导数与微分习题及答案

1、 第二章导数与微分(A)1.设函数y二f(x),当自变量x由x改变到x+Ax时，相应函数的改变量00A.f(x+Ax)B.0TOC o 1-5 h zAy二()f(jc)+AxC.f(jc+Ax)-f(jc)D.f(jc、Ax00002.设f(x)在x处可，则f(x-Ax)-f(x)(、limo=()AxtOAxA.-f,(x)B.广(-x)C.f,(x)D.2f,(x)OOOO3.函数f(x)在点x连续，是f(x)在点x可导的()OO必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件)D.x2f(x2)4.设函数y二fC)是可导的，且u=x2，则dy二(dxA.f(x2

2、)B.xf(x2)C.2xf(x2)5.若函数f(x)在点a连续，则f(x)在点a(A.左导数存在；B.右导数存在；C.左右导数都存在D.有定义f。)=x-2|在点x=2处的导数是()1B.0C.-1D.不存在曲线y=2x3-5x2+4x-5在点6,-1)处切线斜率等于()A.8B.12C.-6D.6D.ef(x)8.设y=efG)且fCx)二阶可导，则y=()A.ef(x)B.efOf(x)C.efdfOfCx)9.若f(x)=eax,x0A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=-2，b=1D.a=2，b=-1b的值应为()10.若函数f(x)在点x处有导数，而函数g(x)在点x处没有导

3、数，则00F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)-g(x)在x处()A.定都没有导数0B.定都有导数C.恰有一个有导数11.函数f(x)与g(x)在xD.至少一个有导数处都没有导数，则F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)-g(x)在x处()0A.定都没有导数B.定都有导数C.至少一个有导数12.已矢口FC)二flgC),在x二xD.至多一个有导数处可导,则()Af(x),g(x)都必须可导B.fC)必须可导Cg(x)必须可导Df(x)和g(x)都不一定可导131y=arctg，贝Vy二()xx2x2D.1+x21+x2f(a+h)f(a)14设f(x)在点x=a处为二阶可

4、导，则limh=()hTOhA.广2匕B.广QC.2广心)D.-fQ15.设fO在(a,b)内连续，且xe(a,b)，则在点x处()00A.f(x)的极限存在，且可导B.f(x)的极限存在，但不一定可导A.-丄1+x2B.1+x2CC.f(x)的极限不存在D.f(x)的极限不一定存在设fO在点x=a处可导，则lim_=nTOh函数y=|x+1|导数不存在的点。182x+匚，则ft12J4丿设函数f(x)=sin19.设函数y二yO由方程xyex+ey二0所确定，则y(0)=20曲线y二Inx在点P（e,l）处的切线方程21若7:寫：;），则dxy:ln1+1dxTOC o 1-5 h z22.

5、若函数y:ex(cosx+sinx),则dy:。23.若f(x)可导，y:fff(xM,则y，:。曲线(5y+2：(2x+1在点0,-1处的切线方程是I5丿讨论下列函数在x:0处的连续性与可导性：1o.xsm,x丰0(1)y:sinx|；(2)y:x0,x:026.已知f(x):sinx,xI(x)。27.设y:lne，求y及y.e4x+128.设y:fC)fG)且fO存在，求dydx29.已矢口y:lnt1+x3+130.已知y:x+xx，求y。x:231.设:y:7x+x7+77，dy|33.设y:f(x2)若f,(x)存在，求(B)1.设函数f(x)在点0可导，且f(0)=0，则lim虫

6、二()XT0 xA.广(x)B.广G)C.不存在D.s2若池00Ax则limfW3)AfW+3AX)=(AxtOA.-3B.6C.-9D.-12若函数f(x)在点a可导，则limf(a)_f(a+2hL()TOC o 1-5 h zht03h-广QB.-3广(a)C.-广QD.-广Q3232设f(x)=|X2-2X十2，X1则fC)在x二1处()A.不连续1,x1连续，但不可导C.连续，且有一阶导数D.有任意阶导数v1+x-15.函数f(x)=37.设函数fG)有连续的二阶导数，且f(0)=0，广G)=1，f(0)=-2，则极限limf(x)-x等于()TOC o 1-5 h zxt0 x2A

