高中数学解题思维策略

1、.：.；导 读数学家G . 波利亚在中说过：数学教学的目的在于培育学生的思想才干，培育良好思想质量的途径，是进展有效的训练，本战略结合数学教学的实践情况，从以下四个方面进展讲解：一、数学思想的变通性 根据题设的相关知识，提出灵敏想象和解题方案二、数学思想的反思性 提出独特见解，检查思想过程，不盲从、不轻信。三、数学思想的严密性 调查问题严厉、准确，运算和推理准确无误。四、数学思想的开辟性 对一个问题从多方面思索、对一个对象从多种角度察看、对一个标题运用多种不同的解法。什么转变，从而培育他们的思想才干。的即时性、针对性、适用性，已在教学实际中得到了全面验证。一、高中数学解题思想战略第一讲 数学思

2、想的变通性一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必需具有思想的变通性擅长根据题设的相关知识，提出灵敏的想象和解题方案。根据数学思想变通性的主要表达，本讲将着重进展以下几个方面的训练： 1擅长察看 心思学通知我们：觉得和知觉是认识事物的最初级方式，而察看那么是知觉的高级形状，是一种有目的、有方案、比较耐久的知觉。察看是认识事物最根本的途径，它是了解问题、发现问题和处理问题的前提。任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想处理它，就必需根据标题的详细特征，对标题进展深化的、细致的、透彻的察看，然后仔细思索，透过外表景象看其本质，这样才干确定解题思绪，找到

3、解题方法。例如，求和.这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且，因此，原式等于问题很快就处理了。2擅长联想 联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和根底知识的联络，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由察看到的特征，灵敏运用有关知识，做出相应的联想，将问题翻开缺口，不断深化。例如，解方程组.这个方程指明两个数的和为，这两个数的积为。由此联想到韦达定理，、是一元二次方程 的两个根，所以或.可见，联想可使问题变得简单。3擅长将问题进展转化数学家G . 波利亚在中说过：数学解题是命题的延续变换。可见，解题过程是经过问题的转化才干完成的。转化是解

4、数学题的一种非常重要的思想方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把笼统问题转化成详细问题，把未知问题转化成知问题。在解题时，察看详细特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。例如，知,求证、三数中必有两个互为相反数。恰当的转化使问题变得熟习、简单。要证的结论，可以转化为：思想变通性的对立面是思想的保守性，即思想定势。思想定势是指一个人用同一种思想方法处理假设干问题以后，往往会用同样的思想方法处理以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思想遭到限制，它是提高思想变通性的极大的妨碍，必需加以抑制。综上所述，擅长察看、擅长联想、擅出息展问题转化，是数学思想变通性的详细

5、表达。要想提高思想变通性，必需作相应的思想训练。 二、思想训练实例察看才干的训练 虽然观察看起来是一种外表景象，但它是认识事物内部规律的根底。所以，必需注重察看才干的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据标题的详细特征，采用特殊方法来解题。例1 知都是实数，求证 思绪分析 从标题的外表方式察看到，要证的结论的右端与平面上两点间的间隔 公式很类似，而xyO图121左端可看作是点到原点的间隔 公式。根据其特点，可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思想变通的表达。证明 无妨设如图121所示，那么 在中，由三角形三边之间的关系知： 当且仅当O在AB上时，等号成立。 因此， 思想妨碍 很多学生看到这

6、个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁。学生没能从外表方式上察看到它与平面上两点间间隔 公式类似的缘由，是对这个公式不熟，进一步讲是对根底知识的掌握不结实。因此，平常应多留意数学公式、定理的运用练习。知，试求的最大值。解 由 得又当时，有最大值，最大值为思绪分析 要求的最大值，由知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联络到，这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法察看到了隐蔽条件，表达了思想的变通性。思想妨碍 大部分学生的作法如下：由 得 当时，取最大值，最大值为这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要留意审题，不仅能从外表方式上发现

7、特点，而且还能从知条件中发现其隐蔽条件，既要留意主要的知条件，又要留意次要条件，这样，才干正确地解题，提高思想的变通性。有些问题的察看要从相应的图像着手。知二次函数满足关系，试比较与的大小。xyO2图122思绪分析 由知条件可知，在与左右等间隔 的点的函数值相等，阐明该函数的图像关于直线对称，又由知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致图像简捷地解出此题。解 如图122由，知是以直线为对称轴，开口向上的抛物线它与间隔 越近的点，函数值越小。思想妨碍 有些同窗对比较与的大小，只想到求出它们的值。而此题函数的表达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的缘由，是没有充分发掘知条件的含义，

