例析抽象函数问题的求解策略

1、.PAGE ：.；PAGE 4例析笼统函数问题的求解战略上海市吴淞中学 贺明荣 202140近年来，经常在高考、高考模拟以及竞赛中出现与笼统函数有关的试题。普通地，笼统函数是指：没有给出详细的函数解析式，只是给出函数所具有的某些性质的函数。这类试题往往概念笼统、隐蔽性强、灵敏性大、综合程度高，因此，学生经常感到难以掌握，教师也常为如何适时处置它等问题而苦恼。现本文主要引见求解笼统函数问题的常见方法，供参考。1、合理递推例1：函数f具有以下性质：f(x)+ f(x-1) =x2假设f(19)=94，那么f(94)除以1000的余数是多少？ 解： 由f(x)+ f(x-1) =x2得f(x) =x

2、2 - f(x-1) 又f(19)=94 ， f(20)=202 f(19) ， f(21)=212 f(20)= 212 - 202 + f(19)， 依次类推，可得f(94)=942932+922912+222212+202f(19)= 94+93+92+91+ +22+21+202-f(19)= eq f(94+21,2)74+40094=4561，所以，余数为561评注： 当f(x)是定义在自然数集N上的函数时，可根据题中所给函数方程，经过取特殊值得到关于f(n)的递推关系，然后根据递推关系进一步求解 2、适当赋值例2、设函数y=f(x)xR 且x 0，对恣意实数x1 、x2 满足f(

3、x1)+ f(x2)= f(x1x2) (1) 求证：f(1)=f(-1)=0；(2) 求证：y=f(x)为偶函数；(3) 知y=f(x)在0，+上为增函数，解不等式f(x)+f( x -eq f(1,2) )0证明：(1) 令x1 =x2 =1 ， 得f(1)+f(1)=f(11) f(1)=0 ； 令x1 =x2 = -1 ，得f(-1)+f(-1)=f(-1)(-1) = f(1)=0 ， f(-1)=0 (2) 令x1 =x2 = x ，得2f(x)=f(x2)； 令x1 =x2 = -x ， 得2f(-x)=f(x2)； f(-x)=f(x) ， 即y=f(x)为偶函数(3) f(x

4、)+f( x -eq f(1,2) )0 , 即fx (x -eq f(1,2)f(1) , 或 fx (x -eq f(1,2)f(-1) , 由(2)和y=f(x)在0，+上为增函数 , 可得0 x(x -eq f(1,2)1 或 -1x(x -eq f(1,2)0 解得 eq f (1- eq r(17) ,4 ) x eq f (1+ eq r(17) ,4 ) 且 x0 , eq f(1,2) 评注： 对于笼统函数，根据函数的概念和性质，经过察看与分析，将普通量赋予特殊值，以简化函数，从而到达转化为要处理的问题的目的 3、巧妙换元例3、 设f(x)的定义域为xx0,且x1，满足f(x

5、)+f(eq f(x-1,x)=1+x ， (1) 求f(x) 解： 令x =eq f(y-1,y) (y0，y1)，并将y 换成x， 得f(eq f(x-1,x)+f(eq f(1,1-x)=1+eq f(x-1,x) ， (2) 再令(1)中x =eq f(1,1-y) (y0，y1)，将y换成x，得 f(eq f(1,1-x)+f(x)=1+eq f(1,1-x) ， (3) 由(1)+(3)-(2) ， 得2f(x)=(1+x)+(1+eq f(1,1-x)-(1+eq f(x-1,x)， 即f(x)=eq f(1+x2-x3,2x(1-x)， 易验证 f(x)= eq f(1+x2-

6、x3,2x(1-x) 满足方程1 评注： 根据标题构造特点及欲证的结论，将题中的某些量交换成所需求的量留意：应使函数的定义域不发生改动，有时还需求作几次相应的交换，得到一个或几个方程，然后设法从中求其解4、利用函数性质例4、知定义在R上的函数f(x)满足 1对于恣意x ，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y) ； 2当x0时，f(x)0，且f(1)= - 2 ，求f(x)在-3 ， 3上的最大值和最小值解：任取-3x1x23 ，由条件1得f(x2)=f(x2-x1)+x1= f(x2-x1)+f(x1)， f(x2)- f(x1) = f(x2-x1) ， x2 - x1 0 ，由条件2得