7、.1B.0C.2D.-18.设fG)在x=0的某领域内有定义，f(0)=0，且当xt0时，fG)与x为等价无穷小量，则() 0, A.广G)=0B.广G)=1C.fG)不存在D.不能断定fG)的存在性9设f(x)为奇函数，且广G)=2，则广(-x)=()00A.-2B.-C.2D.-2210.设函数fO=x(x1)(2)(3)(4),则f,(0)=()A.0B.24C.36D.4811.已知xT0时，f(x)fG)是x的等价无穷小量，则limf(0)-f(0-2h)hT0h()A.-2B.-1C.2D.不存在12.若fO在x可导，则|f(x)在x处()010必可导B.连续但不一定可导C.一定不

8、可导D.不连续13.若f(u)可导，且y二sinf(e-x)，则dy=14设y(x)是由方程yssiny二x(01，e常数)所定义的函数，则ffy=15.若f(x)在x=a处可导，则limf(+n)f(一m)=hT016.若申为二阶可微函数,h则y=InL(2)l的y(x)=17.已知f(x)=0,x丰0则f(0)=x=018.已知rx=啊t-1cos，则竺Iy=aVcost+1sintdydy219.若y=-，则yG)x2120.若f(x)=1x2arctgxx丰0，则广(0)=x=0limf(X)xtO+X212223ex21，X丰0，求广(x)。1,x=0设fdCa2)g(x),其中g(

9、x)在x=a处连续，求广(a)。如果f(x)为偶函数，且f(0)存在，证明广G)=0。已知f(x)=24.设f(x)对任意的实数x、x有f(x+x)=f(x)f(x)，且广G)=1，试121212证f心)=f(x)。25.已矢口y=xarctgxln.1+x2，求y。26.已知y=11儿x2时才可微因为sin1在x=0处无定义，所以不可微x4.设f0=C-a)p(x)，而申C)在x=a处连续但不可导，则fO在x=a处()A.连续但不可导B.可能可导，也可能不可导仅有一阶导数D.可能有二阶导数5若fC)为可微分函数，当AxT0时，则在点x处的Ay-dy是关于Ax的()A.高阶无穷小B.等价无穷小

10、C.低价无穷小D.不可比较函数y=f(x)在某点处有增量Ax=0.2,对应的函数增量的主部等于0.8,则f，(x)=()A.4B.0.16C.4D.1.6lima(gX+-；0Sx)=2，其中a2+c2丰0，则必有()xt0cln(1-2x)+d(1-e丿-x2A.b=4dB.b=-4dC.a=4cD.a=-4clnG+x)-(x+bx2)“设lim=2，贝)xT0 xx-1则f(x)在点x=1处的(-0-aB.-aD525-2b10=aA29.设f(x)=hx3x2,A.左、右导数都存在B.左导数存在，但右导数不存在C.左导数不存在，但右导数存在D.左、右导数都不存在10.设f(x)在(-8

11、,+8)内可导，且对任意x，x，当xx时，都有1212f(x)f(x)，则()A.对任意x,fr（x）0B.对任意x,广（-x）0C.函数f（-x）单调增加D.函数-f（-x）单调增加11.设f6）可导，F（x）=f（xK+|sinx|），若使FO在x=0处可导，则必有)A.f(0)=0B.广G)=0C.f(0)+广G)=0D.f(0)-f(0)=012.设当xt0时，ex-(x2+bx+1)是比x2高阶的无穷小，贝胚)A.C.a=1，b=1D.a=-1，b=113.设函数f（x）在区间（-6,6）内有定义，若当xe（-6,）时，恒有|f（x）x2,则x=0是f（x）的（）A.间断点B.连续而

