9.3.1　平面向量基本定理 讲义 （word版含解析）

1、93向量基本定理及坐标表示93.1平面向量基本定理学习指导核心素养1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量数学抽象、数学运算：平面向量基本定理及其应用1平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内两个不共线的向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2基底两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底探究点1平面向量基本定理的理解 (多选)设e1，e2是不共线的两个向量，则下列各组向量能作为一组基底的是()Ae1与e1e2Be12e2与e22e1Ce12e2与4e22e1De1e2与e1e2【解析】A设e

2、1e2e1，则 eq blc(avs4alco1(1，,10，)无解，所以e1e2与e1不共线，即e1与e1e2能作为一组基底B设e12e2(e22e1)，则(12)e1(2)e20，则 eq blc(avs4alco1(120，,20，)无解，所以e12e2与e22e1不共线，即e12e2与e22e1能作为一组基底C因为e12e2 eq f(1,2)(4e22e1)，所以e12e2与4e22e1共线，即e12e2与4e22e1不能作为一组基底D设e1e2(e1e2)，则(1)e1(1)e20，则 eq blc(avs4alco1(10，,10，)无解，所以e1e2与e1e2不共线，即e1e2

3、与e1e2能作为一组基底【答案】ABD对基底的理解(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线若共线，则不能作基底，反之，则可作基底(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这组基底唯一线性表示出来设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1ay1bx2ay2b，则 eq blc(avs4alco1(x1x2，,y1y2.)提醒一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样 1设点O是ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是() eq o(AD,sup6()与 eq o(AB,sup6()

4、； eq o(DA,sup6()与 eq o(BC,sup6()； eq o(CA,sup6()与 eq o(DC,sup6()； eq o(OD,sup6()与 eq o(OB,sup6().ABCD解析：选B寻找不共线的向量组即可，在ABCD中， eq o(AD,sup6()与 eq o(AB,sup6()不共线， eq o(CA,sup6()与 eq o(DC,sup6()不共线；而 eq o(DA,sup6() eq o(BC,sup6()， eq o(OD,sup6() eq o(OB,sup6()，故可作为基底2.点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是()A e

5、q o(OA,sup6()， eq o(BC,sup6()B eq o(OA,sup6()， eq o(CD,sup6()C eq o(AB,sup6()， eq o(CF,sup6()D eq o(AB,sup6()， eq o(DE,sup6()解析：选B由题图可知， eq o(OA,sup6()与 eq o(BC,sup6()， eq o(AB,sup6()与 eq o(CF,sup6()， eq o(AB,sup6()与 eq o(DE,sup6()共线，不能作为基底向量， eq o(OA,sup6()与 eq o(CD,sup6()不共线，可作为基底向量探究点2用基底表示平面向量如图

6、，已知在梯形ABCD中，ADBC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC3AD， eq o(BA,sup6()a， eq o(BC,sup6()b.试用基底a，b表示 eq o(EF,sup6()， eq o(DF,sup6().【解】连接FA，DF(图略).因为ADBC，且AD eq f(1,3)BC，所以 eq o(AD,sup6() eq f(1,3) eq o(BC,sup6() eq f(1,3)b.所以 eq o(AE,sup6() eq f(1,2) eq o(AD,sup6() eq f(1,6)b.因为 eq o(BF,sup6() eq f(1,2) eq o(BC,su

7、p6() eq f(1,2)b.所以 eq o(FA,sup6() eq o(BA,sup6() eq o(BF,sup6()a eq f(1,2)b.所以 eq o(EF,sup6() eq o(EA,sup6() eq o(AF,sup6() eq o(AE,sup6() eq o(FA,sup6() eq f(1,6)b eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)b) eq f(1,3)ba， eq o(DF,sup6() eq o(DA,sup6() eq o(AF,sup6()( eq o(AD,sup6() eq o(FA,sup6() eq blcrc(avs4al