7、f(x2-x1) 0 ， f(x2) f(x1) ， f(x)在-3 ， 3上 单调递减在1中令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0) ， f(0)=0再令x=-y ， 得f(x-x)=f(x)+f(-x) ， f(-x)= -f(x) ， 从而f(x)为奇函数，因此，f(x)在-3 ， 3上的最大值为 f(-3)=-f(3)=-f(1+2)=-f(1)-f(2)= -f(1) -f(1) -f(1)= -3f(1)=6最小值为 f(3)= -f(-3)= -6 评注： 根据标题所给的条件，往往需求探求函数能否还具有哪些特殊的性质，比如，函数的单调性、奇偶性、周期性等等，此题是运用函数

8、的性质得到解答的一个典型，它将奇偶性和单调性有机地结合起来，而函数的单调性是处理最值问题和有关不等式问题的常用性质。 5、类比探求例5、 知定义在R上的函数f(x)对于恣意x ， y R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 1 ，假设存在常数c0，使得f( eq f(c,2) )=0，求证：f(x)是周期函数证明： 由1得， f(x+c)+f(x)=2f(x+eq f(c,2)f(eq f(c,2)=2f(x+eq f(c,2)0=0 ， f(x+c)+f(x)=0 ， f(x+c)= - f(x) ， f(x+2c)=f(x+c)+c= - f(x+c)= f(x) ， 又由于

9、c0，所以f(x)是周期函数，2c是它的一个周期评注： 经过对标题所给条件与结论的比较并联想已学过的知识，开辟思绪，即可找到解题的关键对于此题，我们假设联想公式cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy ， 再类比余弦函数y=cosx的性质：coseq f(,2) = 0，又其周期为2 = eq f(,2)4 ，故，从中得到启示，并进一步探求f(x)的周期能否为 eq f(c,2)4 =2c 6、正难那么反例6、 知函数f(x)在区间-，+上是增函数，a 、bR ， 1证明：假设a+b0，那么f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)； 2判别1中命题的逆命题能否正确，并证明他的结论

10、证明：1由a+b0，得 a-b， 函数f(x)在区间-，+上是增函数， f(a)f(-b)； 同理，f(b) f(-a) ， f(a)+f(b)f(-b)+f(-a)，即f(a)+f(b)f(-a)+f(-b) 2首先， 1中命题的逆命题是： 假设f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，那么a+b0 此逆命题为真命题现证明如下： 用反证法 假设a+b0不成立， 即有a+b0，那么 a-b， b-a， 根据单调性， 得 f(a)f(-b)， f(b)f(-a)， 从而f(a)+f(b)f(-b)+f(-a)，即f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，这与知f(a)+f(b)f(-a)+f(-

11、b) 相矛盾故a+b0不成立，即a+b0成立 ，因此1中命题的逆命题是真命题评注： 当关于某些笼统函数的命题不易从正面直接证明时，可采用反证法，它往往需结合其它一些求解战略 以上经过实例引见了求解笼统函数问题的几种常用战略，只需深化了解概念，掌握好普通规律，灵敏运用技巧往往还需结合几种解题战略，才干快速、准确地寻觅到解题的突破口， 以下几题供参考对每一实数对x、y ，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1，假设f(-2)=-2试求满足f(a)=a的一切整数( 答：递推，a=1或a=-2)函数的定义域关于原点对称，且满足以下两个条件：()假设x1，x2 是f(x)定义域中的数

12、，那么f(x1-x2) = eq f (f(x1)f(x2)+1, f(x2)-f(x1) ) ;；()f(a)=1常数a0试证明：(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是周期函数知函数f(x) 满足 af(x)+f( eq f(1,x) )=cx ，其中a 、b 、c是不为零的常数，且ab ，求f(x) ( 答： f(x)= eq f (c(ax2-b), (a2 -b2)x) ) 函数f(x)的定义域为R，且f(x+1) 1-f(x)=1+f(x)，又知f(1)=2 + eq r(2) ，试求f(2002) 的值 ( 答： f(2002) = 1-2 eq r(2) )能否存在这样的函数f

13、(x)，使以下三个条件：f(n)0 ，nN；f(n1+n2)= f(n1)f(n2)，n1 、n2 N ； f(2)=4 同时成立？假设存在，求出f(x)的解析式；假设不存在，阐明理由 答： 存在且f(x)=2x ， xN 设f(x)是定义在R上的函数，其图像关于x=1对称，对恣意x1，x2 ，都有f(x1+x2)= f(x1)f(x2) ，f(1)=a () 求f( eq f(1,2) ) 和f( eq f(1,4) )； () 证明： f(x)是周期函数 ； () 记an=f( 2n + eq f(1,2n) ) ，求 eq o(lim,sdo7(n)(lnan) 答：() 求f( eq f(1,2) ) = eq r(a) ， f(