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1、不定积分的概念和性质换元积分法和分部积分法定积分的概念和性质定积分的换元积分法和分部积分法定积分的应用和推广第三章 一元积分学1 不定积分的概念和性质一、原函数和不定积分的概念定义1 （原函数和不定积分的定义）对于函数 存在函数 ，使得则称函数 是函数 的一个原函数，称 的全体原函数为函数 的不定积分，记为这里 称为积分变量， 称为被积函数。 所以显然 ， ， ， 都是 的一个原函数。原函数有多少个？有几种形式？注意定理1（原函数的结构定理）若函数 都是函数 的原函数，则（1） 也是的原函数， 为任意常数；（2） 任意两个原函数之间相差一个常数，即根据定理1，若 是 的一个原函数则 的不定积分

2、为 （1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。 （2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。 （3）若 为 的一个原函数，则 表示 的所有原函数。 结论：例 1不要漏写积分常数定理2（微分与积分的互逆关系）若函数 是函数 的一个原函数，则（1） 或（2） 或求导、求微分求原函数、求不定积分说明： 定理2表明，在宽泛的意义下， 不定积分与微分互为逆运算二、基本积分表(I)二、基本积分表(II)二、基本积分表(III)意味着例如注意基本积分公式中的“三位一体”现象，即三、不定积分的简单性质性质1（积分运算的线性性质）若函数 都可积，则（1） （可加性）（2） （齐次性）例 2例 3例 4例 5恒等

3、变形例 6求解上述不定积分时，或者直接使用基本积分公式，或者对被积函数进行一些恒等变形后再使用基本积分公式，这类方法称为直接积分法。例 72 换元积分法和分部积分法例 1一. 第一换元法（“凑”微分法）例 2定理1（不定积分的第一换元积分法）已知 ，且 为可微函数，则由已知得所以证明：根据不定积分的定义，结论成立。显然，求积分时，若代数变形并且已知函数的积分，则使用第一换元法求解。例 3第一换元法的关键是确定显然，复合函数的内层函数就是我们要找的例 7例 8例 4例 5例 6例 10例 11例 12例 9例 13例 14例 15一奇一偶，则将奇次方的函数拆出一个，凑成另一个的微分例 16解法一

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