电磁学第二章

1、第二章 稳恒磁场1 基本磁现象 安培定律一. 磁现象概说 磁性 磁极 磁力 磁极不可分 磁单极，磁荷 地磁（古地磁测量方法）二. 电流的磁效应 1819年，奥斯特，电流对磁针作用； 1820年，安 培，磁铁对电流作用； 电流间相互作用。三. 物质的磁性分子环流假说：1822年，安培：一切磁现象的根源是电流，物质的磁性来源于分子电流。图2.1 安培电流四. 安培定律电流元安培定律（参见图2.2）故矢量式同理图2.2 安培定律 图2.3 矢积手势SI制中真空的磁导率【例1】：平行电流元之相互作用。【例2】：垂直电流元之相互作用。两电流元之 间相互作用不满足牛顿第三运动定律；两闭合电流之积分相互作用

2、仍满足牛顿第三运动定律。图2.5 垂直电流元图2.4 平行电流元2. 磁感应强度 毕奥-萨法尔定律电流磁场电流一、磁感应强度（磁铁，电流，电流元）令即一般 磁感应强度方向：试验电流元受力为零的方向；大小：单位试验电流元受最大力 。1End二、. 毕-萨-拉定律矢量积分的磁场：回路L 的磁场：大小，方向，右螺旋方向三. 长直电流的磁场12如图2.6 所示，取 l 处 d l ，电流元，方向各dB 同向由得I图.6 长直电流aOldl【讨论】：当 a L，则无限长直电流的磁场当 a L，场点位于一端，则半无限长直电流的磁场12I图.6 长直电流aOldl推广 平面电流，平板电流，无限大平面电流，

3、无限大平板电流 圆弧面电流，圆弧体电流，圆柱面电流， 圆柱体电流Ixy图.7 平面电流Ix yz图.8 圆弧电流四. 圆电流轴线上的磁场xaIx图.9 圆电流的磁场圆电流 I 半径为 a，轴线沿x ，如图2.9 所示。，方向如图。由对称性可知，总场强沿x 方向。得方向沿轴线。故其中【讨论】：定义线圈的磁矩，则圆心处 x =0 或当 a 0，反之I0R时 由安培环路定理得：若rR同理：BR与毕萨定理结果一致L例7.一无限大平面，有均匀分布的面电流，其横截线的 电流线密度为 i，求平面外一点 B=？i.abcd解：由对称可知并且离板等距离处的B大小相等。过P点取矩形回路abcdL其中ab、cd与板

4、面等距离。00.P与P点到平板的距离无关。ii00例9. 求通电螺绕环的磁场分布。已知环管轴线的半径 为R，环上均匀密绕N匝线圈，设通有电流I。解：由于电流对称分布，与环共轴的圆周上，各点B大小相等，方向沿圆周切线方向。取以o为中心，半径为r的圆周为L当R1 r R2若 rR2IR当 R管截面 R即 r R.orr三. 安培环路定律的应用长直螺线管的磁场图4.18 长直螺线管的磁场设：匝数密度n ，电流强度I，取环路L=ABCDA，如图4.18。分析： 的方向必沿轴向；的大小沿轴向不变。路径AB/轴线，AB上 为恒量；路径BC和DA与 垂直；路径CD在螺线管外， = 0。所以则得ABCDL【讨

5、论】：可以证明螺线管内： = 恒矢量，螺线管外： = 0，ABC”D”ABCDL比较图中 ABCDA 与 ABCDA 环路；比较图中 ABCDA 与 ABC”D”A 环路；螺绕环（罗兰环）的磁场 设匝数N，电流I，管半径R，取环路为贯穿管内的圆，其半径为r ，见图4.19。r图2.19 螺绕环的磁场由定律分析得所以【讨论】：若 R r ，B = 0nI ，同无限长螺线管。均匀载流长直圆柱体的磁场 设：长直圆柱体半径R，沿轴向通以电流I，且横截面上均匀分布。图2.20 载流圆柱体的磁场柱外 ( r R ) ：L1分析得按定律则I柱内 ( r R ) ：分析得按定律则 均匀载流长直圆柱体的磁场分布

6、见图2.21。RBrO图2.21 载流圆柱体磁场分布曲线图2.20 载流圆柱体的磁场L2I【讨论】：均匀载流长直圆柱体的磁场问题可扩展为载流圆柱面，载流圆柱管，多层载流圆柱管（体）；非均匀载流圆柱体，非均匀载流圆柱管，非均匀载流多层圆柱管（体）；(b) 补偿法补偿法：（叠加原理）图2.22 补偿法求磁场(a) 偏心管I 沿偏心管轴线方向通以电流 I ，电流沿实体横截面均匀分布，见图2.22(a)。补偿法如图4.22(b)。 可以证明，方向与两轴垂直连线垂直。2End 线：闭合，或伸向无穷远； 与电流方向成右螺旋关系；与回路互相套连； 线密度 = B（大小）。约定比例，取整磁通量： 磁场中的高斯