8、因此思想遭到妨碍，做题时要全面看问题，对每一个知条件都要仔细琢磨，找出它的真正含义，这样才干顺利解题。提高思想的变通性。联想才干的训练在中，假设为钝角，那么的值(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定思绪分析 此题是在中确定三角函数的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式可得下面解法。解 为钝角，.在中且故应选择B思想妨碍 有的学生能够觉得此题条件太少，难以下手，缘由是对三角函数的根本公式掌握得不结实，不能准确把握公式的特征，因此不能很快联想到运用根本公式。假设思绪分析 此题普通是经过因式分解来证。但是，假设留意察看知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式类似。于

9、是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。证明 当时，等式 可看作是关于的一元二次方程有等根的条件，在进一步察看这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有： 即 假设，由知条件易得 即,显然也有.知均为正实数,满足关系式,又为不小于的自然数，求证:思绪分析 由条件联想到勾股定理,可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。证明 设所对的角分别为、那么是直角，为锐角，于是 且当时，有于是有即 从而就有 思想妨碍 由于这是一个关于自然数的命题，一些学生都会想到用数学归纳法来证明，难以进展数与形的联想，缘由是平常不留意代数与几何之间的联络，单纯学代数，学几何，因此不能将

10、标题条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。问题转化的训练我们所遇见的数学题大都是陌生的、复杂的。在解题时，不仅要先察看详细特征，联想有关知识，而且要将其转化成我们比较熟习的，简单的问题来解。恰当的转化，往往使问题很快得到处理，所以，进展问题转化的训练是很必要的。 eq oac(,1) 转化成容易处理的明显标题 例11 知求证、中至少有一个等于1。思绪分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟习的方式。、中至少有一个为1，也就是说中至少有一个为零，这样，问题就容易处理了。证明 于是 中至少有一个为零，即、中至少有一个为1。思想妨碍 很多学生只在知条件上下

11、功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其缘由是不能把要证的结论“翻译成数学式子，把陌生问题变为熟习问题。因此，多练习这种“翻译，是提高转化才干的一种有效手段。直线的方程为，其中；椭圆的中心为，焦点在轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为，问在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点的间隔 等于该点到直线的间隔 。思绪分析 从标题的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线 1是，又从知条件可得椭圆的方程为 2因此，问题转化为当方程组1、2有四个不同的实数解时，求的取值范围。将2代入1得： 3确定的范围，实践上就是求3有两个不等正根的充要条件，解不等

12、式组： 在的条件下，得 此题在解题过程中，不断地把问题化归为规范问题：解方程组和不等式组的问题。 eq oac(,2) 逆向思想的训练逆向思想不是按习惯思想方向进展思索，而是从其反方向进展思索的一种思想方式。当问题的正面思索有妨碍时，应思索问题的反面，从反面入手，使问题得到处理。例13 知函数，求证、中至少有一个不小于1.思绪分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少等字样，或以否认方式给出时，普通可思索采用反证法。证明 反证法假设原命题不成立，即、都小于1。那么 得 ，与矛盾，所以假设不成立，即、中至少有一个不小于1。 eq oac(,3)

13、 一题多解训练 由于每个学生在察看时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因此，同一问题能够得到几种不同的解法，这就是“一题多解。经过一题多解训练，可使学生仔细察看、多方联想、恰当转化，提高数学思想的变通性。例14 知复数的模为2，求的最大值。解法一代数法设解法二三角法设yxOi-2i图123Z那么 解法三几何法如图123 所示，可知当时，解法四运用模的性质而当时，解法五运用模的性质 又第二讲 数学思想的反思性一、概述数学思想的反思性表如今思想活动中擅长提出独立见解，精细地检查思想过程，不盲从、不轻信。在处理问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的处理问题的方法，它和发明性思想存在着高度相关。

14、本讲重点加强学生思想的严密性的训练，培育他们的发明性思想。二、思想训练实例(1) 检查思绪能否正确，留意发现其中的错误。 例1 知，假设求的范围。错误解法 由条件得 2得 2得 +得 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个现实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的。当取最大小值时，不一定取最大小值，因此整个解题思绪是错误的。正确解法 由题意有解得：把和的范围代入得 在此题中可以检查出解题思绪错误，并给出正确解法，就表达了思想具有反思性。只需结实地掌握根底知识，才干反思性地看问题。证明勾股定理：知在中，求证错误证法 在中，而，即错误分析 在现行的中学体系中，这个公式本身是从勾股定理推出来的。这