8、co1(f(1,3)bblc(rc)(avs4alco1(af(1,2)b) eq f(1,6)ba.用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解 1如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，若 eq o(AB,sup6()a， eq o(AC,sup6()b，则 eq o(AD,sup6()()Aa eq f(1,2)bB eq f(1,2)abCa eq f(1,2)bD eq f(1,2)ab解析：选D连接CD，OD，由点C，D是半圆弧的三等分点，可得C

9、DAB，且 eq o(CD,sup6() eq f(1,2) eq o(AB,sup6() eq f(1,2)a，所以 eq o(AD,sup6() eq o(AC,sup6() eq o(CD,sup6() eq f(1,2)ab，故选D2.如图所示，在OBC中，点A为BC的中点，点D是线段OB上靠近点B的一个三等分点，CD，OA相交于点E，设 eq o(OA,sup6()a， eq o(OB,sup6()b.(1)用a，b 表示 eq o(OC,sup6()， eq o(DC,sup6()；(2)若 eq o(OE,sup6() eq o(OA,sup6()，求.解：(1)因为 eq o(

10、OC,sup6() eq o(OB,sup6()2 eq o(OA,sup6()，所以 eq o(OC,sup6()2 eq o(OA,sup6() eq o(OB,sup6()2ab， eq o(DC,sup6() eq o(OC,sup6() eq o(OD,sup6()2ab eq f(2,3)b2a eq f(5,3)b.(2)因为 eq o(CE,sup6() eq o(OE,sup6() eq o(OC,sup6()a(2ab)(2)ab，又由E在CD上， eq o(CE,sup6()与 eq o(DC,sup6()共线，所以存在实数，使 eq o(CE,sup6() eq o(D

11、C,sup6().即(2)ab eq blc(rc)(avs4alco1(2af(5,3)b)，则 eq blc(avs4alco1(avs4alco1(22，,1f(5,3)，)解得 eq f(4,5).探究点3平面向量基本定理的应用 如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM与BPPN.【解】设 eq o(BM,sup6()e1， eq o(CN,sup6()e2，则 eq o(AM,sup6() eq o(AC,sup6() eq o(CM,sup6()3e2e1， eq o(BN,sup6() eq o(BC,sup6() eq o

12、(CN,sup6()2e1e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数，使得 eq o(AP,sup6() eq o(AM,sup6()e13e2， eq o(BP,sup6() eq o(BN,sup6()2e1e2.故 eq o(BA,sup6() eq o(BP,sup6() eq o(PA,sup6() eq o(BP,sup6() eq o(AP,sup6()(2)e1(3)e2.而 eq o(BA,sup6() eq o(BC,sup6() eq o(CA,sup6()2e13e2，由平面向量基本定理，得 eq blc(avs4alco1(22，,33，)解得 eq bl

13、c(avs4alco1(f(4,5)，,f(3,5)所以 eq o(AP,sup6() eq f(4,5) eq o(AM,sup6()， eq o(BP,sup6() eq f(3,5) eq o(BN,sup6().所以APPM41，BPPN32.1变条件、变问法在本例条件下，若 eq o(CM,sup6()a， eq o(CN,sup6()b，试用a，b表示 eq o(CP,sup6().解：由本例解析知BPPN32，则 eq o(NP,sup6() eq f(2,5) eq o(NB,sup6()， eq o(CP,sup6() eq o(CN,sup6() eq o(NP,sup6(

14、) eq o(CN,sup6() eq f(2,5) eq o(NB,sup6()b eq f(2,5)( eq o(CB,sup6() eq o(CN,sup6()b eq f(4,5)a eq f(2,5)b eq f(3,5)b eq f(4,5)a.2变条件若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求APPM与BPPN.解：如图，设 eq o(BM,sup6()e1， eq o(CN,sup6()e2，则 eq o(AM,sup6() eq o(AC,sup6() eq o(CM,sup6()2e2e1， eq o(BN,sup6() eq o(BC,sup6() eq o(CN,su

