2019-2020年高考数学一轮总复习8.4直线与圆、圆与圆的位置关系教案理新人教A版

1、019-2020年高考数学一轮总复习 8.4直线与圆、圆与圆的位置关系教案理新人教A版典例精析 题型一 直线与圆的位置关系的判断【例1】已知圆的方程 x2 + y2 = 2，直线y= x + b,当b为何值时,直线与圆有两个公共点；直线与圆只有一个公共点.【解析】方法一：(几何法)设圆心0(0,0)到直线y = x + b的距离为|b|=虬12+ 12 2，半径r = 2.当dv r时，直线与圆相交,|b|22，2 v bv 2,所以当一2v bv 2时，直线与圆有两个公共点当d= r时，直线与圆相切，也匸=羽，b= 2,所以当b=2时，直线与圆只有一个公共点 .方法二：(代数法)联立两个方程

2、得方程组消去 y 得 2x2 + 2bx + b2 2 = 0, = 16 4b2.当0，即一2v bv 2时，有两个公共点；当= 0，即b=2时，有一个公共点.【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯n【变式训练 1 】圆 2x2 + 2y2 = 1 与直线 xsin 0 + y 1 = 0( R, BMkn+ , k Z)的位置关系是()1J sin2 0 + 1A.相离B.相切C.相交D.不能确定【解析】选A.易知圆的半径r = ，设圆心到直线的距离为n 因为0工2 +

3、 k n , k乙所以0W sin 20 v 1, 所以守v dw 1,即d r，所以直线与圆相离. 题型二圆与圆的位置关系的应用【例2】如果圆C: (x a)2 + (y a)2 = 4上总存在两个点到原点的距离为1,求实数a的取值范围.【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆 Ox2+ y2 = 1上.当圆C与圆O有两个公共点时， 符合题意，故应满足 2 1v |OC| v 2+ 1, 所以 1 v a2 + a2v 3，即 v |a| v 2,所以一学V a v- 或 V a v冷2为所求a的范围.【变式训练2】两圆(x + 1)2 + (y 1)2 = r2和(x 2)2 + (y +

4、2)2 = R2相交于P, Q两点，若 点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(一1,1) , (2 , 2)，则过它们圆心的直x ( 1)y 1线方程为士彳=，即y 一 x.根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称-1).故由P(1,2)可得它关于直线y= x的对称点，即点 Q的坐标为(一2, 题型三圆的弦长、中点弦的问题【例 3】已知点 P(0,5)及圆 C: x2 + y2 + 4x 12y + 24= 0.(1)若直线I过点P且被圆C截得的线段长为4.3，求I的方程；求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)如图，AB

5、= 4 3, D是AB的中点，贝U AD= 2 3, AC= 4,在 Rt ADC中，可得 CD= 2.设所求直线的斜率为 k,则直线的方程为y 5= kx ,即kx y + 5= 0.| 2k 6+ 5|由点C到直线的距离公式1一1 = 2,寸 k2 + 13得k=-，此时直线I的方程为3x 4y + 20= 0.又直线I的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x = 0.所以所求直线为 x= 0或3x 4y + 20= 0.(也可以用弦长公式求解 设圆C上过点P的弦的中点为 D(x , y),因为 CD PD 所以=0,即(x + 2, y 6) (x , y 5) = 0 ,化简得轨迹方

6、程 x2 + y2 + 2x 11y + 30= 0.AB两端点的坐标【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法”，即设弦分别为 A(x1 , y1) , B(x2 , y2),中点为(x0 , y0), 由得 k= g2=xix?=x.x1 x2 y1 + y2 y0该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题的最 长弦和最短弦分【变式训练3】已知圆的方程为 x2+ y2 6x 8y = 0,设该圆过点(3,5)别为AC和BD,则四边形 ABCD勺面积为()A.10 6B.20 6C.30 6D.40 6【解析】选B.圆的方程化成标准方程(x 3)2 + (y 4)2 = 25

7、 ,过点(3,5)的最长弦为AC= 10 ,1最短弦为 BD= 2 52 12 = 4 6 , S= AC BD= 20 6.总结提高解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用I = 2 R2 d2(R表示圆的半径，d表示弦心距)求弦长比代数法要简便.处理直线与圆，圆与圆的位置关系，要全面地考查各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合题意，两圆相切应考虑外切和内切两种情况处理直线与圆的位置关系时，特别是有关交点问题时，为避免计算量过大， 常采用“设而不求”的方

8、法.2019-2020年高考数学一轮总复习8.5直线与圆的综合应用教案理 新人教A版题型一直线和圆的位置关系的应用【例 1】已知圆 C: (x 1)2 + (y 2)2 = 25 及直线 I : (2m+ 1)x + (m+ 1)y = 7m+ 4 (m R).求证：不论 m为何值，直线I恒过定点；判断直线I与圆C的位置关系； 求直线I被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程【解析】(1)证明：直线方程可写作x + y 4+ m(2x+ y 7) = 0,由方程组可得所以不论m取何值，直线I恒过定点(3,1). TOC o 1-5 h z 由(3 1)2 + (1 2)2 =5V 5,故点(