15、种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的，而且不易觉察。因此，在学习中对所学的每个公式、法那么、定理，既要熟习它们的内容，又要熟习它们的证明方法和所根据的论据。这样才干防止循环论证的错误。发现此题犯了循环论证的错误，正是思想具有反思性的表达。(2) 验算的训练验算是解题后对结果进展检验的过程。经过验算，可以检查解题过程的正确性，加强思想的反思性。知数列的前项和，求错误解法 错误分析 显然，当时，错误缘由，没有留意公式成立的条件是因此在运用时，必需检验时的情形。即：实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点。错误解法 将圆与抛物线 联立，消去，得 由于有

16、两个公共点，所以方程有两个相等正根，得 解之，得错误分析 如图221；222显然，当时，圆与抛物线有两个公共点。xyO图222xyO图221要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程有一正根、一负根；或有两个相等正根。当方程有一正根、一负根时，得解之，得因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点。思索题：实数为何值时，圆与抛物线，有一个公共点；有三个公共点；有四个公共点；没有公共点。养成验算的习惯，可以有效地加强思想反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域能够会发生变化，这样就有能够产生增根或失根，因此必需进展检验，舍弃增根，找回失根。(3

17、) 独立思索，敢于发表不同见解受思想定势或他人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出本人的看法，这不利于加强思想的反思性。因此，在处理问题时，应积极地独立思索，敢于对标题解法发表本人的见解，这样才干加强思想的反思性，从而培育发明性思想。30支足球队进展淘汰赛，决出一个冠军，问需求安排多少场竞赛？解 由于每场要淘汰1个队，30个队要淘汰29个队才干决出一个冠军。因此应安排29场竞赛。思 路 分 析 传统的思想方法是：30支队竞赛，每次出两支队，应有15742129场竞赛。而上面这个解法没有盲目附和，思索到每场竞赛淘汰1个队，要淘汰29支队，那么必有29场竞赛。解方程调查方程两端相应的函数，它们的图

18、象无交点。所以此方程无解。例7 设是方程的两个实根，那么的最小值是 思绪分析 本例只需一个答案正确，设了3个圈套，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：有的学生一看到，常受选择答案A的诱惑，盲从附和。这正是思想缺乏反思性的表达。假设能以反思性的态度调查各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。原方程有两个实根，当时，的最小值是8；当时，的最小值是18；这时就可以作出正确选择，只需B正确。第三讲 数学思想的严密性二、概述在中学数学中，思想的严密性表现为思想过程服从于严厉的逻辑规那么，调查问题时严厉、准确，进展运算和推理时准确无误。数学是一门具有高度笼统性和精细逻辑性的科

19、学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知程度和心里特征等要素的影响，中学生的思想过程经常出现不严密景象，主要表如今以下几个方面：概念模糊 概念是数学实际体系中非常重要的组成部分。它是构成判别、推理的要素。因此必需弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判别和推理奠定根底。概念不清就容易堕入思想混乱，产生错误。判别错误 判别是对思想对象的性质、关系、形状、存在等情况有所断定的一种思想方式。数学中的判别通常称为命题。在数学中，假设概念不清，很容易导致判别错误。例如，“函数是一个减函数就是一个错误判别。推理错误 推理是运用知判别推导出新的判别的思想方式。它是判别和判别的结合。任何一个论证都是由

20、推理来实现的，推理出错，阐明思想不严密。例如，解不等式解 或 这个推理是错误的。在由推导时，没有讨论的正、负，理由不充分，所以出错。二、思想训练实例思想的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。(1) 有关概念的训练概念是笼统思想的根底，数学推理离不开概念。“正确了解数学概念是掌握数学根底知识的前提。试行草案不等式 错误解法 错误分析 当时，真数且在所求的范围内因 ，阐明解法错误。缘由是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零这一条件呵斥解法错误，表现出思想的不严密性。正确解法 求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。错误解法 设所求的过点的直线为，那么它与抛物线的交点为，

21、消去得：整理得 直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为错误分析 此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为时，没有思索与斜率不存在的情形，实践上就是成认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只需一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有思索相切的情况，只思索相交的情况。缘由是对于直线与抛物线“相切和“只需一个交点的关系了解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要思索它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作思索，表现出思想不严密。正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，由于过点，所以即轴，它正好与抛物线相切

