清华信号与系统chapter7

1、7.4离散变换应用FFT介绍快速卷积快速相关（功率谱计算）对连续时间信号分析的近2006-10-2917.4.0本节内容FFT介绍快速卷积快速相关（功率谱计算）对连续时间信号分析的近2006-10-2927.4.1FFT介绍FFT介绍快速离散变换FFT应用DFT中的计算冗余性，将DFT的计算复杂度进行降低。长度为N序列进行离散变换：DFT : 复数乘法：N 2 ,复数加法：N (N 1)N logFFT : 复数乘法：N ,22复数加法：N log2 N2006-10-2937.4.2快速卷积快速卷积的计算复杂度对于长度为N1序列x(n)和程度为N2序列h(n)y(n) x(m)h(n m)进

2、行线卷积：m结果序列y(n)长度：N1 N2其中乘法运算次数：N1N2.12006-10-2947.4.2快速卷积快速卷积方案：快速卷积：两次FFT,一次IFFT,一次乘法。如果h(n),H(k)已经计算进行一次FFT,一次IFFT,一次乘法。好了，实际2006-10-2957.4.2快速卷积快速卷积的计算复杂度DFT :时域圆卷积,补零得到线卷积结果在N1 N2 N时，补零后的长度为：N1 N2 1 2N2 2N log2N 2N 2N 1 log2N 222随着N增大，计算复杂度比N2显著减小一次乘法次数两次FFT的复数乘法次数2006-10-2967.4.2快速卷积两序列长度相差很多两个

3、序列长度相差很多补齐等长后会增加计算复杂度；一个序列为无限长的实时信号无法进行补齐；解决方法：“相加法”2006-10-2977.4.3快速卷积相加法：将长序列分成若干小段，每段长度接近于阶段的序列长度。进行快速卷积后，将结果再累加起来。因果序列h(n) : N , x(n) : N1 , N1 Nx(n)分成长度为M的P个小段。P1x(n) x (n)ii0iM n (i 1)M 1 x(n)xi (n) 0n为其它值P1y(n) x(n) h(n) x (n) h(n)ii02006-10-2987.4.2快速卷积长度相差很大的两个序列进行卷积-分段情况：2006-10-2997.4.2快

4、速卷积长度相差很大的两个序列进行卷积-结果相加2006-10-29107.4.2快速卷积FFT算法也可以解决解卷积运算。2006-10-29117.4.4快速相关快速相关（功率谱计算）N 1y(m) x(n)h n mn0Y (k ) X (k ) H *(k )N7.4.4快速相关功率谱计算Rxx (m) x(n)x(n m) Y (k ) DFT Rxx (n) DFT x(n) DFT * x(n)2006-10-2913DFT对连续时间信号的频谱分析分析条件：信号抽样与截断产生现象：混叠、频率数值变换；DFT结果对连续信号分析；、电平2006-10-29142006 10 2915时间

5、有限信号时间有限，频谱不是有限带宽。时间抽样，频谱周期延拓，发生混叠（aliasing）现象。2006-10-2916频率有限信号频域有限，时域无限（leakage）截断产生频率时域矩形窗口截断频域卷积频率有限信号改进频率现象：改进截断窗口形状升余弦窗口函数；汉宁窗口；改进的升余弦窗口函数；二阶升余弦窗（曼窗）2006-10-2918周期信号周期信号主取值区间抽样；频谱无限：产生混叠现象；频谱有限：没有混叠现象；2006-10-2919计算结果数值相对变化信号进行周期为Ts抽样形成离散信号。DFT结果是连续信号频谱幅值的1/Ts;1T /2 tjnF f (t)edt1nTT /2 s由DFT

6、计算抽样信号结果乘以Ts得到对应连续信号的频谱。2006-10-2920DFT计算结果的对连续信号分析DFT计算结果是数值序列。每个数值 X(k)所对应连续信号的频率以及该频率下的幅值与相位是什么?IDFT恢复原是波形抽样x(n)，它所描绘的波形实际时间分布是什么?2006-10-2921对频率受限信号(最大频率fm )进行周期为Ts的冲击抽样，信号抽样的时间区间为T1抽样所得序列长度为：N T1 / TsDFT频谱重复周期：fs 1/ Ts 2 fm频谱间隔(谱线分辨率)f1 1/ T1;由于进行DFT时，是将原来采样周期Ts看作1，进行计算的，故此，它所得到的频谱比起实际连续信号的频谱大了

7、 1 倍，故此需要在计Ts算结果上乘以Ts 才表示连续信号的频谱值。Ts X (k )表示信号在频率kf1处的频率密度幅值.kf1的谐波分量的幅值.也可以表示频率为2006-10-2923 j 2 n( N k )N 1X (N k ) xp (n)en0N j 2 (nk )N 1 x e j 2n X (k )N(n)epn0可以将 N N 1处T X (k )看作负频( N 1) fss2的频谱。22006-10-2924对于给定频谱进行周期为f1抽样得到频谱序列X (k ), 抽样最高频率为fs .进行IDFT得 到时间序列x(n), 根据前面分析，需要在x(n)除以Ts即乘以fs 才

8、可获得实际时间波形。 n / fs处的时间波形到相对应的时间波形.fs x(n)对应在时间nTs的抽样.插值后便2006-10-2925如果对于时间信号在0至1秒区间进行抽样，抽样个数为N,则抽样频率为NHz, 抽样时间1间隔为1/N秒，此时将变换中， 放在N正变换式中，而不是逆变换式中，此时所得到的结果可直接表示所需的结果，无须再乘转换系数。2006-10-2926例：利用DFT 分析下图所示三角信号的频谱，它具幅度，持续时间为2ms，所求频谱的分辨率要有求为f1 100Hz，最高频率范围：fh 25kHz。解：由最高频率范围fh确定抽样时间间隔：11s 20sTs2 251032 fh2006-10-2927由f1确定时间函数的延拓周期，即时间长度11T s 10ms，1f1001 500数据个数：s为了使用FFT，取N 512 29晴28200