9、3,1)在圆内，即不论 m取何值，直线I总与圆C相交.由平面几何知识可知，当直线与过点M(3,1)的直径垂直时，弦|AB|最短.|AB| = 2 r2 |CM|2 = 2 25 (3 1)2 + (1 2)2 = 4 5,12m+ 11此匕时k =刁亍,即一=7 = 2,kCMm+11一 2解得m= 3代入原直线方程，得I的方程为2x y 5= 0.4【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解.一 1 一. .一 TOC o 1-5 h z 【变式训练1】若函数f(x) = eax的图象在x = 0处的切线I与圆C: x2 + y2= 1相离， 则P(a , b)与圆C的位置关系是()A

10、.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不能确定1aa【解析】选 B.f(x) = eax? f (x) = beax? f (0) = 11a又f(0)=：，所以切线I的方程为y+=匚(x 0)，即ax+ by + 1 = 0,bbb1 由I与圆C: x2 + y2= 1相离得 1? a2 + b2v 1,即点P(a , b)在圆内，故选 B.Qa2+ b2题型二和圆有关的对称问题【例2】设O为坐标原点，曲线 x2+ y2 + 2x 6y + 1 = 0上有两点P、Q关于直线x + my+ 4 =0对称，又满足=0.(1)求m的值；求直线PQ的方程.【解析】(1)曲线方程可化为(x + 1)2 +

11、(y 3)2 = 9，是圆心为(一1,3)，半径为3的圆. 因为点P, Q在圆上且关于直线 x + my+ 4 = 0对称，所以圆心(1,3)在直线x+ my+ 4= 0上，代入得 m= 1.因为直线PQ与直线y = x + 4垂直，所以设 P(x1 , y1) , Q(x2 , y2),则直线PQ的方程为y = x + b.将直线y= x+ b代入圆的方程，得 2x2 + 2(4 b)x + b2 6b+ 1 = 0, = 4(4 b)2 4X 2(b2 6b+ 1) 0,解得 2 3 2 v b V2+ 3 2.b2 6b+ 1b2 + 2b+ 1x1 + x2 = b 4, x1x2 =

12、y1y2 = ( x1 + b)( x2 + b) = b2 b(x1 + x2) + x1x2 =因为= 0,所以 x1x2 + y1y2 = 0,b2 6b+ 12b2 + 2b+ 1=0,得 b = 1.故所求的直线方程为 y= x + 1.【点拨】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容，解题时，一方面要能够正确地分析用向量表达式给出的题目的条件，将它们转化为图形中相应的位置关系， 另一方面还要善于运用向量的运算解决问题 .【变式训练2】若曲线x2+ y2 + x 6y + 3 = 0上两点P、Q满足关于直线 kx y + 4= 0对 称；OPLOQ则直线PQ的方程为1 1【解析

13、】由知直线 kx y + 4= 0过圆心(一, 3)，所以k = 2，故kPQ= -.设直线PQ的方程为y = 2x +1，与圆的方程联立消去 y,5 得 4x2 + (4 t)x + t2 6t + 3= 0.(*)设 P(x1 , y1) , Q(x2, y2)，由于 OPL OQ 所以 x1x2 + y1y2 = 0, TOC o 1-5 h z 1115即 x1x2 + ( x1 + t)( jx2 +1) = 0,所以(x1 + x2)( -t) + 4x1x2 +12 = 0.4(t 4)4(t2 6t + 3)、“ 口 35由(*)知，x1 + x2 =, x1x2 =，代入上式

14、，解得 t =或t = .55241315此时方程(*)的判别式 0.从而直线的方程为y = x+-或y = x+4,即x+ 2y 3= 0或2x+ 4y 5= 0为所求直线方程.题型三与圆有关的最值问题【例3】求与直线x+ y 2 = 0和曲线x2 + y2 12x 12y + 54= 0都相切的半径最小的圆的 标准方程.【解析】曲线x2 + y2 12x 12y + 54 = 0可化为(x 6)2 + (y 6)2 = 18,它表示圆心为(6,6)，半径为 3 2的圆.作出直线 x+ y 2= 0 与圆(x 6)2 + (y 6)2 = 18,由图形可知，当所求圆的圆心在直线y = x上时

15、，半径最小.设其半径为r，点(6,6)到直线x + y= 2的距离为5,2，所以2r+ 3 2 = 5 2，即 r =2 ,点(0,0)到直线x + y= 2的距离为2,所求圆的圆心为(2 .2cos 45 , 2 2sin 45 )，即(2,2),故所求圆的标准方程为(x 2)2 + (y 2)2 = 2.【点拨】解决与圆有关的最值问题时，要借助图形的几何性质，利用数形结合求解【变式训练3】由直线y= x+ 1上的点向圆C: (x 3)2 + (y + 2)2 = 1引切线，则切线长的最小值为（）A. 17B.3 2C. 19D.2 5【解析】选A.设M为直线y = x + 1上任意一点，过点 M的切线长为I，贝U I = |MC|2 r2 ,3 + 2+ 1当|MC|2最小时，I最小，此时 MC与直线y = x+ 1垂直，即|MC|2iin = （）2 = 18,故V2I的最小值为I：17.总结提高解决直线