12、不可导点C.可导的点，且广G）=0D.可导的点，且广GL0TOC o 1-5 h z14.设xt0时，etgxex与xn是同阶无穷小，则n为（）A.1B.2C.3D.4函数f（x）=（x2-x-2x3-x|不可导点的个数是（）A.3B.2C.1D.0已知函数y=yC）在任意点x处的增量Ay=歹心+a且当Axt0时，a1+x2是Ax的高阶无穷小，y（0）=兀，则y（1）=（）C.e417.其中gO是有界函数，则f6）在x=0处（x=-2e-1，则limfxt0+dx(Jecosx=。22.设fdCi1Q(x)，其中g(x)在点x=1处连续，且g(1)=6，则23.设f(x)=0,xH1则当a的值

13、为.时，f(x)在x=1处连续，当a的值为时，f(x)在x=1可导。24.已矢口y=x2ex29.曲线在t=2处的切线方程为贝廿y(4)(0)=，y(5)(0)=25.若f(x)=x2cos2x，则f(10)(0)=sin2x+e2ax26.f(x)=x5=1x=1+12丰，在(8,+x)上连续，则a=a,x=027.28limG+3x=sinxx0设y=cosx2人in2，则yr=x303132333435363738394041424344(x丰2ax设lim=8，贝卩xXa丿x=0(、2XQ设y=x+e-2，贝Vy=TOC o 1-5 h zkx=0设y=In1X，贝卩y=1+X2x=0

14、1+x+v1x2limxt0 x2limxtgx丿Ix=etsm2t曲线屮=在点(0,1)处的法线方程为Iy=etcost设函数y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定，则dydxx=0limxxT8-1)sinln1+sinln1+设y=lnf(x)且f(x)存在，求巧。dx2y=y(x)是由方程组F=3t2+2t+3所确定的隐函数，求d2y。Ieysinty+1=0dx2VT=0设Ix=fiL再)，其中f(t)具有二阶导数，且广亿0，求豐。设y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求如。dx2设f(x)=1，且g(x)=5，计算f(x)和g心)。1+X1

15、+f(x)设g(x)=f(x)k)，求g心)。若y3x2y=2，求如。dx21145.验证函数y=ex+e-x满足关系式xy+y-y=0。2446.设曲线C的参数方程是x=et-e-t，求曲线C上对应于t=ln2的点的切线方程。47.设f6)=广ax+b,微，应当如何选取系数a和b?f(x)若xax+b,V48.设F(x)=x00卄0，其中函数fC)在x=x为左方可微分的,若xx00和b，使函数F6)在点x处连续且可微分。0、几sinxJ设y=+lntg2cos2x2()x=cost2()21，求-y，y=tcosY2-Jtcosudu-xi2ju，求dy。d2ydx2514x2+x1+x+1

16、求极限hmxT-3vx2+sinx52.设f6)满足af(x)+bff-KC，其中a、b、c都是常数，且|a丰|b|Vx丿x(1)证明f(x)=-f(-x)求fC),广心)12x2,xv153.设函数f(x)=2写出f6)的反函数g6)的表达式；gO是否有间点、不可导点，若有指出这些点。第二章导数与微分(A)1.设函数y二f(x),当自变量x由x改变到x+Ax时，相应函数的改变量Ay二(C)A.f(xO+Ax)BOOf(x)+Ax0f(xlimoAxtOC.f(x+Ax)-f(x)D.f(x、AxOOO2设f(x)在x处可，则-Ax)-f(x):=(A)AxA.-f(x)B.广(-x)C.f,

17、(x)D.2f,(x)OOOO函数fC)在点x连续，是f(x)在点x可导的(A)OOA.必要不充分条件B.充分不必要条件充分必要条件D.既不充分也不必要条件设函数y二f(u)是可导的，且u=x2，则dy二(C)dxA.f(x2)B.xf(x2)C.2xf(x2)D.x2f(x2)若函数f(x)在点a连续，则f(x)在点a(D)A.左导数存在；B.右导数存在；C.左右导数都存在D.有定义fO=x-2|在点x=2处的导数是(D)1B.0C.-1D.不存在曲线y=2x3-5x2+4x-5在点(2,-1)处切线斜率等于(A)A.8B.12C.-6D.6D.ef(x)8.设y=efG)且f(x)二阶可导

