线性系统的稳定性

1、 线性系统的稳定性 引言定义（BIBO）证明由H()的极点位置判断系统稳定性稳定性准则一引言某连续时间系统的系统函数 当输入为(t)时，系统的零状态响应的象函数为 但t 很大时，这个正指数项超过其他项并随着t 的增大而不断增大 续 实际的系统不会是完全线性的这样，很大的信号将使设备工作在非线性部分，放大器的晶体管会饱和或截止，一个机械系统可能停车或发生故障等。这不仅使系统不能正常工作，有时还会发生损坏危险，如烧毁设备等。 稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。冲激响应和h(t)、H(s)系统函数 从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确定系统的稳定性。二定义（B

2、IBO） 一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定系统。对所有的激励信号f(t)其响应y(t)满足 则称该系统是稳定的。式中，稳定系统的充分必要条件是（绝对可积或可和条件）：三证明（以连续系统为例）对任意有界输入f(t)，系统的零状态响应为：充分性充分性得证必要性必要性得证。四由H(s)、 H(z) 的极点位置判断系统稳定性例 7.2-2 如图7.2-4所示的离散系统，当K满足什么条件时，系统是稳定的？ 五. 连续系统的稳定性准则（罗斯准则）罗斯-霍尔维兹准则设n阶线性连续系统的系统函数为 式中，mn，ai(i=0, 1

3、, 2, , n)、bj(j=0, 1, 2, , m)是实常数。H(s)的分母多项式为 H(s)的极点就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，则A(s)称为霍尔维兹多项式。 A(s)为霍尔维兹多项式的必要条件是：A(s)的各项系数ai都不等于零，并且ai全为正实数或全为负实数。若ai全为负实数，可把负号归于H(s)的分子B(s)，因而该条件又可表示为ai0。显然， 若A(s)为霍尔维兹多项式， 则系统是稳定系统。 罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准

4、则)。 罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则 (R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。 若n为偶数，则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列共有n+1行(以后各行均为零)，第三行及以后各行的元素按以下规则计算： 罗斯判据(罗斯准则) 指出： 多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为正值。 若第一列元素的值不是全为正值， 则表明A(s)=0在右半平面有根， 元素值的符号改变的次数(从正值到负值或从负值到正值的次数)等于A(s)=0在右半平面根的数目。根据罗斯准则和霍尔维兹多

5、项式的定义，若罗斯阵列第一列元素值的符号相同(全为正值)，则H(s)的极点全部在左半平面， 因而系统是稳定系统。 若罗斯阵列第一列元素值的符号不完全相同， 则系统是不稳定系统。 综上所述，根据H(s)判断线性连续系统的方法是：首先根据霍尔维兹多项式的必要条件检查A(s)的系数ai(i=0, 1, 2, , n)。 若ai中有缺项(至少一项为零)，或者ai的符号不完全相同，则A(s)不是霍尔维兹多项式， 故系统不是稳定系统。若A(s)的系数ai无缺项并且符号相同，则A(s)满足霍尔维兹多项式的必要条件，然后进一步再利用罗斯-霍尔维兹准则判断系统是否稳定。 判断三个系统是否为稳定系统。 例 4.8

6、-2 已知三个线性连续系统的系统函数分别为 解 H1(s)的分母多项式的系数a1=0，H2(s)分母多项式的系数符号不完全相同，所以H1(s)和H2(s)对应的系统为不稳定系统。H3(s)的分母多项式无缺项且系数全为正值，因此，进一步用R-H准则判断。H3(s)的分母为 A3(s)的系数组成的罗斯阵列的行数为n+1=4，罗斯阵列为 根据式(4.8 - 20)和式(4.8 - 21)， 得 因为A3(s)系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所以根据R-H准则，H3(s)对应的系统为稳定系统。 六.离散系统的稳定性准则（朱里准则） 朱里提出了一种列表的方法来判断H(z)的极点是否全部在单位圆内，这种方法称为朱里准则。朱里准则是根据H(z)的分母A(z)的系数列成的表来判断H(z)的极点位置，该表又称朱里排列。 设n阶离散系统的 A(z)为 朱里排列如下： 朱里排列共有(2n-3)行。第1行为A(z)的各项系数从an到a0依次排列，第2行是第1行的倒排。若系数中某项为零，则用零替补。第3行及以后各行的元素按以下规则计算： 朱里准则是: A(z)=0的根，即H(z)的极点全部在单位圆内的充分和必要条件为 各奇数行，其第一个元素必大于最后一个