22、。当所求直线斜率为零时，直线为平行轴，它正好与抛物线只需一个交点。设所求的过点的直线为那么， 令解得所求直线为综上，满足条件的直线为： 判别的训练呵斥判别错误的缘由很多，我们在学习中，应注重如下几个方面。留意定理、公式成立的条件数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。假设忽视了成立的条件，解题中难免出现错误。实数，使方程至少有一个实根。错误解法 方程至少有一个实根，或错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必需经过严厉推行后方可运用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此标题盲目地把它推行到复系数一元二次方程中，呵斥解

23、法错误。正确解法 设是方程的实数根，那么由于都是实数，解得 例4 知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程。错解1 故所求的双曲线方程为错解2 由焦点知故所求的双曲线方程为错解分析 这两个解法都是误以为双曲线的中心在原点，而题中并没有通知中心在原点这个条件。由于判别错误，而呵斥解法错误。随意添加、脱漏题设条件，都会产生错误解法。正解1 设为双曲线上恣意一点，由于双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知 整理得 正解2 依题意，设双曲线的中心为那么 解得 所以 故所求双曲线方程为 留意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用我们知道：假设成立，那么成立，即，那么称是的充分

24、条件。假设成立，那么成立，即，那么称是的必要条件。假设，那么称是的充分必要条件。充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用忽略，就会出错。例5 解不等式错误解法 要使原不等式成立，只需 解得错误分析 不等式成立的充分必要条件是：或 原不等式的解法只思索了一种情况，而忽视了另一种情况，所思索的情况只是原不等式成立的充分条件，而不是充分必要条件，其错误解法的本质，是把充分条件当成了充分必要条件。正确解法 要使原不等式成立，那么PC(3,0)yxO图321 MN或，或原不等式的解集为 例6轨迹问题求与轴相切于右侧

25、，并与也相切的圆的圆心的轨迹方程。错误解法 如图321所示，知C的方程为设点为所求轨迹上恣意一点，并且P与轴相切于M点，与C相切于N点。根据知条件得，即化简得 错误分析 此题只思索了所求轨迹的纯粹性即所求的轨迹上的点都满足条件，而没有思索所求轨迹的完备性即满足条件的点都在所求的轨迹上。现实上，符合标题条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与知圆内切，可以发现以轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的间隔 为半径不等于3的圆也符合条件，所以也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是。因此，在求轨迹时，一定要完好的、细致地、缜密地分析问题，这样，才干保证所求轨迹的纯粹性和完备性。防止以偏概全的错误以偏

26、概全是指思索不全面，脱漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思想的不严密性。例7 设等比数列的全项和为.假设，求数列的公比.错误解法 错误分析 在错解中，由时，应有在等比数列中，是显然的，但公比完全能够为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进展整理变形。正确解法 假设，那么有但，即得与题设矛盾，故.又依题意 可得 即由于，所以所以所以 阐明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第21题，不少考生的解法同错误解法，根据评分规范而痛失2分。防止直观替代论证我们知道直观图形经常为我们解题带来方便。但是，假设完全以图形的直观联络为根据来进展推理，这就会使

27、思想出现不严密景象。O图322例8 如图322，具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于.知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程。错误解法 依题意，可知曲线是抛物线，在内的焦点坐标是由于二面角等于，且所以设焦点在内的射影是，那么，位于轴上，从而所以所以点是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线在内的射影的曲线方程是错误分析 上述解答错误的主要缘由是，凭直观误以为。正确解法 在内，设点是曲线上恣意一点O图323MNH如图323过点作，垂足为，过作轴，垂足为衔接，那么轴。所以是二面角的平面角，依题意，.在又知轴或与重合，轴或与重合，设，那么 由于点在

28、曲线上，所以即所求射影的方程为 推理的训练数学推理是由知的数学命题得出新命题的根本思想方式，它是数学求解的中心。以知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为根据，选择恰当的解题方法，到达解标题的，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必需留意所运用的命题之间的相互关系充分性、必要性、充要性等，做到思索缜密、推理严密。例9 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，知点到这个椭圆上的最远间隔 是，求这个椭圆的方程。错误解法 依题意可设椭圆方程为那么 ，所以 ，即 设椭圆上的点到点的间隔 为，那么 所以当时，有最大值，从而也有最大值。所以 ，由此解得：于是所求椭圆的方程为错解分析 虽然上面