15、p6()2e1e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数，使得 eq o(AP,sup6() eq o(AM,sup6()e12e2， eq o(BP,sup6() eq o(BN,sup6()2e1e2.故 eq o(BA,sup6() eq o(BP,sup6() eq o(PA,sup6() eq o(BP,sup6() eq o(AP,sup6()(2)e1(2)e2.而 eq o(BA,sup6() eq o(BC,sup6() eq o(CA,sup6()2e12e2，由平面向量基本定理，得 eq blc(avs4alco1(22，,22，)解得 eq blc(avs4

16、alco1(f(2,3)，,f(2,3)所以 eq o(AP,sup6() eq f(2,3) eq o(AM,sup6()， eq o(BP,sup6() eq f(2,3) eq o(BN,sup6().所以APPM2，BPPN2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得 1(2021江苏省如皋中学高一月考)如图，在直角梯形ABCD 中，已知ABCD，BAD90，ADAB2，CD1，动点P在线段

17、BC上运动，且 eq o(AP,sup6()m eq o(AB,sup6()n eq o(AD,sup6() eq blc(rc)(avs4alco1(m，nR)，则 eq f(1,m) eq f(2,n)的最小值是()A3B32 eq r(2)C4D42 eq r(2)解析：选C设 eq o(BP,sup6() eq o(BC,sup6().因为 eq o(BC,sup6() eq o(BA,sup6() eq o(AD,sup6() eq o(DC,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,2) eq o(AB,sup6() eq f(1,2)

18、 eq o(AB,sup6() eq o(AD,sup6().所以 eq o(AP,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(BP,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(BC,sup6() eq o(AB,sup6() eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(AB,sup6()o(AD,sup6() eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2) eq o(AB,sup6() eq o(AD,sup6().所以m1 eq f(1,2)，n，所以2mn2. eq f(1,m) eq f(2,n) eq f(2mn,2m) eq f(2mn,

19、n)1 eq f(n,2m) eq f(2m,n)122 eq r(f(n,2m)f(2m,n)4.当且仅当 eq f(n,2m) eq f(2m,n)，即n2m时取等号，此时1，P与C重合，符合题意. 故选C2. (2021江苏南通市启东中学高一月考)如图，在ABC中， eq o(BD,sup6() eq f(1,3) eq o(BC,sup6()，点E在线段AD上移动(不含端点)，若 eq o(AE,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(AC,sup6()，则 eq f(,)_，2的最小值是_解析：设 eq o(AE,sup6()m eq o(AD,sup6() eq bl

20、c(rc)(avs4alco1(0m1)，则 eq o(AE,sup6()m eq blc(rc)(avs4alco1(o(AB,sup6()f(1,3)o(BC,sup6()m eq blcrc(avs4alco1(o(AB,sup6()f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(o(BA,sup6()o(AC,sup6()，所以 eq o(AE,sup6() eq f(2,3)m eq o(AB,sup6() eq f(1,3)m eq o(AC,sup6()，而 eq o(AE,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(AC,sup6()，可得 eq f(2,3)m， e

21、q f(1,3)m，所以 eq f(,) eq f(f(2,3)m,f(1,3)m)2，2 eq f(4,9)m2 eq f(1,3)m eq f(4,9) eq blc(rc)(avs4alco1(mf(3,8)2 eq f(1,16)，所以当m eq f(3,8)时，2取得最小值 eq f(1,16).答案：2 eq f(1,16)1在ABC中，点D在边AB上，且 eq o(BD,sup6() eq f(1,2) eq o(DA,sup6()，设 eq o(CB,sup6()a， eq o(CA,sup6()b，则 eq o(CD,sup6()()A eq f(1,3)a eq f(2,3

22、)bB eq f(2,3)a eq f(1,3)bC eq f(3,5)a eq f(4,5)bD eq f(4,5)a eq f(3,5)b解析：选B因为 eq o(BD,sup6() eq f(1,2) eq o(DA,sup6()， eq o(CB,sup6()a， eq o(CA,sup6()b，所以 eq o(CD,sup6()a eq o(BD,sup6()a eq f(1,3) eq o(BA,sup6()a eq f(1,3)(ba) eq f(2,3)a eq f(1,3)b.2已知非零向量 eq o(OA,sup6()， eq o(OB,sup6()不共线，且2 eq o(