18、，则y=(D)A.ef(x)B.efG)f(x)C.efG)f(x)f(x)9.若f(x)=Jeaxx0A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=-2，b=1D.a=2，b=-110.若函数f(x)在点x处有导数，而函数gO在点x处没有导数，则00F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)-g(x)在x处(A)0A.定都没有导数定都有导数C.恰有一个有导数11.函数f(x)与g(x)在D.至少一个有导数处都没有导数，则F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)-g(x)在x处(D0A.定都没有导数B.定都有导数C.至少一个有导数12.已矢口FC)二flgC)，在x二xD.至多一个

19、有导数处可导，则(A)Af(x),g(x)都必须可导B.fC)必须可导Cg(x)必须可导Df(x)和g(x)都不一定可导131y=arctg，则y二(Axx2x2D.1+x21+x2f(a+h)f(a)14设fC)在点x=a处为二阶可导，则limh=(A)hTOhA.-B.广QC.2广心)D.fQ15.设fO在(a,b)内连续，且xe(a,b)，则在点x处(B)00A.fC)的极限存在，且可导B.fC)的极限存在，但不一定可导A.-丄1+x2B.1+x2CC.fC)的极限不存在D.fC)的极限不一定存在设fO在点x=a处可导，则lim_fa_=fO。h函数y=|x+1|导数不存在的点x=1。1

20、8.f2x+J，则f=2I2Jf4J设函数f(x)=sin19.设函数y=y(x)由方程xyex+ey=0所确定，则y(0)=120.曲线y=lnx在点P(e,1)处的切线方程ye=1(x1)。e21若fg;=囂;)，则dxt=022若函数y=ex(cosx+sinx),则dy=2excosx。23若fO可导,y=fffOIL则y=f，ffOh广fOfO。24曲线(5y+2=(2x+1在点I0,-11处的切线方程是y+1=2(x-0)。25讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性:(1)y=sinx|解：Tim|sinx|=0=sin0 xt0sinx|在x=0处连续又f(0)limf6)-fO

21、=lim-x0-x一0 x0-sinx=lim=-1xxt0-xsinxf(0)limf6)-fG)=lim+xt0+x-0 xT0+fGLfG),故y=|sinx|在x=0处不可导。sinxsinx=lim=1xxt0+x1nxsin,x主0 x0,x=0解：Timxsin1=0=fG)，:函数在x=0处连续xt0 x1又lim虫f)=讪=limsin1不存在。xt0 x-0 xt0 xxt0 x故f(x)在x=0处不可导。26.已知f(x)=；血x，求广(x)。解：x=0时，fCx)=127解28解29解30解31解32解广(x)二设y=ln，求y及y。e4x+1x=oy=IneAx一ln

22、(Ax+J=_LLx一ln(Ax+1)221(.=421设y=fCbG)且fO存在，求dy。dxy=fC)efCx)+f(xIfCx)=f(ex)=efCx)f(x)x+f(x)+f(x)AeAxeAx+1丿2eAx+1已知y=ln、H-1，求y。y=ln(1+x3一1x3+exef(x)+f(ex)ef(x)f(x)()=2ln1+x3一1-3lnIxI3x23一3-1+x3x已知y=x+xx，y=(x+exlnx)=1+exlnx(xlnx)=1+xx(lnx+1)TOC o 1-5 h z设y=7x+x7+x：7，dy|x=2 HYPERLINK l bookmark24 o Curre

23、nt Document f11x7+7x+77V丿x+2Gx)4设y=G+x两边取自然对数可得：Iny二丄InIx+21+41n(3一x)5ln(1+x)x两边对x求导得：_1、_2(x+2)-5rx+2(3x)4y_(1+X)512(x+2)4+x333.设y_f(x2)若广(x)存在，求odx2解：dy_人2)2x,d2y_f(22x2+2广(2)。dxdx2(B)1.设函数f(x)在点0可导，且f(0)=0，则limf(x)=(B)xt0 xA.广(x)B.广(0)C.不存在D.s2.若广(x。3,则limfW+Ax)AfW+3Ax)=(B)AxtO0AxA.-3B.6C.-9D.-12

