新人教版九年级下册初中数学全册教学课件

1、新人教版初中数学全册课件九年级下册第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数1.了解反比例函数的概念，能判断一个给定的函数是否为反比例函数.2.会用待定系数法求反比例函数解析式. （重点）3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式. （重点、难点）学习目标新课导入知识回顾我们已经学习过的函数有哪些？一般形如 y=kx+b（k，b 是常数，k0）的函数，叫做一次函数，其中 x 是自变量，y是因变量.特别地，当 b=0时，y=kx（k为常数，k0），叫做正比例函数.一次函数新课导入知识回顾我们已经学习过的函数有哪些？二次函数形如 y=ax+bx+c (a,b,c是常数

2、,a 0)的函数叫做二次函数其中 x 是自变量，a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项新课导入情境导入当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？新课讲解 知识点1 反比例函数的概念合作探究下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.(1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化；新课讲解 知识点1 反比例函数的概念合作探究(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的

3、矩形草坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的变化而变化；(3) 已知北京市的总面积为1.68104 km2 ，人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的变化而变化.新课讲解观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？都具有分式的形式.其中分子是常数.结论 (k为常数，k 0) 的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.一般地，形如新课讲解 反比例函数 (k0) 的自变量 x 的取值范围是什么？思考： 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围

4、. 例如，在前面得到的第一个解析式 中，t 的取值范围是 t0，且当 t 取每一个确定的值时，v 都有唯一确定的值与其对应.新课讲解 反比例函数除了可以用 (k 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？想一想：反比例函数的三种表达方式：(注意 k 0)新课讲解例下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.典例分析是，k = 3不是不是不是是，新课讲解例典例分析 若函数 是反比例函数，求 k的值，并写出该反比例函数的解析式.解：因为 是反比例函数所以4k2=0，k20.解得 k =2.所以该反比例函数的解析式为 方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求

5、解即可.新课讲解练一练12 已知函数 是反比例函数，则 k 必须满足 . 当m= 时， 是反比例函数.k2 且 k11新课讲解 知识点2 确定反比例函数的解析式例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6.(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；(2) 当 x=4 时，求 y 的值.提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .把 x=2 和 y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值.新课讲解(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；解：设 . 因为当 x=2时，y=6，所以有 解得 k =12.因此 (2) 当 x=4 时，求 y 的值.解：把 x=4 代入 ，得新课讲

6、解用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：设出含有待定系数的反比例函数解析式，将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；解方程，求出待定系数； 写出反比例函数解析式.方法总结新课讲解例已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x=3时，y=4.(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；(2) 当 y=6 时，求 x 的值.典例分析解：(1) 设 . 因为当 x=3时，y=4，所以有 解得 k =12. 因此 (2) 把 y=6 代入 ，得解得 x =2. 新课讲解 知识点3 建立简单的反比例函数模型例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物

7、体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数.新课讲解当 v=100 时，f =40.所以当车速为100km/h 时视野为40度.解：设 . 由题意知，当 v =50时，f =80，所以 解得 k =4000. 因此 课堂小结反比例函数概念、三种表达方式用待定系数法求反比例函数解析式 建立反比例函数模型当堂小练1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中， x 和 y 成反比例函数关系的有 ( ) x人共饮水10 kg

8、，平均每人饮水 y kg；底面半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3；用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为 y cm；在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x，放满一桶水的时间 yA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个B当堂小练A. B. C. D.2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是 ( )A当堂小练3. 填空 (1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围是 . (2) 若 是反比例函数，则m的取值范是 . (3) 若 是反比例函数，则m的取值范围是 . m 1m 0 且 m 2m = 1当堂小练4. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地

9、之间，有时步行，有时骑车假设小明每天上学时的平均速度为 v ( m/min )，所用的时间为 t ( min ) (1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式；(2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快多少？(1) 解： (t0) 1254085 ( m/min ) 答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min.(2)解：当 t25 时， ；当 t8 时， .拓展与延伸5. 已知 y = y1+y2，y1与 (x1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成反比例，当 x = 0 时，y =3；当 x =1