23、OP,sup6()x eq o(OA,sup6()y eq o(OB,sup6()，若 eq o(PA,sup6() eq o(AB,sup6()(R)，则x，y满足的关系是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20解析：选A由 eq o(PA,sup6() eq o(AB,sup6()，得 eq o(OA,sup6() eq o(OP,sup6()( eq o(OB,sup6() eq o(OA,sup6()，即 eq o(OP,sup6()(1) eq o(OA,sup6() eq o(OB,sup6().又2 eq o(OP,sup6()x eq o(OA,sup6()y e

24、q o(OB,sup6()，所以 eq blc(avs4alco1(x22，,y2，)消去得xy2.3如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若 eq o(AE,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(AC,sup6()，则的值为_解析：由题意，得 eq o(AE,sup6() eq f(1,2)( eq o(AD,sup6() eq o(AC,sup6().又 eq o(AD,sup6() eq o(BC,sup6() eq o(AC,sup6() eq o(AB,sup6()，所以 eq o(AE,sup6() eq f(1,2)( eq o(AB,sup6()2 eq

25、 o(AC,sup6() eq f(1,2) eq o(AB,sup6() eq o(AC,sup6().又 eq o(AE,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(AC,sup6()，所以 eq f(1,2)1 eq f(1,2).答案： eq f(1,2)4在梯形ABCD中，ABCD，M，N分别是边DA，BC的中点，且 eq f(DC,AB)k(k1).设 eq o(AD,sup6()e1， eq o(AB,sup6()e2，试用基底e1，e2表示 eq o(DC,sup6()， eq o(BC,sup6()， eq o(MN,sup6().解：如图，因为 eq o(AB,s

26、up6()e2，且 eq f(DC,AB)k，所以 eq o(DC,sup6()k eq o(AB,sup6()ke2.又因为 eq o(AB,sup6() eq o(BC,sup6() eq o(CD,sup6() eq o(DA,sup6()0，所以 eq o(BC,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(CD,sup6() eq o(DA,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(DC,sup6() eq o(AD,sup6()e2ke2e1e1(k1)e2.因为 eq o(MN,sup6() eq o(NB,sup6() eq o(BA,sup6() eq o

27、(AM,sup6()0，所以 eq o(MN,sup6() eq o(NB,sup6() eq o(BA,sup6() eq o(AM,sup6() eq o(BN,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(AM,sup6() eq f(1,2) eq o(BC,sup6()e2 eq f(1,2) eq o(AD,sup6() eq f(1,2)e1(k1)e2e2 eq f(1,2)e1 eq f(k1,2)e2.A基础达标1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()Ae1e2，e2e1B2e1e2，e1 eq f(1,2)e2C2e23e1，6

28、e14e2De1e2，e1e2解析：选D不共线的两个向量可以作为平面的一组基底对于A，e2e1(e1e2)不满足；对于B，2e1e22(e1 eq f(1,2)e2)不满足；对于C，6e14e22(2e23e1)不满足；故选D2在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若 eq o(BC,sup6()e1， eq o(DC,sup6()e2，则 eq o(OC,sup6()()A eq f(1,2)(e1e2) B eq f(1,2)(e1e2)C eq f(1,2)(2e2e1) D eq f(1,2)(e2e1)解析：选A因为O是矩形ABCD对角线的交点， eq o(BC,sup6()e1， e