7、定理一. 高斯定理单位：韦伯(Wb) ， 1Wb = 1Tm2高斯定理：或 高斯定理的证明S 图.14 高斯定理的证明 参见图2.14，电流元的磁感应线两处穿过闭面S 的通量再根据叠加原理，即可得利用数学的高斯定理磁高斯定理的微分形式说明恒磁场的散度为零无源场无源场有旋场非保守场一般不引入标势磁矢势然而磁场的主要特征：无源（无散）磁高斯定理其更根本的意义：使我们可能引入磁矢势 磁高斯定理表明：对任意闭合面 磁通量仅由S的共同边界线所决定可能找到一个矢量A，它沿L作线积分等于通过S的通量数学上可以证明，这样的矢量A的确存在，对于磁感应强度B，A叫做磁矢势，A在空间的分布也构成矢量场，简称矢势其实

8、标势也不唯一，零点可选描述同一个磁感应强度B根据矢量分析对任意矢量A有 矢势的特点 如：对于任意标量场的梯度，有 类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取通常选库仑规范: A=0电流元的磁矢势 设磁矢势a与电流元平行（因为对矢势变换规范可以任选，选库仑规范A=0 的结果）a只有z分量以电流元为轴,取柱坐标（、z ) 只有这一段积分有贡献场点P和回路L在0的平面内通过L的磁感应通量为： 计算通过L的通量 消去dl电流回路假如电流在载流截面上不均匀分布上式为电流元所产生的磁场中矢势的 一个表达式 矢势表达式不唯一任意闭合载流回路L1 在空间某点的矢势电流在导线截面上均匀分布找电流产生的磁场中磁矢势

9、的表达式两种办法普通物理的方法电流元的磁矢势 p113式（2.55)任意闭合回路的磁矢势 式（2.56) 例题9 例题10矢势公式的应用举例取回路求磁通量例题9：一对平行无限长直导线，载有等量反向电流I,求磁矢势。先求一根无限长直导线的磁矢势（如图）设矢势A只有z分量无限长Az与z无关轴对称Az与无关Az只是的函数： Az Az()一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差两根无限长载流直导线的磁矢势矢量叠加（如图）叠加得P点总矢势取Q零点例题10：无限长圆柱型导体，半径为R，载有在界面上均匀分布的电流I，求磁矢势rR：导线外部同例题9，取Q点在导体表面，外部任意点P与Q点的矢势差为引入新课：已

10、学习两方法： （原则上） （对称时） 5 磁场对载流导线的作用稳恒磁场的基本问题包含两方面的主要内容：(1) 已知I分布，求 分布。综合概括为： 正问题 逆问题I一、安培力安培定律分成两个部分，写出公式为：(2) 已知 分布，求对I的作用。此力称为安培力， 为试探电流元。1、力的方向和大小方向：由叉积 确定大小： d 2、安培力的双重功用 定义 ； 可用于计算磁力 常用形式为： 安培力叠加原理计算各种载流回路在外磁场作用下所受的力平行无限长直导线间的相互作用 电流强度的单位“安培”的定义 一恒定电流，若保持在处于真空中相距1m的两无限长、而圆截面可忽略的平行直导线内，则在此两导线之间产生的力在

11、每米长度上等于2107N，则导线中的电流强度定义为1A（p117）与P91的定义等价，但注意两个定义表述上的区别 磁力矩(一）在均匀磁场中刚性矩形线圈不发生形变；合力=0，合力矩？ 磁矩 m磁力矩(二）在均匀磁场中任意形状线圈将线圈分割成若干个小窄条小线圈所受力矩 dL 若线圈平面与磁场成任意角度，则可将B分解成总力矩线圈的磁矩所受的力矩 结论： 磁矩的方向结论任意形状平面载流回路在均匀场中受合力、合力矩为整体不发生平动，但转动， 使 转向 的方向。3、直流电动机和电流计原理(1) 直流电动机转动原理 ) N S 电刷 （2）磁电式电流计原理N S 永磁体 示值 线圈 游丝 （产生反力矩） N

