1.1.3-解三角形的进一步讨论

1、 解三角形的进一步讨论及应用60ABCb引例：以下ABC中B的结果各有几种1. b = 20, A = 60, a = ；2. b = 20, A = 60, a = ；3. b = 20, A = 60, a = 15解：（1）又b a， B 1 a bsinA无解a = bsinA即sinB = 1一解即 sinB AbsinA a b两解a b即 sinB 1 且B b一解 a b无解baba为直角时，与为钝角相同， a b时，一解； a b时，无解. 判断三角形解的个数也可由“三角形中大边对大角”来判定(A为锐角)：若ab,则AB，从而B为锐角，有一解；若ab，则A1，无解；sinB=

2、1，一解；sinBb，所以AB，又 A=60或120，当A=60时，C=180-45-60=75，当A=120时，C=180-45-120=15，综上可知：A=60,C=75, 或A=120，C=15，例3.在ABC中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且试判断ABC的形状.【审题指导】将式中的a、b、c分别用2RsinA、 2RsinB、2RsinC来代替是解决本题的关键.二、判断三角形形状【规范解答】由正弦定理 （R为ABC外接圆的半径）得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入 中，可得所以，tanA=tanB=tanC.又因为A、B、C是ABC的内角，所以A=B=

3、C，所以ABC是等边三角形.练习.在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且 试判断ABC的形状. 【解题提示】结合正弦定理，将已知等式变形，寻找角B、C之间的关系，求出角B、C，从而判断三角形的形状.【解析】方法一：由得sinB = cosB，即 B = 45，同理，C = 45.A = 180 - B - C = 90.所以ABC为等腰直角三角形.方法二：由 得 (*)把 a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC (R为ABC外接圆的半径)，代入(*)，得2R=2RtanB=2RtanC，tanB = tanC = 1，又0B，C180，B = C = 45，

4、 A = 90，所以ABC为等腰直角三角形. 三、正、余弦定理的综合应用 正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实际情况可以选择性地运用，也可以综合运用，要注意以下关系式的运用：例4.ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且asinAsinB+bcos2A =(1)求(2)若 求B.【审题指导】（1）利用正弦定理化简上式，从而求得的值；(2)利用余弦定理求B .【规范解答】(1)由正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A 即sinB(sin2A+cos2A) 故sinB所以(2)由余弦定理得 又因为所以整理得又由(1)知b2 = 2a2，故可得cos2B = 又cosB 0，故所以B = 45. 【误区警示】不能正确利用余弦定理和(1)的结论，