29、q o(DC,sup6()e2，所以 eq o(OC,sup6() eq f(1,2)( eq o(BC,sup6() eq o(DC,sup6() eq f(1,2)(e1e2)，故选A3已知e1，e2为基底，向量 eq o(AB,sup6()e1ke2， eq o(CB,sup6()2e1e2， eq o(CD,sup6()3e13e2，若A，B，D三点共线，则k的值是()A2B3C2D3解析：选A eq o(DB,sup6() eq o(CB,sup6() eq o(CD,sup6()e12e2(e12e2).又A，B，D三点共线，则 eq o(DB,sup6()和 eq o(AB,su

30、p6()是共线向量，所以k2.4(多选)如图所示，四边形ABCD为梯形，其中ABCD，AB2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是()A eq o(AC,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,2) eq o(AB,sup6()B eq o(MC,sup6() eq f(1,2) eq o(AC,sup6() eq f(1,2) eq o(BC,sup6()C eq o(MN,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,4) eq o(AB,sup6()D eq o(BC,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,2) eq o(

31、AB,sup6()解析：选ABD eq o(AC,sup6() eq o(AD,sup6() eq o(DC,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,2) eq o(AB,sup6()，A正确； eq o(MC,sup6() eq o(MA,sup6() eq o(AC,sup6() eq f(1,2) eq o(BA,sup6() eq o(AC,sup6() eq f(1,2) eq blc(rc)(avs4alco1(o(BC,sup6()o(AC,sup6() eq o(AC,sup6() eq f(1,2) eq o(AC,sup6() eq f(1,2) eq o

32、(BC,sup6()，B正确； eq o(MN,sup6() eq o(MA,sup6() eq o(AD,sup6() eq o(DN,sup6() eq f(1,2) eq o(AB,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,4) eq o(AB,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,4) eq o(AB,sup6()，C错误； eq o(BC,sup6() eq o(BA,sup6() eq o(AD,sup6() eq o(DC,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(AD,sup6() eq f(1,2) eq o(AB,sup6()

33、 eq o(AD,sup6() eq f(1,2) eq o(AB,sup6()，D正确故选ABD5如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点， eq o(AM,sup6() eq f(4,5) eq o(AB,sup6()， eq o(AN,sup6() eq f(2,3) eq o(AD,sup6()，连接AC，MN交于P点若 eq o(AP,sup6() eq o(AC,sup6()，则的值为()A eq f(3,5)B eq f(3,7)C eq f(4,11)D eq f(4,13)解析：选C因为 eq o(AM,sup6() eq f(4,5) eq o(AB,su

34、p6()， eq o(AN,sup6() eq f(2,3) eq o(AD,sup6()，所以 eq o(AP,sup6() eq o(AC,sup6()( eq o(AB,sup6() eq o(AD,sup6() eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,4)o(AM,sup6()f(3,2)o(AN,sup6() eq f(5,4) eq o(AM,sup6() eq f(3,2) eq o(AN,sup6().因为M，N，P三点共线所以 eq f(5,4) eq f(3,2)1.解得 eq f(4,11).6已知a，b是一组基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a

35、3b，则xy的值为_解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x4y)a(2x3y)b6a3b，所以 eq blc(avs4alco1(3x4y6，,2x3y3，)解得 eq blc(avs4alco1(x6，,y3，)所以xy3.答案：37已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2 eq o(AC,sup6() eq o(CB,sup6()0，若 eq o(OA,sup6()a， eq o(OB,sup6()b，用a，b表示向量 eq o(OC,sup6()，则 eq o(OC,sup6()_解析： eq o(AC,sup6() eq o(OC,sup6() eq

36、 o(OA,sup6()， eq o(CB,sup6() eq o(OB,sup6() eq o(OC,sup6()，因为2 eq o(AC,sup6() eq o(CB,sup6()0，所以2( eq o(OC,sup6() eq o(OA,sup6()( eq o(OB,sup6() eq o(OC,sup6()0.所以 eq o(OC,sup6()2 eq o(OA,sup6() eq o(OB,sup6()2ab.答案：2ab8如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若 eq o(BE,sup6() eq o(BA,sup6() eq o(BD,sup6