10、 时，y = 1，求：(1) y 关于 x 的关系式；解：设 y1 = k1(x1) (k10)， (k20)，则 . x = 0 时，y =3；x =1 时，y = 1，3=k1+k2 ，k1=1，k2=2.第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.2 反比例函数的图像与性质课时1 反比例函数的图象与性质1.经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程 (重点、难点)2.会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质.（重点）学习目标新课导入知识回顾我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？新课讲

11、解 知识点1 反比例函数的图象和性质合作探究例1 画反比例函数 与 的图象.提示：画函数的图象步骤一般分为：列表描点连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.解：列 表如下：x65432112345611.21.52366321.51.2122.43466432.42新课讲解O2描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点56xy432112345634156123456连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得 的图象新课讲解观察这两个函数图象，回答问题：思考：(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？(2) 在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？ 你能由它们

12、的解析式说明理由吗？(3) 对于反比例函数 (k0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？新课讲解结论反比例函数 (k0) 的图象和性质：由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限.它们与 x 轴、y 轴都不相交；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.新课讲解练一练1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) CyA.xyoB.xoD.xyoC.xyo新课讲解练一练2. 已知反比例函数 的图象过点(2，3)，函 数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2 的大小关系为 ( )A. y1 y2B. y1 = y2C. y1 5，可知y1，y2的大小关系.新课讲解观察与思考 当

13、 k =2，4，6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k0)的图象和性质吗？ 新课讲解yxOyxOyxO新课讲解结论反比例函数 (k0) 的图象和性质：由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限.它们与x轴、y轴都不相交；在每个象限内，y随x的增大而增大.新课讲解归纳一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质：(1) 当 k 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；(2) 当 k ”“”或“=”).新课讲解例方法总结：已知某个函数为反

14、比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可.已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.解：由题意得a2+a7=1，且a1 0k 0) 的图象上有两点 A (x1，y1)，B (x2，y2)， 且 x1x20，则 y1y2 0.拓展与延伸拓展与延伸A第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.2 反比例函数的图像与性质 课时2 反比例函数的图象与性质的综合应用1.能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、难点)2.理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算.（重点）3.体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方

15、法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力. (重点、难点)学习目标新课导入知识回顾上节课我们已经学习了反比例函数的图象和性质，本节课我们将尝试熟练地运用反比例函数的图象和性质解决一些复杂的问题，同学们有信心吗？新课讲解 知识点1 反比例函数图象和性质的综合 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6).(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？解：因为点 A (2，6) 在第一象限， 所以这个函数的图象位于第一、第三象限， 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.例新课讲解(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个函数的图象上？解：设这个反比例函数

16、的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.所以反比例函数的解析式为 .新课讲解结论判断点是否在反比例函数图象上的两种方法 (1)将点的横坐标作为x的值代入解析式，计算出y的值， 看点的纵坐标是否与所求出的y值相等； (2)看点的横、纵坐标之积是否等于反比例函数 的比例系数k.新课讲解解：反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. m50，解

17、得 m5.新课讲解(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A(x1，y1) 和点 B(x2，y2). 如果 x1x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？解：因为 m5 0， 所以在这个函数图象的任一支上， y 都随 x 的增大而减小， 因此当 x1x2 时，y1y2.新课讲解比较反比例函数值大小的方法1.在同一分支上的点可以利用函数的增减性通过比较其横坐标的大小来判断函数值的大小；2.不在同一分支上的点，依据与 x 轴的相对位置(在 x 轴上方或 x 轴下方)来进行函数值大小的比较.3.另外，图象法和特殊值法也是解决此类问题的常用方法，图象法形象直观，特殊值法简单直接.新课讲解练一练C在

