 5F 1.2X10 N5.A ( 一 ， 3 ) 在 y=kx 的图 象上 一 2 k = 3 k = -3y=-3x同理，y=- (|y = 一3x联立得 6|y = 一 x解得 (|x = (|x = |y = 3 |y = 一3 又 点 B 在第四象限B(2,一 3 )三、每日一“提”6.7. (1) 观察图表可知自变量 V 和因变 量 t 的乘积接近一个常数 800，故这两个变量构成反比例函数。(2) 设函数解析式为 t= (k0) ,将 v=4,t=200 代入解析式,得 k=800 函数解析式为 t= 800v(3) 根据 t= ，当 t=267 时

29、v3.0.当 v=3.6 时 t222.28.略单元质量检测作业一、选择题1.B 2.A 3.B 4.A 5.C二、填空题6. y= 7.28.69.、三、解答题10.解：(1) y=k1x 与 y= 交点是 (3，-2) ，把点分别代入 y=k1x、y= 中，k1= - , k2=-6正比例函数表达式为x,反比例函 数表达式为.(2) 正比例函数 y=- x 的图象与 反比例函数y=- 的图象一个交点为(3，-2) ，它的另一个交点与点 (3，-2) 关于原点对称.它的另一个交点为 (-3,2) . 11.解： (1) 根据杠杆的平衡条件下 F1L1=F2L2 ，动力 F 与动力臂 L 的函

30、数关系为 F= ，把 L=2.5 代入 F=得F=200.(2) F 100 100，解得 L5，5-2.5=2.5至少增加 2.5 米。12.解： (1) 反比例函数 y= 与一 次 函 数 y=k2x+b 的 图 象 交 于 点 A (1，m) 、B (-4，-2) ，k1=8，m=8，则 A (1，8) ，-4k2+b=-2由题意得: k2+b=8解得：k2=2，b=6；(2) 一次函数 y=2x+6 与 y 轴的交点坐标为 (0，6) ，SAOB = 6 4+ 6 1=15(3) 反比例函数 y= 的图象位于一、三象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而减小，x1x2 ，y1y2，P

31、、Q 在不同的象限，P (x1 ，y1 ) 在第三象限，Q (x2 ，y2 )在第一象限13.略知识备份（根据实际情况删减）概念被认为是儿童智力的基本组成部分，对基本概念的获得与儿童整体智力发展密切相关（Bruce, Bracken,1998），在数学领域亦是如此，儿童对数学概念的理解是进行数学问题解决和交流的前提和基础，例如，儿童理解定量的相关概念，如“多”、“少”、“很多”、“较少”可以让而儿童掌握量的比较并进行描述(Barner, Chow & Yang, 2009)；掌握空间概念能够让儿童对数轴上的数字关系以及空间物理对象之间的关系进行感知并交流和讨论(Ramani, Zippert,

32、 Schweitzer, etal.,2014)，同时，早期儿童的数学学习是操作性的，但是这种操作是建立在对基本数学概念理解基础之上的，当儿童不能准确理解数学概念时，也无法掌握更进一步的数学内容(Barner, Chow & Yang, 2009)，因此，数学概念的理解是儿童进行数学交流的前提和保障。一、3-6 岁儿童数学概念理解能力的现状水平（一）3-6 岁儿童数学概念理解能力的整体 表现为了解 3-6 岁儿童在基本概念理解上的整体表现，对 433 名儿童在各个题项上的答题正确率进行统计，结果如表 5-2-1 所示：表 表 5-2-1 3-6 岁儿童在基本概念理解上的表现测试项目 分量表题项

33、总数 平均答对题数 1 项目通过率 2颜色 11 10 90.9%数字/计数 19 16 84.2%量/大小 13 10 76.9%比较 10 7 70%形状 20 15 75%基本概念理解 73 60 82.2%由表 5-2-1 可知，3-6 岁儿童在基本概念上理解上的整体表现较好，整体通过率为 82.2%。在各分量表上而言，儿童在颜色理解上的表现最优，通过率为90.9%，其次为数字和量通过率为 84.2%，76.9%，儿童在形状和比较上的表现稍微较弱，通过率仅为 75%和 70%。具体来说，儿童在颜色这一概念上的理解能力非常好，其中对黑色、白色、绿色、蓝色、黄色、粉色 6 中颜色的识别率最

34、高，其正确率在 95%以上，其次为红色、紫色和橙色，正确率在 90%左右，再次为灰色，正确率为 82.4%，儿童在褐色理解的表现上不佳，正确率进位 79.7%。儿童在数字/计数上理解总正确率 84.2%，其中对 “数字 1,2,3,4”的理解识别理解率最高，正确率均在 95%左右；其次对 5-9 数字的理解正确率要高于数字10 以上的，但是“数字 9”和“数字 6”的正确率稍微偏低，在 85%左右；儿童对两位数的理解正确率要低于“个位数”，并且数字的增大，儿童的正确率降低，“数字 95”、“数字 41”、“数字 27”的理解正确率会显著低于其他数字，在70%左右。在图形计数方面，随着量的增多，