24、3若函数f(x)在点a可导，则limf)-f+2h)=(A)ht03hA.-fQB.3fQC.-广(a)D.-广(a)32324.设f(x)=11,x1则f(x)在x_1处(A)A.不连续B.连续，但不可导C.连续，且有一阶导数D.有任意阶导数,.1+x15.函数f(x)=x丰0在x_0处(B)x_0A.不连续B.连续不可导连续且仅有一阶导数连续且有二阶导数6要使函数fC)=3设函数f(x)有连续的二阶导数，且fG)=0,广G)=1,f(0)=-2，则极限limf)_X等于(D)XTOX2A1B0C2D-1设f(x)在x=0的某领域内有定义，fG)=0，且当xT0时，f(x)与x为等价无穷小量

25、，则(B)A.广G)=0B.广G)=1c.广G)不存在d.不能断定广G)的存在性9设f(x)为奇函数，且)=2，则广(x)=(C)00A.-2B.-C.2D.-丄2210.设函数fO=x(x1)(x2)(x3)(x4)，则f,(0)=(B)A.0B.24C.36D.4811.已知xT0时，f(x)fG)是x的等价无穷小量，则limf(0)-f(0-2h)二hT0(A)A.-2B.-112.若fC)在x可导,0C.2D.不存在则|f(x)在处(B)A.必可导B.连续但不一定可导D.不连续(x)，则dy=exflxlosf(exh。C.一定不可导13.若f(u)可导，且y二sinf14设y(x)是

26、由方程yssiny二x(01，e常数)所定义的函数，则ecos15.若f(x)在x=a处可导，则limf(+nh)f(a一mh)=(m+n)fQ。htOh申2X202(x2)16.若申为二阶可微函数，则y=lJP(x2)1的y(x)=117已知f(x)=sin2x,x0,18fx=a(sinttcost)已知(.)，Iy=aSost+1sint丿则dxdy=-119若y=-x2士，则y(5)20若f(x)=1x2arctg,x0,池)J2xarctgx-1,21.已知f(jc)=t=4“1(5)dy28迈3a“=2(A-5!占-(-x丰0，则f(o)=-1,1+x2x=0lim虫=_0 xt0

27、+xex21X2I1,求广(x)。解：x丰0时，f()=2x3ex2(ex21)2ex2(x21)+2x4x3ex211f(0)=limf(x)-f(o)=limx2x0 xtOxxtO=limxtOex2x32xex22x2ex22x2=tet1=lim=lim2lim3x2xt03x2xt03x2tt0t=2lime-=2ttO1x32,22.设fdCa2)gO，其中gO在x=a处连续，求fO。解:f(a)=limf(x)-f(a)=limlZL2ag(a)ox一axTaxTa23如果f(x)为偶函数，且f(0)存在，证明f(0)=0。证：/f(0)存在，f(0)=f(0)=f(0)，而+

28、一沁)=lim令二lim十=lim叮=-)xT0tT0tT0f(0)=一f(0),fG)=0。24设f(x)对任意的实数xx有f(x+x)=f(x)f(x)，且f(0)=1，试证fr(x)=f(x)。f(x)lim业4Axt0证：Vx，f(x+0)=f(x)f(0)，可得f(0)=1。从而f(x)=lim=fC+Ax)-fC)=limfC)f念)-fC)=AxT0AxAxT0Ax=f(x)limf心-f)=f(x)f(0)=f(x)。AxT0Ax25已知y=xarctgx一In小+x2，求y。解：y=xarctgx一丄lnC+x2j=arctgx+x1+x221+x22x=arctgx26(1