18、第一象限内，y 随 x 的增大而减小y=10y=5新课讲解练一练B解析：因为 k0，所以反比例函数的图象在第二、第四象限，如图所示，在图中描出符合条件的三个点，观察图象可知 y3y1y2.新课讲解 知识点2 反比例函数解析式中 k 的几何意义1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：S1的值S2的值 S1与S2的关系猜想 S1，S2 与 k的关系P (2，2) Q (4，1)新课讲解51234-15xyOPS1 S2P (2，2) Q (4，1)S1的值S2的值 S1与S2的关系猜想 S1，S2 与 k的关系 4 4S1

19、=S2S1=S2=k-5-4-31432-3-2-4-5-1Q-2新课讲解S1的值S2的值 S1与S2的关系猜想 S1，S2 与 k的关系P (-1，4) Q (-2，2)新课讲解1234yxOPQS1 S2P (-1，4) Q (-2，2)S1的值S2的值 S1与S2的关系猜想 S1，S2 与 k的关系4 4S1=S2S1=S2=k21-2-1-1-234新课讲解归纳由前面的探究过程，可以猜想：若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.新课讲解yxOPS我们就 k 0 的情况给出证明：设点 P

20、的坐标为 (a，b)AB点 P (a，b) 在函数 的图象上， ，即 ab=k. S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k；若点 P 在第二象限，则 a0，若点 P 在第四象限，则 a0，bSBSC B. SASBSCC. SA =SB=SC D. SASC0) 图像上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的垂线 CD，垂足为 D，连接 OC交 PA 于点 E. 设 POA 的面积为 S1，则 S1= ；梯形CEAD的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.2S1S3S1S2S

21、3当堂小练 3.如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点， AOC 的面积 S1、 BOD 的面积 S2、 POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1 = S2 S3解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，SOFE = S1 = S2，而 S3SOFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 BC CA，在 DEF中， DE EF FD. ABC DEF. ， ， ， . 新课讲解 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.注意：计算时最长边与

22、最长边对应，最短边与最短边对应.方法总结新课讲解典例分析 已知 ABC 和 DEF，根据下列条件判断它们是否相似.(3) AB=12， BC=15， AC24， DE16，EF20， DF30.(2) AB=4， BC =8， AC10， DE20，EF16， DF8；(1) AB =3， BC =4， AC6， DE6， EF8， DF9；是否否新课讲解 知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似合作探究利用刻度尺和量角器画 ABC和 ABC，使A=A， 量出 BC 及 BC 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？ABC 与 ABC 有何关系？ 两个

23、三角形相似改变 k 和A 的值的大小，是否有同样的结论？新课讲解如图，在ABC与ABC中，已知A= A，证明：在 ABC 的边 AB 上截取点D，使 AD = AB过点 D 作 DEBC，交 AC 于点 E. DEBC， ADEABC.求证：ABCABC.BACDEBAC新课讲解 AE = AC . 又 A = A. ADE ABC， ABC ABC.BACDEBAC AD=AB，新课讲解结论由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似符号语言： A=A，BACBAC ABC ABC .新课讲解思考对于ABC和 ABC，如果 AB : AB= AC : A

24、C. B= B，这两个三角形一定会相似吗？ 不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等. A B C A B B C新课讲解 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.方法总结新课讲解典例分析 根据下列条件，判断 ABC 和 ABC 是否相似，并说明理由：(1)AB=5，AC=3 ，A=45,AB=10,AC=6, A=45;解：(1) 又 A = A=45， ABC ABC.新课讲解典例分析1. 在 ABC 和 DEF 中，C =F=70，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1

25、cm，EF =1.5 cm. 求证：DEFABC.ACBFED证明： AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，又 C =F = 70， DEF ABC.新课讲解典例分析证明： CD 是边 AB 上的高， ADC =CDB =90.ADC CDB， ACD =B， ACB =ACD +BCD =B +BCD = 90. 如图，在 ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ACB=90ABCD 方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.课堂小结三边成比例的两个三角形相似三边成比例的两三角形相似定理步骤排序计算判断课堂小

