七年级春季班第19讲：压轴综合题-学生-马秋燕

1、 # / 23 / 23 / 23压轴综合题内容分析本章主要针对图形在运动过程中存在的不变性进行推理论证，找出特殊的 三角形的隐含条件作为辅助，解决相关角度不变性及比值和面积的相关问题， 对于复杂的综合题，需添加辅助线，常见的辅助线有倍长中线构造全等，做高 等，视具体题目而定.知识结构模块一：角度的不变性知识精讲本节主要运用三角形的内外角之间的关系进行换算和求解动点下产生不变角的问题, 特别是外角定理的运用在本节中非常重要.例题解析【例1】 如图，已知/ MON=90 ,点A、B分别在射线 OM、ON上，/ OAB的内角平分线与/ OBA的外角平分线所在的直线交于点C.(1)试说明/ C与/

2、O的关系；(2)当点A、B分别在射线OM、ON上移动时，试问/ C的大小是否发生变化， 若保持不变，求出/ C的大小；若发生变化，求出其变化范围.【难度】【答案】【解析】 / 23步同级年七 / 23【例2】 如图，在平面直角坐标系中， ABO是直角三角形，/ AOB=90 ,斜边AB与y轴交于点C.(1)若/A=/AOC,求证：/ B=/BOC;(2)延长 AB 交 x 轴于点 E,过。作 ODLAB,且 / DOB = / EOB, /OAE=/ OEA,求/ A的度数;（3）如图，OF平分/AOM, /BCO的平分线交 FO的延长线于点 P,当 AOB绕O点旋转时（斜边 AB与y轴正半轴

3、始终交于点 C）,在（2）的条件下，试问/ P的度数是否发生变化 *不变，请求出其度数；若改变，请说明理由【例3】 如图，在平面直角坐标系中，点A, B的坐标分别为(1, 0) , (3, 0),现同时将点A, B分别向上平移2个单位，再向右平移 1个单位，分别得到点 A, B的对应 点 C, D,连接 AC, BD, CD.(1)求点C, D的坐标及四边形 ABDC的面积；(2)在y轴上是否存在一点 P,连接PA, PB,使S於B =S四边形ABCD ,若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由.(3)点P是线段BD上的一个动点，连接PC, PO,当点P在BD上移动时(不与B,D重

4、合)给出下列结论：.DCP+. B0P的值不变,. DCP+ CPO的值不变,其ZBOP中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值.【解析】【例4】 如图，在平面直角坐标系中，/ ABO=2/BAO, P为x轴正半轴上一动点， BC平 分/ABP, PC 平分/ APF, OD 平分/ POE.(1)求/ BAO的度数；(2)求证：/ C=15 +1 /OAP;2(3) P在运动中，/ C+/D的值是否发生变化，若发生变化，说明理由，若不变，求出其值.【难度】【答案】【解析】模块二：旋转问题知识精讲旋转问题是七年级几何证明的一个难点，在旋转的过程中，找出隐含的边角之间的关 系是解决旋转类

5、问题是关键；本节的另一个难点是考察空间想象力，找出旋转之后图形的 位置.例题解析【例5】 如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、F ,求证：AE+CF=AB.【难度】【答案】【解析】【例6】 如图1、图2, 4AOB, COD均是等腰直角三角形，/ AOB = /COD = 90(1)在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系 叫说明理由.(2)若 COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图 2的位置，请问AC与BD还相等吗，为什么？【难度】图1图2【例7】 如图1,在梯形ABCD中，AD / BC , /C =90。，点E为CD的中点，点F在底 边 BC 上，且 /FA

6、E =/DAE .(1)请你通过观察、测量、猜想，得出/AEF的度数；(2)若梯形ABCD中，AD / BC , NC不是直角，点F在底边BC或其延长线上，如 图2、图3,其他条件不变，你在(1)中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在 图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由.【难度】图1C. 3对【例8】 如图，C是线段BD上一点，分别以 BC、CD为边在BD同侧作等边 ABC和等边CDE, AD交CE于F, BE交AC于G,则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有().A.B. 2对【难度】【答案】【解析】【例9】 已知：如图，点 C为线段AB上一点， ACM、 CBN是

7、等边三角形.求证：CF平分/ AFB .(备注：直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等)【难度】【答案】【解析】【例10 如图1, E、F分别在正方形 ABCD的边BC、CD上，且/ EAF = 45 .(1)请猜测线段EF、BE、DF之间的等量关系并证明.(2)变式：如图2, E、F分别在四边形 ABCD的边BC、CD上，/ B+Z D = 180 ,AB=AD, /EAF=1/BAD,则线段BE、EF、FD的等量关系又如何？请加以证明.2【例11】请阅读下列材料：已知：如图1在RtAABC中，/ BAC=90 , AB=AC,点D、E分别为线段 BC上两动 点，若/ DAE=45 ,探究

