2022年不等式的几个性质

1、学习必备 欢迎下载不等式的几个性质不等式的性质是后继学习的基础,娴熟把握并能灵敏运用不等式的性质,是提高解题精确性和快捷性的关键；这里介绍一些课本中没有直接列出而在解题中经常遇到的性质,以供参考；1乘方,开方性质1）如a b,就有：1x b ；a2n 1 2n 1 b ；2n 1 a 2n 1 bn N ；2）如0 a b ,就a2n 2n b n N ；3）如0a2 x b ,就bx a或a 2取倒数性质11；1）如a b 0 或0a b ,就ab；2）如0 ax bax b 0,就11bx a或3取确定值的性质1）a2b2ab；0 ,当ba时,有x b ；当ba时,有x a ；2）如a x

2、 b ,且a 0,b 4有关分数的性质如a,b, m R,且a bb,就mb m0 ；1）真分数的性质：bbbm；aamaam2）假分数的性质：aam；aamb m 0 ；2）是假分数的bbmbbm说明：1）是真分数的性质,可简述为：真分数越加越大,越减越小；性质,可简述为：假分数越加越小,越减越大；以上性质都可由基本不等式或确定值的定义,通过简洁推导而得到,作为练习,其证 明均留给读者；对以上不等式,建议大家娴熟把握,这对加快解题速度有帮忙；不等式的性质2 例1 比较x 3 与3x 的大小,其中x R2 3 223 x 3 22330 ,解： x23 3 x x2 3x 3 x23x 3 2

3、44x2 33x ab0a b ；说明：由例1 可以看出实数比较大小的依据是：第 1 页,共 9 页ab 0 a学习必备欢迎下载b ；a b 0a b 例2 比较x6 1 与x4 x2 的大小,其中x R1 12 x 1 2 x 4 1 x 1 解： x6 1 x4 2 x 6 x 4 x 2 x 14 2 x x 2 x 2 1 x 1 x21 x21 2 x 21 6 x 4 x 2 x . 当x 1 时,6 x 14 x 2 x ；当x 1 时,说明：两个实数比较大小,通常用作差法来进行,其一般步骤是：第一步：作差；其次 步：变形,常接受配方,因式分解等恒等变形手段；第三步：定号,贵州省

4、是能确定是大于0,仍是等于0,仍是小于0最终得结论概括为“三步,结论” ,这里的“变形”一步最为关键例3 x R,比较 x 1 x 2 x 2 1 与 x 1 （x 2 2 分析：直接作差需要将 x 1 x 2 x 1 与 x 1 （2 2式子冗长,可否考虑依据两个式子特点,予以变形,再作差x 1 ）的大小2 x x 1 ）开放,过程复杂,解： x 1 x 2 x 1 = x 1 （x 22 x 1 x 2 x 1 x 1 1 x 2x 1 2 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2x 2 2就有 x R x 1 x 2 x 1 x 时,2x x 1）x 1 x 22 x 1 x 2x 1

5、 1 x 221 2 11 x x 1 xx 2 21 （2 x 2 x 1 ）恒成立x 1 x x 2 1 ,到x 1 ,1 10 2说明：有的确问题直接作差不简洁判定其符号,这时可依据两式的特点考虑先变形,比较易于判定符号时,再作差,予以比较,如此例就是先变形后,再作差例4 设x R,比较1 与1 x 的大小1 x x ；1x ；11x 解：作差11 x 2 x ,1 x 1 x 1）当x 0 时,即2 x 0 ,111 x 1 x 2）当1 x 0 ,即x 1 时,2 x 0,11 x 1 x 3）当1 x 0 但x 0,即1 x 0 或x 0 x 2 1 x 0 ,1 x 时,说明：如

6、此题作差,变形,变形到最简形式时,由于式中含有字母,不能定号,必需对字母依据式子具体特点分类争辩才能定号此时要留意分类合理恰当第 2 页,共 9 页学习必备16 18 例5 比较18 与16 的大小欢迎下载分析：两个数是幂的形式,比较大小一般接受作商法；解：16 18 18 16 16 19 16 8 1 16 916 然后确定大18 16 2 16 2829 8 2 0 , 1 916 1 , 8218 16 0 , 16 18 18 16 . 说明：求商法比大小的变形要围绕与1 比大小进行例6 设a0, b0 ,且ab ,比较：a a b b b a 与a b 的大小；分析：比较大小一般方

