2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第三章 3.5指数与指数函数（word含答案解析）

1、35指数与指数函数(教师独具内容)1通过类比平方根与立方根的概念，掌握n次方根的概念和性质，进而学习根式的性质2能运用根式的运算性质进行化简、求值，能进行分数指数幂与根式之间的互化、有理数指数幂的运算，了解无理数指数幂的概念，知道无理数指数幂可以用有理数指数幂来逼近的思想3理解指数函数的概念，掌握与指数函数有关的定义域、值域的求法4能画出具体指数函数的图象，并根据指数函数的图象说明指数函数的性质掌握指数函数的性质，能利用指数函数的单调性解决简单问题，进一步体会图象是研究函数的重要工具，能运用指数函数的图象研究实际问题5重点提升直观想象和数学运算素养(教师独具内容)1在近五年的全国卷中，指数函数

2、的图象及其性质均有涉及一般考查指数型函数的图象和性质，也会和分段函数结合进行考查，还可能结合其他函数的性质综合考查，常以选择题或填空题的形式出现2指数函数是高考考查的重点内容之一，应当熟练掌握指数函数的概念、图象、单调性和奇偶性等常考知识点，能解决指数型函数图象的识别问题、利用指数函数的单调性比较大小以及求复合函数中参数的取值范围等问题(教师独具内容)(教师独具内容)1指数与指数运算(1)根式的概念式子 eq r(n,a)叫做 eq o(,sup3(01)根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数(2)根式的性质( eq r(n,a)na(a使 eq r(n,a)有意义).注：负数没有偶次方根当n

3、是奇数时， eq r(n,an)a；当n是偶数时， eq r(n,an)|a| eq o(,sup3(02) eq blc(avs4alco1(a，a0，,a，a0，m，nN*，且n1).a eq sup15(eq f (m,n) eq f(1,asup15(f(m,n) eq o(,sup3(04) eq f(1,r(n,am)(a0，m，nN*，且n1).0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义(4)有理数指数幂的运算性质aras eq o(,sup3(05)ars(a0，r，sQ)；(ar)s eq o(,sup3(06)ars(a0，r，sQ)；(ab)r eq o(,sup3

4、(07)arbr(a0，b0，rQ).注：有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂2指数函数的概念一般地，函数yax(a0，且a1)叫做 eq o(,sup3(01)指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，底数a是大于0且不等于1的常量3指数函数yax(a0，且a1)的图象与性质底数a10a0时，恒有y1；当x0时，恒有0y0时，恒有0y1；当x1单调性在定义域R上为 eq o(,sup3(04)增函数在定义域R上为 eq o(,sup3(05)减函数注意指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质与a的取值有关，应分a1与0a0，,a1，)解得a2.故选C.3(2021青铜峡市高级中学高三

5、期中)函数f(x)2x在区间1，2上的最大值是()A eq f(1,2) B eq f(1,2) C2 D2答案D解析函数f(x)2x eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup15(x)在区间1，2上单调递减，所以函数f(x)2x在区间1，2上的最大值是f(1)2.故选D.4(2021北京海淀人大附中高三月考)函数f(x) eq f(2x1,2x1)的值域为()A(0，1) B(0，1C(0，2) D(1，2)答案C解析f(x) eq f(2x1,2x1) eq f(2（2x1）2,2x1)2 eq f(2,2x1)，2x0，2x11，0 eq f(1,2x1)1，

6、1 eq f(1,2x1)0，2 eq f(2,2x1)0，02 eq f(2,2x1)0，排除D；f(x) eq f(（exex）x22x（exex）,x4) eq f(（x2）ex（x2）ex,x3)，当x2时，f(x)0，排除C.故选B.4(2017全国卷)设函数f(x) eq blc(avs4alco1(x1，x0，,2x，x0，)则满足f(x)f eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)1的x的取值范围是 .答案 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，)解析当x0时，原不等式为x1x eq f(1,2)1，解得x eq f(1,4)， eq f(1,