26、结三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似相似三角形的判定定理的运用 当堂小练1. 判断(1) 两个等边三角形相似 ( )(2) 两个直角三角形相似 ( )(3) 两个等腰直角三角形相似 ( )(4) 有一个角是50的两个等腰三角形相似 ( ) 当堂小练2. 如图，D 是 ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 ABC DBA的条件是 ( ) A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD BC D. AB2 = BD BCDABCD当堂小练3.如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_.4.若ABC与ABC相似，一组对

27、应边的长为AB=3 cm，AB= 4 cm，那么ABC与ABC的相似比是_ .5.若ABC的三条边长分别为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个ABC的最小边长为12 cm，那么 ABC的最大边长是_.全等4324cm当堂小练解析：当 ADP ACB 时，AP : AB =AD : AC ， AP : 12 =6 : 8 ，解得 AP = 9；当 ADP ABC 时，AD : AB =AP : AC ， 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4. 当 AP 的长度为 4 或 9 时，ADP 和 ABC 相似3. 如图，已知 ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，A

28、B = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，ADP 和 ABC 相似.ABCD4 或 9 PP拓展与延伸4. 如图，ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，求证：ABCEFD ABCEFD.证明：ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，拓展与延伸5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 B =ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的长ABCD解：AB=6，BC=4，AC=5，CD= ， 又B=ACD， ABC DCA， ， 第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定 课时3 用两角相等判定三角形相

29、似1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计 算. (重点、难点)3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行 相关计算.（重点、难点）学习目标新课导入情景导入学校举办活动，需要三个内角分别为90，60，30的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？新课讲解 知识点1 两角分别相等的两个三角形相似合作探究问题一 度量 AB，BC，AC，AB，BC，AC 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？CABABC 与同伴合作，一人画 ABC，另一人画 ABC，使A=A=40，B=B=5

30、5，探究下列问题：这两个三角形是相似的新课讲解证明：在 ABC 的边 AB（或 AB的延长线）上，截取 AD=AB，过点 D 作 DE / BC，交 AC 于点 E，则有ADE ABC，ADE =B.B=B，ADE=B.又 AD=AB，A=A，ADE ABC，ABCABC .CAABBCDE问题二 试证明ABCABC.新课讲解结论由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似. A=A，B=B， ABC ABC.符号语言：CABABC新课讲解例典例分析 如图，在ABC 和 DEF 中，A=40，B=80，E=80 ，F=60 求证：ABC DEF. ACBFED证明：

31、 在 ABC中，A=40 ，B=80 ， C=180 AB=60 . 在DEF中，E=80 ，F=60 . B=E，C=F. ABC DEF.新课讲解练一练如图，弦 AB 和 CD 相交于 O 内一点 P，求证：PA PB=PC PD.证明:连接AC，DB.A 和 D 都是弧 CB 所对的圆周角， A= _，同理 C= _， PAC PDB，_ 即PA PB = PC PD.DBODCBAP新课讲解典例分析如图，在 ABC 和 ABC 中，若A=50，B=75，A = 50，当C= 时，ABC ABC.CABBCA55新课讲解 知识点2 判定两个直角三角形相似 解： EDAB，EDA=90 .

32、 又C=90 ，A=A， AED ABC.例3 如图，在 RtABC 中，C = 90，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，EDAB，垂足为D. 求AD的长.DABCE 新课讲解结论由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？思考新课讲解如图，在 RtABC 和 RtABC 中，C=90，C=90， .求证：RtABC RtABC.CAABBC要证明两个三角形相似，即是需要证明什么呢？目标：新课讲解证明：设_= k ，则

33、AB=kAB，AC=kAC.由 ，得 . Rt ABC Rt ABC.勾股定理 CAABBC新课讲解结论由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.新课讲解典例分析如图，已知：ACB =ADC = 90，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，ACB 与ADC相似CABD【分析】观察得到AB和AC分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论新课讲解典例分析解析：ADC = 90，AD = 2，CD = ，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1) 当 RtABC RtACD 时，有 AC : AD AB : AC， 即 : 2