7、法是求差法或求商法,利用不等式的性质进行变形,小；解：a ba b a b b a a b a a bb1 比大小从而确定两个数的大小. b aa b 当ab0 时,a 1 , a b 当ba0 时,0a 1 , bb0 , a a b1b a a b 1 ba b0 a a b 1 即ba ba b 1 ,b aa b 又b a a b 0 ,a a b a a b a b 说明：求商法的基本步骤是：求商,变形,与例7实数a,b,c,d 满意条件：ab, c d；a c b c 0；d badbd0 ,就有A a c dbB c abCa c bdD c ad（天津市2022 年南开中学期末

8、试题）分析：先由条件分析出 a,b c,d 的关系,依据条件利用用数轴数形结合比 出大小与解：a c b c 0 ,a,b 与c 同侧a dbd 0 ,a,b 与d 异侧a b,c d把 a,b,c,d 标在数轴上,只有下面一种情形第 3 页,共 9 页由此得出c ad学习必备欢迎下载b ,此题选D说明：比较大小时可以借助于数轴,利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置,这样简洁看出几个数之间的大小关系,特殊是比较的个数较多时适用例8 已知 1ab 1；1ab 3,求：3a b 的取值范畴分析：此题是给代数式的字母的范畴,求另外代数式的范畴分为两步来进行：1 利用待定系数法将代数式 3a

9、b 用 a b 和a b 表示2 利用不等式性质及题目条件确定3a b 的范畴解：设：3a b xa b y a b x ya x yb x y 3x 1x y 1y 2由+ 2 得：1 2 a b 2a b 132即：1 3a b 7 说明：此题的一种典型错误做法,如下：当1ab 1,1 a b 3, 0 2a 4 ,即：0a21a b 1 , 3b a 142b 0即：2b003a 6 , 0b2 , 03a b8此解法的错误缘由是由于a 与b 是两个相互联系,相互制约的量,而不是各自独立的,a b 取到最大值或最小值时,a b 不愿定能取到最值,所以用以上方法可能扩大变量的范畴防止出错的

10、方法是通过待定系数法“整体代入” ,见解题过程例9 判定以下各命题的真假,并说明理由（1）如 ac 2bc 2 ,就a b. （2）如a b ,就 1a 1 . b（3）如a b,c 0 ,就 c c . （4）如 a b,c d ,就a c b d. a b 2 m m（5）如a b 0, a c ,就 a bc. （6）如a b, m N,就 a b . 分析：利用不等式的性质来判定命题的真假解：（1）2 ac 2 bc 2 c 010a b ,是真命题c2 2 ac 2 bc 第 4 页,共 9 页学习必备欢迎下载0 ,（2）可用赋值法：a 3, b 2 ,有 1 1,是假命题a b也可

11、这样说明：1 1 ba ,a b,只能确定baa b ab 但ab 的符号无法确定,从而 1 1的符号确定不了,所以 1a b a1 b无法得到,实际上有：a b, ab 011 . baa b, ab 01 1. ab（3）与（2）类似,由ab11c c ,从而abc c 是假命题abababc 0 （4）取特殊值：a5,b 1,c 2, d 3. 有a c b d ,是假命题定理3 的推论是同向不等式可相加,但同向不等式相减不愿定成立只有异向不等式可相减,即ab, c da c b d. 是真命题（5）ab0a2ab a2 bc ,a0ac ab bc b 0 （6）定理4 成立的条件为必

12、需是正数举反例：a3, b 4, m m 2 ,就有a m b . 要说明一个命题说明：在利用不等式的性质解题时,确定要留意性质定理成立的条件是假命题可通过举反例例10 求证：a b, 1 1 a 0,b 0. a b分析：把已知的大小关系转化为差数的正负,再利用不等式的性质完成推理证明：利用不等式的性质,得a b a b0 a, b 异1 1 1 10 ab0 ab 0 ,号 a b a 0,b 0. a b b a ab 例 11 如a b, c d,就下面不等式中成立的一个是（）（A ）a d b c （B）ac bd （C）a b（D）d a c bc d解：由不等式的性质知：（A ）