7、4)x0；当0 x eq f(1,2)时，原不等式为2xx eq f(1,2)1，显然成立；当x eq f(1,2)时，原不等式为，显然成立综上可知，x eq f(1,4).一、基础知识巩固考点指数幂的化简与求值A eq f(b,a) B eq f(a,b) C eq f(a2,b) D eq f(b2,a)答案B例2已知xlog43，则 eq f(23x23x,2x2x)的值为 答案 eq f(7,3)解析因为xlog43，所以4x3，2x eq r(3)，所以 eq f(23x23x,2x2x) eq f(（2x2x）（22x122x）,2x2x)22x122x(2x)21(2x)231

8、eq f(1,3) eq f(7,3).1.1.5 eq sup15(eq f(1,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,6) eq sup15(0)80.25 eq r(4,2)( eq r(3,2) eq r(3)6 eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(2,3) eq sup15(eq f (2,3) 答案110解析原式 eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3) eq sup15(eq f (1,3)2 eq sup15(eq f (3,4)2 eq sup15(eq f (1,4)2233 eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3

9、) eq sup15(eq f (1,3)2108110.2若axax3，则 eq f(a3xa3x,a2xa2x) 答案 eq f(18,7)解析(axax)2a2x2a2x9，所以a2xa2x7，所以 eq f(a3xa3x,a2xa2x) eq f(（axax）（a2x1a2x）,a2xa2x) eq f(3（71）,7) eq f(18,7).(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负

10、指数(4)注意平方差、立方差、完全平方公式的使用考点指数函数的图象及应用例3(2021元氏县第四中学模拟)图中的曲线是指数函数yax的图象，已知a的取值分别为， eq r(17)， eq f(r(3),3)， eq f(r(2),2)，则曲线c1，c2，c3，c4对应的a依次为()A eq r(17)， eq f(r(3),3)， eq f(r(2),2) B eq r(17)， eq f(r(2),2)， eq f(r(3),3)C， eq r(17)， eq f(r(3),3)， eq f(r(2),2) D， eq r(17)， eq f(r(2),2)， eq f(r(3),3)答案C

11、解析不妨取x1，由指数函数yax的图象可知，c2对应的a最大，其次是c1，然后是c4，最小的是c3，所以曲线c1，c2，c3，c4对应的a依次为， eq r(17)， eq f(r(3),3)， eq f(r(2),2).故选C.例4若函数y|2x1|的图象与直线yb有两个公共点，则b的取值范围为 答案(0，1)解析作出y|2x1|的图象与直线yb如图中实线所示由图象可得b的取值范围为(0，1).3.函数y eq f(xblc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup15(x),|x|)的图象的大致形状是()答案D解析因为y eq f(xblc(rc)(avs4alco1(f(1,2)s

12、up15(x),|x|) eq blc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup15(x)，x0，,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup15(x)，x27，则x的取值范围是()A(，3 B(，3)C3，) DR答案B解析由 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) eq sup15(x)27，得3x33，所以x3，解得xab BabcCacb Dbca答案B解析a eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3) eq sup15(eq f (1,3)，b eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) eq su

13、p15(eq f (1,3)，c eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) eq sup15(eq f (2,3)，函数y eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) eq sup15(x)是减函数， eq f(2,3) eq f(1,3)， eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) eq sup15(eq f (1,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) eq sup15(eq f (2,3)，bc.又函数yx eq f(1,3)是R上的增函数， eq f(2,3) eq f(1,3)， eq blc(rc)(avs4alco1(

14、f(2,3) eq sup15(eq f (1,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) eq sup15(eq f (1,3)，即ab.综上可得，abc.故选B.5.设函数f(x) eq blc(avs4alco1(2x，x0，,1，x0，)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，)C(1，0) D(，0)答案D解析当x0时，函数f(x)2x eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup15(x)单调递减，则f(x)f(0)1，作出f(x)的大致图象如图所示，由图象知，要使f(x1)f(2x)，则 eq blc(avs4al

15、co1(x10，,2x0，,2xx1)或 eq blc(avs4alco1(x10，,2x0，)解得x1或1x0，即x0，)若f(x0)1，求实数x0的取值范围1利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是：先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小2利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般方程或不等式求解考点与指数函数有关的复合函数问题例7(2021安徽镜湖芜湖一中高三月考)函数f(x)e2x42ex2的单调递增区间为()A2，) B1，)C