29、1兀、x2时才可微因为sin在x=0处无定义，所以不可微x设f(x)=(x-a)p(x)，而申C)在x=a处连续但不可导，则f(x)在x=a处(C)A.连续但不可导B.可能可导，也可能不可导仅有一阶导数D.可能有二阶导数5若fC)为可微分函数，当Axt0时，则在点x处的Ay-dy是关于Ax的(A)A.高阶无穷小B.等价无穷小C.低价无穷小D.不可比较函数y=f6)在某点处有增量Ax二0.2，对应的函数增量的主部等于0.8,则f1A.左、右导数都存在B.左导数存在，但右导数不存在C.左导数不存在，但右导数存在D.左、右导数都不存在10.设f(x)在C8,+8)内可导，且对任意x,x，当xx时，都

30、有1212f(x)f(x)，贝(D)A.对任意x，f,(x)0B.对任意x，广(x)0C.函数f(x)单调增加D.函数-f(x)单调增加11.设fO可导，FOf6%+|sinx|)，若使FO在x0处可导，贝必有(A)A.f(0)0B.广G)=0C.f(0)+广G)0D.f(0)广G)012.设当xT0时，ex2+bx+1)是比x2高阶的无穷小，贝胚AA.a，b12B.a1，b1D.a1，b113.设函数f(x)在区间(-6,6)内有定义，若当xe(-6,)时，恒有|f(x)x2,则x0是f(x)的(C)A.间断点B.连续而不可导点C.可导的点，且广G)=0D.可导的点，且广GL014.设xT0

31、时，etgxex与xn是同阶无穷小，则n为(C)A1B2C3D4函数f(x)=C-x-2x3-x|不可导点的个数是(B)A3B2C1D0已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Ay二yAx+a且当AxT0时，a1+x2是Ax的咼阶无穷小，y(0)=兀，则yG)=(D)C.e4庇D兀e417.设f(x)=1-cs12时,dnydxn()m(m-1)(m-n+1)=(-1(n1)t=1x=1x020.若f6)是可导函数，且fO=sin2Isin(x+1),f(0)=4，则f(x)的反函数x=(y)为自变量取4时的导数值为一1)。sin2sin121.若f(x)在x=e点处且有连续的一阶导数，且fe)

32、=-2e-1，则xT0+dx22.设f(x)=(x3311Q(x)，其中g(x)在点x=1处连续，且g(1)=6，则广6)=199623.设f(x)=00,x=1242526272829303132333435363738已知y=x2ex2则y(4)(0)=24，y6)0=若f(x)=x2cos2x,则f(10)(0)=22940f(x)=sin2x+e2axx丰0，在(-8,+x)上连续,-2a,lim(1+3x)2=einx6。xTO设y=cos(x2lin2,x()11贝Uy=2xsin2人in2cosxx2(x2)sin2ox曲线r=1+t在t=2处的切线方程为y8=3(x5)。、几十

33、(x+2a、设limx=8，=In2。x-ax=0 xx+e2设y=ln,设y1+x2则y|x=0则y|x=02(JC-1)2x21+1+x+-1x2limxT0 x2limx2xtgx丿曲线x=esin2t在点(0,1)处的法线方程为y1=2(x0)。(x)11+f(xU_f(x)f(x)f(x)=ET=E，g(x)=fT1广(x)(1+x11+f(x)1_x-2(2x+1)2_1+x_43.设g(x)=f(x为。)，求g(x)。解：=ef(x)lnf(x)f,(x)lnf(x)_f(x)=f(x)L(x)f,(xRnf(x)_1。44.若y3x2y=2，求d。dx2解：两边对x求导得：3y2y2xyx2y=0，解得：y=xy，再求导3y2_x2得6yy2+3y2y2y2xyx2y=0,解得：y=6yy+2y(其中x3y2x2ff2xy)3y2x21145.验证函数y=ex+ex满足关系式xy+yy=0。24证：y=exe-=.(x2寸x2jx2Jx4x丄i,ixy+yy24Ge；)+丄(4x11+2石；eJ-)x+ex46.设曲线C的参数方程是的切线方程。解：t=In2时,dydxt+