35、儿童的正确率下降，儿童对“一头熊”、“三朵花”的正确率要高于“六只鸭子”和“九只蜜蜂”，其中“九只蜜蜂”的正确率最低，为 75.1%。儿童在量/大小上的理解情况略低于数字/计数上的表现，总正确率为 76.9%，说明儿童已经能够掌握量、大小等概念。具体来说，儿童对最大、最小、最细、最长概念的理解情况要优于对最深、最浅、最密的理解。儿童在比较概念上的理解程度较差，在此项目上的通过率为 70%，具体来看，儿童对“配成一对”、“完全匹配”、“某物体最像”、“读的不是书”等概念的理解还存在一定的困难，尚不能从否定方面或者事物特征的某一方面做出选择和分辨差异。儿童对形状理解的正确率为 75%，略优于对比较

36、的理解。具体来说，除了对“菱形”、“斜线”、“曲线”、“角”这四个概念的图形辨认率比较低之外，儿童对二维图形的理解辨认能力要优于三维图形，其中二维图形中，“圆形”、“正方形”、“五角星”、“心形”、“三角形”、“长方形”的正确率最高，其次为“排成一队”、“排成一行”、“对号”、“椭圆形”。在三维图形中，儿童对“柱子”、“三棱锥”、“圆柱体”的理解水平要高于“立方体”、“圆锥体”。总体来说，Breaken 基本概念难度的设计是由易至难、循序渐进的，儿童回答正确题目的越少，所获得概念的难度就越低。因此，从上述结果表明，3-6 岁小班儿童在比较上的整体理解能力偏差，正确通过率仅为 50%，具体来说，

37、儿童在“不一样”、“不同”、“不一样多”几个概念的理解能力略高，正确率在 60%以上，其次是“相似”、“一样大”、“一样”、“一对”，正确率均在50%左右，儿童在“完全匹配”、“读的不是书”、“两条船最像”等几个概念的理解上存在较大的困难，其正确率仅为 30%左右。小班儿童对形状理解的正确率为 65%，具体来说，小班儿童能够理解绝大多数的二维平面图形，例如在 “圆形、正方形、三角形、长方形、五角星、心形”上的正确率为 90%左右，但对“椭圆形”“菱形”的识别率不高。同时，在二维图形中，儿童对“斜线”、“曲线”、“角”等几个概念的理解还存在很大的困难，特别是“曲线”和“斜线”，儿童的正确率仅为

38、20%左右。相对于平面图形来说，儿童对三维立体图形的理解能力稍微偏弱，但 50%上的儿童能够识别并正确识别“三棱锥”、“圆柱体”、“柱子”、“立方体”等几何形体，而对于“圆锥体”的理解存在困难。最后，小班儿童能够对一些形状用语做出理解和判断，例如对“排成一队”、“排成一行”、“对号”等正确率也较高。在颜色中，除了“褐色”和“灰色”的正确率在 80%以上，其余颜色正确率均在 90%以上，95%左右，因此，中班儿童已经能够数量理解并辨识各种颜色。在计数上，除了在“数字 95”的正确率为 69.3%之外，其他数字的识别以及对图片数字的计数的正确率都在 80%以上。在量的理解上，中班儿童已经能够正确理

39、解大小、粗细等概念，但在“水最浅”、“船最宽”、“网最密”上的正确率较低。在比较概念上，中班儿童理解能力稍微较弱，总正确率为 60%，具体来看，中班儿童能够基本理解“不一样、不同、不一样多”等三个比较概念，其正确率在 80%左右，但对于“相似、一样大”稍微较弱，通过的正确率在 70%左右，而在“一样、读的不是书、配成一对、两条船最像”不佳，其正确率在 60%左右。对于“完全匹配”这一概念的理解和掌握则存在困难，其正确率不足 50%。在形状上，除了“菱形”的正确率为 51.2%之外，中班儿童已经能够完全理解和掌握各种平面几何图形的名称和概念，其项目通过的正确率均为 90%以上，但在二维空间概念上

40、，对“斜线”、“曲线”、“角”这三个二维概念的理解和掌握上存在很大的困难，尤其“曲线”的正确率仅为 20%，“斜线”与“角”的正确率也不足 50%。在三维立体图形的概念中，儿童准确的理解“柱子”、“三棱锥”，其正确率为 80%以上，对“立方体”、“圆柱体”的理解偏差一点，在 60%左右，还不能较好的理解“圆锥体”的概念，其正确率不足 50%。数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。3-6 岁的学前儿童，通过日常生活经验，他们对数字、模式、形状、数量、大小等逐渐形成了一套相对复杂的数学概念，而这些数学概念正是日后正式数学学习的基础。因此，对数学

41、概念的理解与掌握则成为数学学习的首要任务，也是进行数学交流的前提和保障。儿童在不同概念维度上的表现并不一致，首先，从儿童整体概念的理解水平上看，颜色的理解能力显著高于其他概念，这是由于颜色概念是人类发展较早的概念之一，已有研究表明，4 个 月 的 婴 儿 已 经 能 够 分 辨 红 黄 蓝 绿 四 种 颜 色 (Bornstein, Kessen &Weiskopf,1976)，因此在颜色概念的理解和表达上会显著高于其他内容；其次是数字/计数概念，赵振国（2008）通过对 3-6 岁儿童数感能力发展研究得出，在数感的六个组成部分中，数符号的辨认和比较是表现最优的(赵振国,2008)，这与本研究

