专题09 指数与对数的运算

1、专题9指数与对数的运算专题知识梳理指数中的相关概念n次方根正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0;正数的偶次方根是两个 绝对值相等、符号相反的数，0的偶次方根是0,负数没有偶次方根.方根的性质当n为奇数时，JOT =a当n为偶数时，插=切| = 。 - -a, a 0， m、n 都是正整数，n1)；_m 11a n = , (a0， m、n 都是正整数，n 1).m n aman 有理数指数幕的运算性质设 s，tEQ，a0， b0，则：(1) asat=ast； (2)(as)t=asf; (3)(ab)t=atbt.对数的相关概念 对数的定义：如果ab=N (a

2、0， a手1)，那么b叫做以a为底数N的对数，记作logJN=b.常用对数和自然对数常用对数：以10为底N的对数，简记为：lgN ；自然对数：以e为底N的对数，简记为：lnN.指数式与对数式的相互转化ab=No logN=b (a0，a手1，N0). a对数的基本性质设 N0，a0，a手1，则：(1) logaa=1； (2)loga1=0； (3) logaaN=N;(4) alogaN=N.对数运算的法则设 M0, N0，a0，a手1，b0，b丰1，则：M(1) logp (MN) = logaM+logqN： (2) logN = 10gaM logaN： (3) logaMn= nlo

3、gM.对数的换底公式设 N0, a0,存1, b0,毋1，则 logN= Sga N b log b考点探究考向1指数幂的运算【例】-【解析】 原式题组训练1.【解析】要使原式有意义,2.化简的值等于解析】 1、_ 1(M )33.化间：(二)2= TOC o 1-5 h z 41(0.1)1 (a3 - b-3)23 _323 - a 2 - b 28【解析】原式=2x=21+3x10-1=.3354.求值：(124 + 22占)：-27； +163 - 2 - (8-3)-1 =【解析】原式=(11 + v3)22 -(33)6 + (24)4 - 2 - (23)2 = 11 + 志-1

4、 .由对数定义得 a=log3k, b=log4k, c=log6k,则 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark51 o Current Document 2 121a+b=m+声 / 码3+logk4=logk9+logk4=logk36 .34222 1 2又 = =2log 6=log 36,+丁= .c log k k k a b c（2）由 a=log603, b = log605，得 1-b=1-log605 = log6012,1 一 a 一 b log 4于是 1a-b=1-论器。3log605 = log604,则有 匚方=log 6012 =l

5、og124,& 60所以 12 2(1-b)= 12 2log12 = 12 log2 =2.题组训练1.设【解析】，由换底公式得2.设1+1log23 lo检=a，那么3a=【解析】a=log【；+ log【:=log32+log35=log310匕J3a = 3兴3。= 103.(拔高题)已知正实数a,b,c均不为1，满足ax = by = cz，且1 + + - = 0，则abc的值为 xyz【解析】令ax = by =cz= k，： a, b, c为正实数，且均不为1,.k 0且k丰11lg a1lg b1lg c.x lg a = y lg b = z lg c - lg k n _

6、=，一 =，一=.xlg kylg kzlg k111lg a + lg b + lg c.+ + = 0，. = 0，即 lg(abc) = 0，. . abc = 1xyzlg k考向4指数式与对数式的综合问题r 一 x【例】已知不等式2(log x)2+9(log x)+90的解集为M,求当xM时，函数f (x) = log二| log -最大值和最小值.【解析】.2 (log x) 2+9 (log2x) +90，.(2log x+3) (g22x+3) 0.12即log12一122| 1 log x log I -11 k 3 log x - J222 x，二 2/2 x8.M=xl

7、 2 2 x8.f (x) =(log2x1)(log2x3)=log22x4log2x+3=(log2x2)21，2 专2 x8 ,. 2 log2x1, y1,且 210&一210&+3=0,求T=x24y2的最小值.【解析】令 t=1ogxy,V x1, y1,.2t0.由 21ogp21og x+3=0,得 2t+3=0,. 2t2+3t2=0,x yt即(2t1)(t+2)=0,11,t0，.t=，即ogyw，.221,.,.当 x=2 时，T . =4.min=0，求 1og2(xy)的值.1g x + 1g y 1g x + 1g y1g( x - y )22.右一匚+ 一匚+I

8、l1g x 1g y 1g x 1g y【解析】由件殴+、蒙+毕尸=0，去分母可得1g x 1g y1g x 1g y(1gx+1g y)2+ 1g(xy) 2=0,1g x + 1g y = 0,f xy = 1,n1og2(xy)=0.1g(x - y) = 0 x - y = 1,23,已知21g 二兰=1g x + 1g y,求:x的值.2k y【解析】由已知得1g(%)2 = 1g(xy),.()2 = xy即 x2 - 6xy + y2 = 0，.(x)2 一6 +1 = 0，.x =3 2、2 y y yx - y cxx c cx r KT但一- 0 及x、y0,.xy0,即一

9、 1,从而一=3 + 2：2 , =1 +(22y y y4,(拔高题)已知 x, y, z e (0, +3)，且 3x = 4y = 6z .(1)求证：1 -1 = ;(2)试比较3x,4y,6z的大小.z x 2 y【解析】(1)设3x = 4y = 6z = k，由 x,y,z e (0, +3),得k 1lg klg k1g k于是，xlg3 = j 1g4 = z 1g6 n x = k， =，z =匚 TOC o 1-5 h z 1g31g41g6于是 3x 4 j = *411g6 lg3 = 1g6 - 1g3 =些=21g2 = Jg = _L1g k 1g k 1g k 1g k 21g k 21g k 2 j=1g k (31g 4 41g3) = 1