13、,（B）,（C）成立的条件都不充分,所以选（D）,其实（D）第 5 页,共 9 页学习必备 欢迎下载正是异向不等式相减的结果abdac bda c b. c d说明：本的解法都是不等式性质的基本应用,对于不等式的基本性质要逐条把握精确,以便灵敏应用例12 如 1 1 ,就下面各式中恒成立的是（）（A ）2 0（B）2 1（C）1 0（D）1 1分析 此题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形,应看到,已知条件中含有两个内容,即 1 1 ,1 1 和,依据不等式的性质,可得 1 1 ,0 ,继而得到 2 2 且 0 ,故 2 0 ,因此选A 例13 如a b c ,就确定成立的不等式是（）A

14、a c b c B ab ac Ca c b c D 1 1 1a b c 分析：A 错,当 a b, c 0 时有a c b c ；同样B 错；D 没有考虑各数取零和正负号的关系,所以也不对应选C,由于不等式两边同时加上一个任意数（此题是c ）,原不等式成立说明：这类题可以接受特例法：令c 0 即得C 成立bc 例14 已知：ab,ef,c 0 ,求证：f ace 分析：要证明的式子中,左右均为二项差,其中都有哪一项两字母积的形式,因此在证明时,对两项积要留意性质的使用,对两项差的证明要留意使用同向加性或异向减性来处理证明：ab,c0,acbc,acbc又fe,由同向加性可得：f ace b

15、c 说明：此题仍可接受异向减性来处理：fe,acbc,f ace bc做这类题过程并不复杂,关键是记准性质,并能正确地应用2例15 已知集合I R,A x | x 5x 14,B x | x | y 2, y A , 求：A B 分析：要求A B ,需要先求集合A 和B ,从已知来看,A 的范畴简洁求,B 的元素由y A 可以推算,但在推算过程中,要留意运用不等式的性质2解：x 5 x 14 0 且 R, 2 x 7. I 第 6 页,共 9 页A 2 xx 5x 14 0学习必备x 欢迎下载x 27 . y A, 2 y 7. 4 y 2 5. | x | y 2, 4 | x | 5, |

16、 x | 5. 5 x 5. B x 5 x 5 . A B x 2 x 5. 说明：此题中的条件 I R ,意在明确集合 A 中的元素为R ,如去掉此条件,会显现不确定的情形比如,2 x 7 的实数和 2 x 7 的整数明显是有区分的另外,这里集合B 的元素是通过集合 A 的元素求出的,解题时,确定要看清例16 设a 和b 都是非零实数,求不等式 a b 和 1 1同时成立的充要条件a b分析：此题是求两个不等式同时成立的充要条件,因此,这两个不等式不能分开来讨论假如分开争辩,就a b 成立的条件就是a b 本身；而 1 1 成立的条件就是 a 与 b 同a b号,且 a b ,但这个条件只

17、是 1 1的一个充分条件,并且与第一个不等式 a b 是冲突a b的所以必需争辩这两个不等式同时成立的条件明显,应当从求它们同时成立的必要条件入手解：先求 a b ,1 a 1b 同时成立的必要条件,即当a b ,1a 1b 同时成立时,a与 b应具备什么条件a b, a b 0, 由 1 1,得 b a 0. a b ab 由 ab 0 可知ba 0 ,再由 ba 0 知ab 0 ,即a 与b 异号,因此a 0bab 是不等式 a b 与 1 1 同时成立的必要条件a b再求a b ,1 1 同时成立的充分条件a b事实上,当a0 b 时,必有a b ,且 10, 10 ,因而 1 1 成立

18、从而 a 0ba b a b是不等式 a b ,1 1 同时成立的充分条件a b因此,两个不等式 a b ,1 1 同时成立的充要条件是 a0 b a b说明：此题结果说明,a b 与 1 1 同时成立,其充要条件是a 为正数,b 为负数这a b与 1 1成立的条件 ab 0 ,b a 不要混淆解此题是从必要条件入手的,即如 a b ,a b1 1 同时成立,就要争辩从不等式 1 1 和 a b 看a 与b 的大小有什么关系,从中得出a b a b第 7 页,共 9 页学习必备欢迎下载11能否同时成立从结论（a0 b ）,再把这个结论作为一个充分条件去验证a b 及ab而解决了此题例17 已知函数f x ax 2 c 中意：4 f 1 1, 1 f 2 5.就f 3 应中意（）（A ）7 f 3 26 （B）4 f 3 15 （C）1 f 3 20 （D）28 f 3 35 3 3分析：假如能用f 1 与f 2 将f 3 “线性”表示出：f