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1、下一页不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质及直接积分法定义1 设函数 f (x) 与 F(x) 在区间I上有定义，若 则称F(x)为f(x) 在区间I上的一个原函数原函数举例因为(sin x)cos x , 所以sin x是cos x的一个原函数. 上一页下一页一、原函数与不定积分的概念因为xx21)(=,所以x是x21的一个原函数. .F (x) f( x) , xI提问： （1）什么条件下，一个函数的原函数存在？ （2）如果 f (x) 有原函数，一共有多少个？几点说明： 1原函数存在定理：连续函数一定有原函数. 2若F(x) = f (x)，则对

2、任意常数C， F(x)+C 都是f (x)的原函数. 如 (sin x)cos x , 则 (sin x+C)cos x . 所以原函数的个数有无穷多个且 任意两个原函数之间相差一个常数！证明：(G(x) F(x) = G (x) F (x) = f (x) f (x) = 0 所 以 G(x) F(x) = C ( C为常数)上一页下一页 定义2 f (x)在区间I上全体原函数成为 f (x)在 I上的不定积分. 记作 其中f (x)叫被积函数，f (x)dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，记号 “ ” 叫做积分号. 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x

3、)C就是f (x)的不定积分, 即 结论：求f (x)的不定积分只要求它的一个原函数F(x)再加任意常数C.上一页下一页 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 例1 求解：上一页下一页 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 例2 解 ： 合并得：上一页下一页不定积分的几何意义2x的积分曲线 若F(x)是f (x)的一个原函数，则称F(x)的图形为f (x)的一条积分曲线， F(x)+c的图形是由F(x)的图形沿 y 轴平移c(任意的）所得积分曲线组成的曲线轴. 如图f (x)=2x的积分曲线图 函数f (x)的不定积分在几何上表示f (x)的全部积分曲线所组成的平行曲线族结论：上一页下一页上一页下一页二、基本积分表解例4例3求解求上一页下一页性质1 1性质2(线性性质) 2( k为常数 k0）上一页下一页三、不定积分的性质1*2*例5求解上一页下一页练习例6求解例7求解例8求不定积分解注：以上几例被积函数都需进行恒等变形才能使用基本积分表计算.上一页下一页直接积分法 可用基本积分表计算，或经适当恒等变形后用基本积分表计算的方

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