34、=AB : ，解得 AB=3；CABD2新课讲解典例分析(2) 当 RtACB RtCDA 时，有 AC : CD AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似CABD2新课讲解练一练在 RtABC 和 RtABC 中，C=C=90，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1) A=35，B=55： ；(2) AC=3，BC=4，AC=6，BC=8： ；(3) AB=10，AC=8，AB=25，BC=15： .相似相似相似课堂小结 两角分别相等的两个三角形相似利用两角判定三角形相似直角三角形相似的判定CABABC当堂小练1. 如

35、图，已知 ABDE，AFC E，则图中相似三角形共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对C当堂小练2. 如图，ABC中，AE 交 BC 于点 D，C=E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ( )A.B.C.D.ACABDE当堂小练ABDC3. 如图，点 D 在 AB上，当 (或 = )时， ACDABC；ACD ACB B ADC当堂小练4. 如图，在 RtABC 中， ABC = 90，BDAC于D. 若 AB=6，AD=2，则 BD= ，AC= ，BC= .18DBCA拓展与延伸证明： ABC 的高AD、BE交于点F， FEA=FDB=90，

36、AFE =BFD (对顶角相等). FEA FDB，5. 如图，ABC 的高 AD，BE 交于点 F 求证： DCABEF拓展与延伸证明：BAC= 1+ DAC，DAE= 3+ DAC，1=3， BAC=DAE. C=1802DOC ，E=1803AOE，DOC =AOE（对顶角相等）， C= E. ABCADE.6. 如图，1=2=3，求证：ABC ADEABCDE132O第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质 1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. (重点、难点)2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. (

37、重点)学习目标新课导入情景导入三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?高中线角平分线周长面积如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？新课讲解 知识点1 相似三角形对应线段的比合作探究 如图，ABC ABC，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ABCABC新课讲解ABC ABC，BB ，解：如图，分别作出 ABC 和 A B C 的高 AD 和 A D 则ADB =A D B=90. ABD A B D .ABCABCDD 如图，ABC ABC，相似比为 k，求它们对应高的比.新课讲解试一试 仿照求高的比的过程，当ABC ABC，相似比为 k 时，求它们

38、对应中线的比、对应角平分线的比.新课讲解结论 由此我们可以得到： 相似三角形对应高的比等于相似比.类似地，可以证明：相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.新课讲解例典例分析解： ABC DEF， DEFH已知 ABCDEF，BG、EH 分别是 ABC和 DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4 cm，BG= 4.8 cm. 求 EH 的长. (相似三角形对应角平分线的比等于相似比)， ，解得 EH = 3.2.AGBC EH 的长为 3.2 cm.新课讲解练一练1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角

39、平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 _ . 2. 已知ABC ABC ，相似比为3 : 4，若 BC 边上的高 AD12 cm，则 BC 边上的高 AD _ .2 : 32 : 316 cm新课讲解想一想： 相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？ 新课讲解如果 ABC ABC，相似比为 k，那么因此ABk AB，BCkBC，CAkCA，从而结论相似三角形周长的比等于相似比.新课讲解 知识点2 相似三角形面积的比合作探究 如图，ABC ABC，相似比为 k，它们的面积比是多少？ABCABC新课讲解由前面的结论，我们有ABCABCDD新课讲解结论 相似三角形面积的比等于相似比的平方新课讲解典

40、例分析1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：相似比2 k周长比面积比1000024100100kk2新课讲解练一练2. 把一个三角形变成和它相似的三角形， (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为 原来的_倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的_倍.2510新课讲解练一练3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm， (1) 它们的周长差为 60 cm，这两个三角形的周长分别_； (2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面积分别是_.100 cm、40 cm50 cm2、8 cm2新课讲解练一练如图，D，E 分别是

41、AC，AB 上的点，已知ABC 的面积为100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积. ADE ABC. 它们的相似比为 3 : 5， 面积比为 9 : 25.BCADE解： BAC = DAE，且 又 ABC 的面积为 100 cm2， ADE 的面积为 36 cm2 . 四边形 BCDE 的面积为10036 = 64 (cm2).课堂小结相似三角形性质的运用相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形的性质相似三角形对应线段的比等于相似比当堂小练1. 判断： (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( ) (2) 一个四边形的各边长扩大

