2021版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.9函数模型及其应用课件文北师大版

1、2.9函数模型及其应用基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.几类函数模型知识梳理函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb (a、b为常数，a0)反比例函数模型f(x) b (k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb (a，b为常数，a0) 函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调_单调_单调递增增长速度越来越快越来越慢相对

2、平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与 平行随x的增大逐渐表现为与 平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn0)的函数模型称为“对勾”函数模型：判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)幂函数增长比直线增长更快.()(3)不存在x0，使 ()(4)在(0，)上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度.()(5)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻.()思考辨析 1

3、.(教材改编)已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到A.100只 B.200只C.300只 D.400只考点自测答案解析由题意知100alog3(21)，a100.y100log3(x1)，当x8时，y100log39200.2.若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为 答案解析根据题意得解析式为h205t(0t4)，其图像为B. 3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为答

4、案解析设年平均增长率为x，则(1x)2(1p)(1q)， 4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为A.3 B.4 C.6 D.12答案解析设隔墙的长度为x(0 x0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为 答案解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，应随时间增大而增大，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.题型二已知函数模型的实际问题例2(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的

5、质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg.答案解析19由图像可求得一次函数的解析式为y30 x570，令30 x5700，解得x19.(2)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案解析16容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则t24，所以再经过16 min.思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定

6、系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.跟踪训练2(2015四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时.答案解析24 题型三构造函数模型的实际问题命题点1构造二次函数模型例3(2016武汉模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30 R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是A.4,8 B.6,10C.4%,

7、8% D.6%,10%根据题意得，要使附加税不少于128万元，需(30 R)160R%128，整理得R212R320，解得4R8，即R4,8.答案解析命题点2构造指数函数、对数函数模型例4光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y.(1)写出y关于x的函数解析式；解答光线通过1块玻璃后，强度y(110%)k0.9k；光线通过2块玻璃后，强度y(110%)0.9k0.92k；光线通过3块玻璃后，强度y(110%)0.92k0.93k；光线通过x块玻璃后，强度y0.9xk.故y关于x的函数解析式为y0.9xk(xN).(2)至少通过多少块这样的玻璃，光

8、线强度能减弱到原来的 以下？(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解答且xN，所以xmin14.故至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的 以下.命题点3构造分段函数模型例5(2016武汉模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20 x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0 x200时，求函数v(x

9、)的表达式；解答由题意可知当0 x20时，v(x)60；当20 x200时，设v(x)axb，显然v(x)axb在20,200上是减函数，故函数v(x)的表达式为(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)解答依题意并由(1)可得当0 x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当且仅当x200 x，即x100时，等号成立，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时.思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条

10、件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.跟踪训练3(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过_小时才能开车.(精确到1小时)答案解析5设经过x小时才能开车.由题意得0.3(125%)x0.09，0.75x0.3，xlog0.750.34.19.x最小为5.(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20

11、 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)则总利润最大时，该门面经营的天数是_.答案解析300由题意，总利润所以当x300时，ymax25 000，当x400时，y60 000100 x20 000，综上，当x300时，总利润最大为25 000元.典例(12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(

12、2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 函数应用问题答题模板系列2思维点拨规范解答答题模板根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论.返回解(1)当0 x40时，WxR(x)(16x40)6x2384x40，2分(2)当0 x40时，W6(x32)26 104，所以WmaxW(32)6 104； 6分即x50(40，)时，取等号，所以W取最大值为5 760.10分综合知，当x32时，W取得最大值6 104万美元.12分返回解函数应用题的一般步骤：第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二

13、步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.返回课时作业1.在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：答案解析则对x，y最适合的拟合函数是A.y2x B.yx21C.y2x2 D.ylog2x根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意.12345678910111213

14、x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是答案解析12345678910111213123456789101112133.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是A.118元 B.105元 C.106元 D.108元答案解析设进货价为a元，由题意

15、知132(110%)a10%a，解得a108.4.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为A.13 m3 B.14 m3 C.18 m3 D.26 m3答案解析设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，则10m(x10)2m16m，解得x13.12345678910111213123456789101112135.(2016北京朝阳区统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分

16、流x(0 x0).则当年广告费投入_万元时，该公司的年利润最大.答案解析4故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大.12345678910111213123456789101112138.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_，经过5小时，1个病毒能繁殖为_个.答案解析2ln 21 024当t0.5时，y2，k2ln 2，ye2tln 2，当t5时，ye10ln 22101 024.9.(2016宝鸡模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.答案

17、解析20设内接矩形另一边长为y，所以面积Sx(40 x)x240 x(x20)2400(0 xa)以及实数x(0 x1)确定实际销售价格cax(ba).这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x的值等于_.答案解析12345678910111213bc(ba)(ca)，(ca)2(ba)2(ba)(ca)，两边同除以(ba)2，得x2x10，1234567891011121311.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为va (其

18、中a、b是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a、b的值；解答由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，12345678910111213(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解答所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v2，所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.1234567891011121312.经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)2t200 (1t50，tN).前30天价格为g(t) 30 (1t30，tN)，后20天价格为g(t)45 (31t50，tN).(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；解答依题意得12345678910111