8、以线段 BD、DE、EC三条线段的为边构成的三角形是什么三 角形.小智的思路是：把 AEC绕点A顺时针旋转90 ,得到 ABF,连结FD ,使问题 得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1)猜想以线段 BD、DE、EC三条线段的为边构成的三角形是什么三角形，并对你 的猜想给予证明；(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图 2,其它条件 不变，(1)中探究的结论是否发生改变 ？请说明你的猜想并给予证明.【例12 如图，在 MBC形外作等腰 RtiABD和等腰RtAACE,使/BAD=90=/CAE =90：作 AH _LBC于 H,延长 HA,交 DE 于 M

9、,求证：DM = ME.【难度】【答案】【解析】 / 23步同级年七 / 23【例13】 在等边三角形 ABC的两边AB、AC所在直线上分别由两点 M, N, D为AABC外 一点，且 ZMDN =60/BDC =120*, BD=CD,探究：当点 M, N 分别在直线 AB, AC 上移动时，BM, NC, MN之间的数量关系及 MMN的周长Q与等边AABC的周长L 的关系.（1）如图（1）,当点 M、N在边 AB、AC上，且 DM=DN时，BM、NC、MN之间的 数量关系是;此时Q =.L（2）如图（2）,当点M、N在边AB、AC上，且DM #DN时，猜想（1）问的两个结论 还成立吗？写出

10、你的猜想并加以证明.（3）如图（3）,当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时, 含x、L的式子表示）.【难度】【答案】【解析】【例14 如图1,在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E, AF平分/BAC , 交BD于点F .1(1)求证：EF +_ AC =AB ; 2(2)点C1从点C出发，沿着线段 CB向点B运动(不与点B重合)，同时点A从点A 出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A的运动速度相同，当动点 C1停止运动时，另 一动点A也随之停止运动.如图2, AE平分NBAC1 ,交BD于点F1 ,过点E作、，一1F1E1_LAC1,垂足为E1 ,请猜想E1F1,万A1C1与AB

11、三者之间的数量关系，并证明你的猜想.图1图2【例15如图，在等腰 RtABC与等腰 RtDBE中， / BDE =/ACB=90 ,且 BE在AB 边上，取AE的中点F, CD的中点G,连结GF.(1) FG与DC的位置关系是，FG与DC的数量关系是；(2)若将 BDE绕B点逆时针旋转180 ,其它条件不变，请完成下图，并判断(1) 中的结论是否仍然成立？请证明你的结论.【难度】【答案】模块三：构造全等类知识精讲本节主要针对常规图形，添加合适的辅助线，如截长补短、倍长中线，添加平行线等 构造全等的三角形，题目综合性较强，考察同学们全等三角形判定和性质的综合运用能力.例题解析【例16】数学课上，

12、张老师出示了问题：如图 1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC 的中点./ AEF=90 ,且EF交正方形外角/ DCG 的平分线 CF于点F,求证： AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB的中点M,连接ME,则 AM=EC,易证 AMEAECF,所以 AE=EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B, C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论 AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点 正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2)小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除

13、C点外)的任意一点，其他条件不 变，结论 AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗 ？如果正确，写出证明过程；如 果不正确，请说明理由.【难度】【答案】【解析】【例17】已知 ABC为等边三角形，点 D为直线BC上的一动点(点 D不与B、C重合)， 以AD为边作等边 ADF ,且 DE / AF , EF / AD,连接 CF .(1)如图1,当点D在边BC上时，求证： BD=CF;AC=CF+CD;(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD是否成 立？若不成立，请写出 AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3,当点D在边BC的延长线

14、上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.【难度】【答案】【解析】【例18】已知如图1,在 ABC中，BC边在直线l上，ACXBC,且AC=BC. EFP的边FP也在直线l上，边 EF与边 AC重合，且 EF=FP.(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AP与AB所满足的数量关系和位置关系；(2)将4EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q,连结AP,BQ.猜 想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3)将 EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交 AC的延长线于 点Q,连结AP, BQ.你

15、认为(2)中所猜想的 BQ与AP的数量关系和位置关系还成 立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.【例19】直线CD经过/ BCA的顶点C, CA=CB. E、F分别是直线 CD上两点,且/ BEC=/ CFA=/ a.(1)若直线CD经过/ BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题:|BE-AF|（填“，“”或“二”号）;图 1,若/ BCA=90 , / a=90 ,贝 U EF如图2,若0 /BCA 场边形abdc*存在这样一点，求出点求 m的取值范围；若不存在，试说明理由.(2)点P是线段BD上的一个动点，连接PC, PO,当点P在BD上移动时(不与B、D重合)(3)若点. dcp+ B0P的值是否发生变化,并说明理由. .CPOP是线段AB上的动点，Sapc +S