29、解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当时，有最大值，这步推理是错误的，没有思索到的取值范围。现实上，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，应分类讨论。即：假设，那么当时，从而有最大值。于是从而解得所以必有，此时当时，从而有最大值，所以，解得于是所求椭圆的方程为例10 求的最小值错解1 错解2 错误分析 在解法1中，的充要条件是即这是自相矛盾的。在解法2中，的充要条件是这是不能够的。正确解法1 其中，当正 确 解 法2 取正常数，易得其中“取“的充要条件是因此，当第四讲 数学思想的开辟性一、概述数学思想开辟性指的是对一个问题能从多方面思索；对一个对象能从多

30、种角度察看；对一个标题能想出多种不同的解法，即一题多解。“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，留意了横向联络，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯穿，这里所说的横向联络，主要是靠一题多解来完成的。经过用不同的方法处理同一道数学题，既可以开辟解题思绪，稳定所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，到达开发潜能，开展智力，提高才干的目的。从而培育创新精神和发明才干。在一题多解的训练中，我们要亲密留意每种解法的特点，擅长发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。数学思想的开辟性主要表达在：一题的多种解法例如 知复数满足，求的最大值。我们可以思

31、索用下面几种方法来处理：运用复数的代数方式；运用复数的三角方式；运用复数的几何意义；运用复数模的性质三角不等式；运用复数的模与共轭复数的关系；数形结合运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆与有公共点时，的最大值。一题的多种解释例如，函数式可以有以下几种解释：可以看成自在落体公式可以看成动能公式可以看成热量公式又如“1这个数字，它可以根据详细情况变成各种方式，使解题变得简捷。“1可以变换为：，等等。思想训练实例例1 知求证：分析1 用比较法。此题只需证为了同时利用两个知条件，只需求察看到两式相加等于2便不难处理。证法1 所以 分析2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用知的条件、定理和性质等

32、，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻觅命题成立的充分条件。因此，证明过程必需步步可逆，并留意书写规范。证法2 要证 只需证 xMyd图421O即 由于 所以只需证 即 由于最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。分析3 运用综合法综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理主要是平均值不等式进展推理、运算，从而到达证明需求证的不等式成立的方法证法3 即 分析4 三角换元法：由于知条件为两数平方和等于1的方式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进展三角代换的能够，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。证法4 可设 分析5 数形

33、结合法：由于条件可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而联络到点到直线间隔 公式，可得下面证法。证法5 如图4-2-1由于直线经过圆的圆心O，所以圆上恣意一点到直线的间隔 都小于或等于圆半径1，即 简评 五种证法都是具有代表性的根本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法4、证法5的方法有顺应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在详细运用过程中，根据标题的变化的需求适当进展选择。例2 假设求证：成等差数列。分析1 要证，必需有成立才行。此条件应从知条件中得出。故此得到直接的想法是展开知条件去寻觅转换。证法1 故 ，即 成等差数列。分析2 由于知条件具有轮换对称特点，此特点的充分利用

34、就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。证法2 设那么于是，知条件可化为：所以成等差数列。分析3 知条件呈现二次方程判别式的构造特点引人注目，提供了构造一个适宜上述条件的二次方程的求解的试探的时机。证法3 当时，由知条件知即成等差数列。当时，关于的一元二次方程：其判别式故方程有等根，显然1为方程的一个根，从而方程的两根均为1，由韦达定理知 即 成等差数列。简评：证法1是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。证法2简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证法3引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新颖的感受和启发。知，求的最小值。分析1 虽然所求函数的构造式具有两个字母，但知

35、条件恰有的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。解法1 设，那么二次项系数为故有最小值。当时， 的最小值为分析2 知的一次式两边平方后与所求的二次式有亲密关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。解法2 即即 当且仅当时取等号。 的最小值为分析3 配方法是处理求最值问题的一种常用手段，利用知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的方式，从而到达求最值的目的。解法3 设 当时，即的最小值为11Oxy图422分析4 由于知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。解法4 如图422，表示直线表示原点到直线上的点的间隔 的平方。显然其中以原点到直线的间隔 最短。此时，即所以的最小值为注 假设设那么问题还可转化为直线与圆有交点时，半径的最小值。简评 几种解法都有特点和代表性。解法1是根本方法，解法2、3、4都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联络起来，所以具有乖巧简捷的优点，特别是解法4，笼统直观，值得效仿。设求证：分析1 由知条件为实数这一特点，可提供设实系数二次方程的能够，在该二次方程有两个