42、的结果相一致；再次是量和形状概念，早期儿童的数学内容是与关于数、量、形分不开的，而量与形的相关概念也是最早起源于日常生活(黄瑾,2016)，因此，儿童也较为能够掌握相应的概念。在五种基本概念中，儿童对比较的理解能力相对较弱，一方面是因为，比较的概念是与量的相对性联系在一起的，而量的相对性对学前儿童来说是较为抽象的概念(黄瑾,2016)，所以儿童还不能准确的判断和了解，另一方面，比较概念的传递性，是通过较为抽象的专业词汇实现的，例如“哪两块拼图是完全匹配的、哪两只鞋子能够配成一对、哪两只动物是相似的”，而儿童的词汇水平也是影响理解的重要因素之一(闫梦格,李虹,李宜逊等,2020)，因此，虽然有相

43、应的图片帮助儿童去呈现相应的概念，但是由于对专业性词汇的理解不够，也就表现出在比较概念上的相对较弱。总之，3-6 岁儿童在不同概念体系之间的理解能力并不均衡，在颜色概念理解上的表现最优，其次为数字/计数、量/大小、形状，比较概念的理解水平最低。形状中仅能理解二维平面图形，例如“圆形、三角形、正方形”等，对三维立体图形的理解中存在较大困难；在比较中，仅能理解“不一样、不同”等单维层次概念的比较，对数学化、逻辑化程度较高的概念，如“完全匹配、读的不是书”还不能理解。中班儿童在数字/计数上的表现较小班儿童有了显著提升，例如，在数字概念上，除了较大数字理解的正确率较低之外（例如“95”、“53”、“4

44、1”），已经能够完全理解数字和符号；但是在比较和量/大小概念上的表现依然不佳。而到了大班，对数量概念的理解正确率为 100%，其他各维度的概念的理解正确率也都在 90%左右。从儿童在概念具体内容上的整体表现，以及不同年龄班在各个具体概念内容上的表现来看，概念的“数学专业化”、“概念的逻辑化”程度是影响儿童概念理解的主要因素，例如，数学专业化的表现为数量上的增加“数字95,47”，概念逻辑性表现为“哪两个盒子是不一样的？”等，这一结果也从数学概念的角度解释了，专业的数学词汇、数学概念成为儿童数学学习的困难和挑战的原因之一（Azlina, Siti & Roziati.,2004）。除了“概念的抽

45、象程度”影响之外，概念的表现形式与儿童对概念的熟悉程度，也是影响儿童理解能力的重要因素之一，例如，在数量概念上，无论哪个年龄班，儿童对“一头熊、三朵花”的理解正确率高达 95%以上，但即使到了大班，也有儿童在“六只鸭子、九只蜜蜂”的点数上面出现错误，这一结果也说明了物品的数量与排列方式也是儿童数字概念的影响因素之一(郭龙丹,黄瑾,2016)。此外，儿童对概念的熟悉程度也是影响其理解正确率的主要原因，例如，在量的概念理解上，无论是哪个年龄段儿童都能够准确理解 “最大、最小、最长、最短、最宽、最细”等几个概念，但是对“深浅、疏密”理解正确率较低，这可能是由于儿童的具体形象性的思维方式有关，一方面，

46、儿童大小、长短、宽细是儿童能够直觉感知到的物体属性(黄瑾,2016)，而深浅相对于具体的物品来说，更具抽象性，因此儿童对其的理解能力就相对较弱；另一方面，儿童早期数学认知的学习经验最早是来源于日常生活的(周欣,赵振国,陈淑华,2009)，儿童对物品的熟悉程度也是儿童概念理解的重要因素之一，而深浅、疏密并不是熟悉物品的主要属性，因此对其概念的理解能力也偏弱。关于不同年龄班儿童在概念理解上的整体表现的结果显示，小班儿童对基本概念的理解情况偏低，整体通过率未达 70%，其中在比较概念的通过率仅为 50%；到了中班，儿童对基本概念的理解能力显著提升，整体通过率达到了80%，这种提升尤其体现在数字/计数

47、方面和形状方面，除了对比较概念理解能力相对较低之外，其他概念的正确率均在 70%上；到了大班，儿童的整体通过率高达 93.1%，说明大班儿童已经能够完全理解各个维度上的基本概念。从整个学前阶段数学概念发展水平来看，小班儿童整体略低，中班儿童有了显著提升，到了大班已经能够完全掌握五个维度上的基本概念，各个年龄段儿童的发展水平呈现显著梯度提升，方差分析的也结果显示，不同年龄班儿童在各个概念理解上均存在显著差异，且年龄对各个维度上效应值均为 0.4 左右（影响程度为中等），这一结果一方面说明，概念的理解显著受到儿童身心成熟水平的影响，整个学前阶段儿童的概念发展是由低到高，梯度发展的，并且到了大班能够完全掌握，另一方