42、为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( )当堂小练3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于_，面积 比等于_.1 : 21 : 42. 在 ABC 和 DEF 中，AB2 DE，AC2 DF，AD，AP，DQ 是中线，若 AP2，则 DQ的值为 ( ) A2 B4 C1 D.C当堂小练4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则较小三角形的周长_cm，面积为_cm2.14当堂小练5. ABC 中，DEBC，EFAB，已知 ADE 和 EFC 的面积分别为

43、 4 和 9，求 ABC 的面积.ABCDFE解： DEBC，EFAB， ADE ABC，ADE =EFC，A =CEF，ADE EFC.又SADE : SEFC = 4 : 9， AE : EC=2:3，则 AE : AC =2 : 5， SADE : SABC = 4 : 25， SABC = 25.拓展与延伸6. 如图，ABC 中，DEBC，DE 分别交 AB、AC 于 点 D、E，SADE2 SDCE，求 SADE SABC.ABCDE【解析】从题干分析可以得到ADEABC，要证明它们面积的比，直接的就是先求出相似比，观察得到ADE与DCE是同高，得到AE与CE的比，进而求解.拓展与延

44、伸即 SADE : SABC 4 : 9.解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则 又 DEBC， ADE ABC.ABCDEF 第二十七章 相似27.2 相似三角形 27.2.3 相似三角形应用举例1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. (重点)2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. (难点)学习目标新课导入情景导入怎样测量这些非常高大的物体的高度？新课讲解 知识点1 利用相似三角形测量高度据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构

45、成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.新课讲解例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.解：太阳光是平行的光线，因此 BAO =EDF.又 AOB =DFE = 90，ABO DEF. ， =134 (m).因此金字塔的高度为134 m.新课讲解结论测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长新课讲解练一练1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度，可在地面上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上

46、的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是 ( ) A B C D C新课讲解练一练2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是_米 8新课讲解想一想：AFEBO还可以有其他测量方法吗？OBEF=OAAFABOAEFOB =OA EFAF平面镜新课讲解结论测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 新课讲解练一练如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，

47、点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( )BA. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米 新课讲解 知识点2 利用相似三角形测量宽度例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR

48、= 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.PRQSbTa新课讲解PQ90 = (PQ+45)60.解得 PQ = 90.因此，河宽大约为 90 m.解：PQR =PST =90，P=P，PQRPST.PRQSbTa ，即 ，还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？45m90m60m新课讲解例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 ABBC，然后，再选点 E，使 EC BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D此时如果测得 BD80 m，DC30 m，EC24 m，求两岸间的大致距离 ABEADCB30 m24 m80 m新课

49、讲解解： ADBEDC， ABCECD90， ABDECD. ，即 ，解得 AB = 64. 因此，两岸间的大致距离为 64 m.EADCB60m50m120m新课讲解结论测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 新课讲解 知识点3 利用相似解决有遮挡物问题例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了? 新课讲解分析：如图，设观察者眼睛的位置

50、 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域和都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了.新课讲解 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C . 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上 ABl，CDl，ABCD. AEHCEK. ，即解得 EH=8.课堂小结利用相似解决有遮

51、挡物问题利用相似三角形测量宽度相似三角形的应用举例利用相似三角形测量高度当堂小练1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为 ( ) A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米 2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 mAA当堂小练3. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB10 cm，

52、BC20 cm，PCAC，且 PC24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 为 .12 cm当堂小练4. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CDAB. 若测得 CD5 m，AD15 m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m.ABEDC20当堂小练5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点

53、 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度.ABCDGEF当堂小练ABCDGEF解：由题意可得：DEFDCA，DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，则 解得：AC = 10，故 AB = AC + BC= 10 + 1.5 = 11.5 (米).答：旗杆的高度为 11.5 米. 拓展与延伸6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上小明测得旗杆AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m同一时刻，小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2