16、0，) D2，)答案A解析令ex2t(t0)，则原函数可化为yt22t，该函数在1，)上单调递增，又tex2在R上单调递增，当x2时，t1，故f(x)e2x42ex2在2，)上单调递增故选A.例8(2021江苏无锡模拟)函数y eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) eq sup15(2x28x1) (3x1)的值域是 答案 eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)sup15(9)，39)解析设t2x28x12(x2)29，则y eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) eq sup15(t)，3x1，当x2时，t有最

17、大值9；当x1时，t有最小值9，9t9，由函数y eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) eq sup15(t)在定义域上是减函数，得原函数的值域是 eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)sup15(9)，39).7.设xR，用x表示不超过x的最大整数，例如：3.24，4.34，已知函数f(x) eq f(23x,13x) eq f(3,2)，则函数yf(x)的值域是()A1，0，1 B2，1，0C1，0 D2，1，0，1答案B解析f(x) eq f(23x,13x) eq f(3,2) eq f(43x333x,2（13x）)

18、eq f(3x3,2（3x1）) eq f(1,2) eq f(2,3x1)，3x11，0 eq f(2,13x)2， eq f(3,2) eq f(1,2) eq f(2,13x)1时，g(x)单调递增，当x1时，g(x)单调递减，所以当x1时，g(x)取得最小值，g(x)min1，因为y2t在R上单调递增，所以函数f(x)在(1，)上单调递增，在(，1)上单调递减，所以f(x)min eq f(1,2).因此f(x)的值域为 eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，)，单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(，1).解决与指数函数有关的复合函数问题时，通常先换元，再结合函数的

19、单调性求解二、核心素养提升例1若关于x的方程5xa3有负实根，则实数a的取值范围是 答案(3，2)解析设关于x的方程5xa3有负实根为x0(x00)，根据指数函数的性质，可得05x01，所以0a31，可得3a0)(a0，a1)的值域为R，则实数a的取值范围是 答案 eq blcrc)(avs4alco1(f(1,6)，1)解析y6ax，x0的值域为(，6a)，要使f(x) eq blc(avs4alco1(ax，x0，,6ax，x0)(a0，a1)的值域为R，yax必为减函数，因此0a1，可作出函数图象如图，则 eq blc(avs4alco1(0a1，,6a1，)解得 eq f(1,6)a1

20、.例3(2022上海高三月考)已知函数f(x) eq blc(avs4alco1(f(x24,x)，x2，,2|xa|，x2，)若对任意的x12，)，都存在唯一的x2(，2)，满足f(x2)f(x1)，则实数a的取值范围是 答案0，4)解析设函数g(x) eq f(x24,x)(x2)的值域为A，函数h(x)2|xa|(x2)的值域为B，因为对任意的x12，)，都存在唯一的x2(，2)，满足f(x2)f(x1)，则AB，且对A中任意的元素，B中有且只有一个与之对应g(x) eq f(x24,x)x eq f(4,x)2 eq r(xf(4,x)4，当且仅当x eq f(4,x)，即x2时，等号

21、成立，所以A4，).当a2时，h(x)2ax，x2，此时B(2a2，)，所以2a24，解得2a4；当a2时，h(x) eq blc(avs4alco1(2ax，xa，,2xa，ax2，)此时h(x)在(，a)上是减函数，取值范围是(1，)，h(x)在a，2)上是增函数，取值范围是1，22a)，所以22a4，解得0a0)的结果是()A eq r(x) Bx C1 Dx2答案C.2已知函数f(x)3x eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) eq sup15(x)，则f(x)()A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上

22、是减函数答案A解析函数f(x)3x eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) eq sup15(x)的定义域为R，且f(x)3x eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) eq sup15(x)3x eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) eq sup15(x) eq blcrc(avs4alco1(3xblc(rc)(avs4alco1(f(1,3)sup15(x)f(x)，即函数f(x)是奇函数又y3x，y eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) eq sup15(x)在R上都是增函数，故函数f(x)在R上是增函数3已知a0.30