37、()(，R)，则_解析：因为 eq o(BE,sup6() eq o(BO,sup6() eq o(OE,sup6() eq f(1,2) eq o(BD,sup6() eq o(EA,sup6() eq f(1,2) eq o(BD,sup6() eq o(EB,sup6() eq o(BA,sup6()，所以 eq o(BE,sup6() eq f(1,2) eq o(BA,sup6() eq f(1,4) eq o(BD,sup6().所以 eq f(1,2)， eq f(1,4)，所以 eq f(3,4).答案： eq f(3,4)9设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be

38、13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)若4e13e2aub，求，u的值解：(1)证明：假设ab (R)，由e1，e2不共线，得 eq blc(avs4alco1(1，,32，)所以不存在，故a，b不共线，可以作为一组基底(2)由4e13e2aub，得4e13e2aub(e12e2)u(e13e2)(u)e1(23u)e2，所以 eq blc(avs4alco1(u4，,23u3，)解得 eq blc(avs4alco1(3，,u1.)10已知e，f为两个不共线的向量，在四边形ABCD中，已知 eq o(AB,sup6()e2f， eq o(BC,sup6()4ef， eq o(C

39、D,sup6()5e3f.(1)将 eq o(AD,sup6()用e，f表示；(2)求证：四边形ABCD为梯形解：(1) eq o(AD,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(BC,sup6() eq o(CD,sup6()(e2f)(4ef)(5e3f)(145)e(213)f8e2f.(2)证明：因为 eq o(AD,sup6()8e2f2(4ef)2 eq o(BC,sup6()，即 eq o(AD,sup6()2 eq o(BC,sup6()，所以 eq o(AD,sup6()与 eq o(BC,sup6()同方向且 eq o(AD,sup6()的长度为 eq o(BC

40、,sup6()的长度的2倍所以在四边形ABCD中，ADBC且ADBC.所以四边形ABCD是梯形B能力提升11(多选)若e1，e2是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是()Ae1e2 eq blc(rc)(avs4alco1(，R)可以表示平面内的所有向量B对于平面中的任一向量a，使ae1e2的实数，有无数多对C1，1，2，2均为实数，且向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使1e11e2 eq blc(rc)(avs4alco1(2e12e2)D若存在实数，使e1e20，则0解析：选BC由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确，对于C，当12120时，这样

41、的有无数个，故C说法不正确故选BC12.如图所示，在四边形ABCD中， eq o(DC,sup6() eq f(1,3) eq o(AB,sup6()，E为BC的中点，且 eq o(AE,sup6()x eq o(AB,sup6()y eq o(AD,sup6()，则3x2y()A eq f(1,2)B eq f(3,2) C1D2解析：选C由题意，得 eq o(AE,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(BE,sup6() eq o(AB,sup6() eq f(1,2) eq o(BC,sup6() eq o(AB,sup6() eq f(1,2)( eq o(AB,sup

42、6() eq o(AD,sup6() eq o(DC,sup6() eq o(AB,sup6() eq f(1,2) eq blc(rc)(avs4alco1(o(AB,sup6()o(AD,sup6()f(1,3)o(AB,sup6() eq f(2,3) eq o(AB,sup6() eq f(1,2) eq o(AD,sup6().因为 eq o(AE,sup6()x eq o(AB,sup6()y eq o(AD,sup6()，所以x eq o(AB,sup6()y eq o(AD,sup6() eq f(2,3) eq o(AB,sup6() eq f(1,2) eq o(AD,sup6().因为 eq o(AB,sup6()与 eq o(AD,sup6()不共线，所以由平面向量基本定理得 eq blc(avs4alco1(xf(2,3)，,yf(1,2)所以3x2y3 eq f(2,3)2 eq f(1,2)1.故选C13已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点， eq o(AP,sup6()y eq o(AD,sup6()， eq o(AQ,sup6()x eq o(AB,sup6()，其中x，yR，且均不为0.若 eq o(PQ,sup6() eq o(BE,sup6()，则 eq f(x,y)_解析：因为 eq o(PQ,su