54、 m请帮助小明求出旗杆的高度ABCD拓展与延伸E解：如图：过点 D 作 DEBC，交 AB 于点 E， DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m， 在同一时刻物高与影长成正比例， EA : ED=1 : 1.2， AE = 8 m， AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)， 学校旗杆的高度为 10 m. ABCD 第二十七章 相似27.3 位似 课时1 位似图形及性质1. 掌握位似图形的概念、性质和画法. (重点)2. 掌握位似与相似的联系与区别. (难点)学习目标新课导入情景导入 如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什

55、么关系？连接图片上对应的点，你有什么发现？新课讲解 知识点1 位似图形的概念 下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？ 新课讲解归纳两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的;二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点 新课讲解练一练1. 画出下列图形的位似中心： 新课讲解练一练1. 画出下列图形的位似中心： 新课讲解练一练2. 如图，BCED，下列说法不正确的是 ( ) A. 两个三角形是位似图形 B. 点 A 是两个三角形

56、的位似中心 C. B 与 D、C 与 E是对应位似点 D. AE : AD是相似比 DDEABC新课讲解 知识点2 位似图形的性质从左图中我们可以看到，OABOAB，则 ，ABAB. 右图呢？你得到了什么？ABECDOABCDEABCOABC新课讲解归纳1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等 2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比（位似图形的相似比也叫做位似比）3. 对应线段平行或者在一条直线上新课讲解练一练如图，四边形木框 ABCD 在灯泡O发出的光照射下形成的影子是四边形 ABCD，若 OB : OB1 : 2，则四

57、边形 ABCD 的面积与四边形ABCD的面积比为 ( ) A41 B 1 C1 D14 DO新课讲解 知识点3 画位似图形把四边形 ABCD 缩小到原来的 .(1) 在四边形外任选一点 O (如图)；(2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A 、B 、C 、D ，使得 ；(3) 顺次连接点 A 、B 、C 、D ，所得四边形 A B C D 就是所要求的图形ODABCABCD新课讲解思 考对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取 A 、B 、C、D，使得 呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时

58、得到的图形新课讲解ODABCABCDODABCABCD新课讲解练一练 如图，ABC. 根据要求作ABC，使A B CABC，且相似比为 1 : 5.(1) 位似中心O在ABC的一条边AB上；ACBOABC假设位似中心点 O 为 AB中点，点 O 位置如图所示.根据相似比可确定 A， B，C 的位置.新课讲解(2) 以点 C 为位似中心.CABAB( C ) 新课讲解归纳画位似图形的一般步骤： 确定位似中心； 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.课堂小结画位似图形位似图形的性质位似的概念及画法位似图

59、形的概念当堂小练ABCD1. 下列图形中，不是位似图形的是 ( )B当堂小练2. 如图，正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 是位似图形，若AB : FG = 2 : 3，则下列结论正确的是 ( ) A. 2 DE = 3 MN B. 3 DE = 2 MN C. 3A = 2F D. 2A = 3F BABECDNFGHM当堂小练3. 下列说法： 位似图形一定是相似图形；相似图形一定是位似图形；两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；若五边形ABCDE与五边形ABCDE位似，则其中 ABC 与 ABC 也是位似的，且位似比相等. 其中正确的有 . 当堂小练4. 如图，ABC与D

60、EF是位似图形，位似比为 2 : 3，已知 AB4，则 DE 的长为_ 6当堂小练5. 如图，以 O 为位似中心，将 ABC 放大为原来的2 倍OABC解：作射线OA 、OB 、 OC；分别在OA、OB 、OC 上取点A 、B 、C 使得顺次连接 A 、B 、C 就是所要求图形.A B C 拓展与延伸6. 如图，F 在 BD 上，BC、AD 相交于点 E，且ABCDEF， (1) 图中有哪几对位似三角形? 选其中一对加以证明；答案：DFE 与 DBA，BFE 与 BDC，AEB 与 DEC 都是位似图形；证明略.拓展与延伸(2) 若 AB=2，CD=3，求 EF 的长. 解： BFE BDC，