23、.6，b0.30.5，c0.40.5，则()Aabc BacbCbca Dcba答案D解析函数y0.3x在R上单调递减，a0.30.6b0.30.5.函数yx0.5在0，)上单调递增，b0.30.5ba.4函数f(x) eq r(32x1f(1,27)的定义域是()A(2，) B1，)C(，1) D(，2)答案B解析要使函数有意义，需满足32x1 eq f(1,27)0，即32x133，因为y3x为增函数，所以2x13，解得x1.5(2021武汉检测)不论a为何值，函数y(a1)2x eq f(a,2)的图象恒过定点，则这个定点的坐标是()A eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(

24、1,2) B eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)C eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2) D eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)答案C解析y(a1)2x eq f(a,2)化为 eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,2)a(2xy)0，依题意，对aR， eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,2)a(2xy)0恒成立，则2x eq f(1,2)0且2xy0，所以x1且y eq f(1,2)，即恒过定点 eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2).6若2x21 eq blc(rc)

25、(avs4alco1(f(1,4) eq sup15(x2)，则函数y2x的值域是()A eq blcrc)(avs4alco1(f(1,8)，2) B eq blcrc(avs4alco1(f(1,8)，2)C eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,8) D2，)答案B解析因为2x21 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4) eq sup15(x2)242x，则x2142x，即x22x30，所以3x1，所以 eq f(1,8)y2.7(2021衡水检测)当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是()A.(2，1) B(4，3)C(3，4

26、) D(1，2)答案D解析原不等式变形为m2m eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup15(x)，因为函数y eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup15(x)在(，1上是减函数，所以 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup15(x) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup15(1)2，当x(，1时，m2m eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup15(x)恒成立等价于m2m2，解得1mK.)给出函数f(x)2x14x，若对于任意x(，1，恒有fK(

27、x)f(x)，则()AK的最大值为0 BK的最小值为0CK的最大值为1 DK的最小值为1答案D解析根据题意可知，对于任意x(，1，恒有fK(x)f(x)，则f(x)K在x1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可x(，1时，2x(0，2，函数f(x)2x14x22x(2x)2(2x1)211，可得f(x)的最大值为1，所以K1.故选D.二、多项选择题9已知实数a，b满足等式18a19b，下列关系式有可能成立的是()A0ba Bab0C0ab Dba0答案AB解析实数a，b满足等式18a19b，即y18x在xa处的函数值和y19x在xb处的函数值相等，由图可知A，B均有可能成立10(2021

28、济南一模)若a，b，cR，且 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup15(a) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup15(b)，则下列不等式中一定成立的是()Aacbc B(ab)c20C eq f(1,a) eq f(1,b) Da3b3答案BD解析因为 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup15(a) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup15(b)，所以ab.对于A，若c0，则不等式不成立；对于B，因为c20，所以不等式成立；对于C，若a0，b0，则不等式不成立；对于

29、D，因为a3b3(ab)(a2abb2)(ab) eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(af(b,2)sup15(2)f(3b2,4)0，所以不等式成立(或利用幂函数的性质易得成立).故选BD.三、填空题11已知函数f(x)axb(a0，且a1)的定义域和值域都是1，0，则ab 答案 eq f(3,2)解析当a1时，函数f(x)axb在1，0上为增函数，由题意得 eq blc(avs4alco1(a1b1，,a0b0)无解当0a1，b1，则aln b的最大值为 答案e解析由题意知b eq f(e2,a)，则aln baeq sup13(ln eq f(e2,

30、a)aln e2ln aa2ln a，令ta2ln a(t0)，则ln tln a2ln a(ln a)22ln a(ln a1)211，当且仅当ln a1时，“”成立，此时ln t1，所以te，即aln b的最大值为e.14已知函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象关于y轴对称，当函数yf(x)和yg(x)在a，b上同时递增或同时递减时，a，b叫做函数yf(x)的“不动区间”若1，2为函数y|2xt|的“不动区间”，则实数t的取值范围为 答案 eq blcrc(avs4alco1(2，f(1,2)解析因为函数yf(x)的图象与yg(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)f(x)|2xt|.因为1，2为函数y|2xt|的“不动区间”，所以函数y|2xt|和函数g(x)|2xt|在1，2上的单调性相同又因为y2xt和y2xt的单调性相反，所以(2xt)(2xt)0在1，2上恒成立，即2xt2x在1，2上恒成立，得2t eq f(1,2).四、解答题15(1)求函数y2x22x5，x1，2的值域；(2)求函数y4x2x1