12、 S 铁芯圆柱体 N匝 a b 轴 三、知识扩展1、非均匀磁场中的平面载流线圈由于线圈各部分所在处 不同，一般地：线圈作复合运动（平动 + 转动） 转动的结果：使 转 向。 平动的结果：使线圈整体向强场区移动，使 尽量取大； 例：载流直导线的磁场中放置矩形载流回路，研究回路的运动情况。 a I2 b I1 r (a)共面（平动） I2 I1 (b)非共面（平动 + 转动）一. 洛仑兹力6 带电粒子在磁场中的运动 按经典理论，可从安培力推导出运动电荷所受磁力。设：电流元 的截面积 S ，如图.33dls图.33 推算洛仑兹力I带电粒子数密度 ，电量 ，由则或(a)(b)图2.33 电子束受洛仑兹

13、力而偏转平均速度 ，二. 带电粒子在磁场中的运动带电粒子电量 ，质量 ，初速度 ，磁感应强度 匀速直线运动 匀速圆周运动 常量 匀速直线运动 匀速圆周运动螺旋运动图.35 电子在磁场中作螺旋运动与 无关 与 夹角 三. 回旋加速器 图.36 回旋加速器T结构：逐步参见图.36 一对D型盒（电极），半径R； 交变电场（电源），周期T ; 磁场，磁感应强度B 。原理：D型盒电极间加速电场周期=回旋共振周期粒子通过电极间隙时总被加速，最终速率受相对论效应约束，当 不是常量时，其基本原理不再满足。四. 磁聚焦电子枪、电子透镜电子的飞行速率周期螺距屏距e图.37 电子枪示意图（图.38例，n=2）电聚焦

14、与磁聚焦改变电场E，即改变图.38 电子束的磁聚焦tL改变磁场B，均改变 t，L五. 磁约束约 束 力I图4.39 正离子被磁约束示意图六. 荷质比的测定W.Thomson 测荷质比的方法当E 和B 的值适当时，可使电子束不偏转，即由式、得荷质比， 或切断电场，电子在磁场中作圆周运动，圆周半径 +-kAASoo图.40 汤姆孙测荷质比-e-e 电子运动出磁场后依惯性前进。由屏S上光点偏移量oo和仪器参数可测算出R的值。其参数包括结构尺寸，电、磁场分布等。 荷质比与速度有关，这符合狭义相对论观点5End磁聚焦法测荷质比如图.41，Ak间加电压U，电子的动能， 即在电容C上加一小交变电场，使不同时

15、刻通过的电子偏转不同。在C与S之间加聚焦磁场B，调节B，使电子束聚焦于屏S平面上，则（n = 1，如何确定？）由式、得荷质比lkACSo图.41 磁聚焦法测荷质比-eU6 霍耳效应一. 霍耳现象与实验规律试验规律：式中霍耳系数，_ _ _ _ _ _VIbd + + + + + +_图2.42 霍耳效应实验与元件的形状大小无关，(a) 正载流子UH 0(b) 负载流子UH 0，反映经典理论的局限性。实测二价金属 铍Be、锌Zn、镉Cd，K依次为 24.4, 3.3, 6.0三. 应用判别载流子性质，n 型，p 型；测量载流子浓度 n ；磁量磁场：高斯计。【注】：表征元件的性质，与元件的尺寸有关

16、。比较得d 越小，霍耳元件的灵敏度越高。Ibd图2.44 霍耳元件6End7 不同参照系之间电磁场的变换一. 特鲁顿和诺伯的实验若以太存在，为绝对参照系S ，地球是非绝对参照S 图4.45 特鲁顿和诺伯的实验SO feFmFm(a)SO fe(b)电荷在S 中运动，除静电力，还有磁力作用，如图4.45(a); 电荷在S中静止，只有静电力相互作用，如图4.45(b); 结果是否定的电磁规律的数学形式在一切惯性参照系中均相同。二. 电荷不变性而可见 q 不变温度改变对电子速度影响大，但未见电量变化（ 变）H2 和He 带电相同，H2 核距长，转动慢He 核距短，转动快均为电中性同位素光谱： 核质量

17、不同，则运动不同， 但电量相同，则光谱相同所以在S 系和S 系中区别电荷守恒：测定速度为 的带电粒子的荷质比，得三. 在不同参照系中测量的电场在S 系中有两片静止的均匀面电荷 和- ，为边长 b 的正方形，参见图4.46，均匀电场强度 在S 系中， y z x图4.46 平面电荷对- 按高斯定理（电荷不变性）得若电荷平面垂直于x 轴，一般而言（以 为基准） 或（ 沿 x 轴） 四. 匀速运动点电荷的电场电荷Q 静止于S 系 x = 0 处设S系以速度沿-x方向运动当Q 经过S 系原点时，t= 0，则 x = x，得可见的方向从瞬时位置沿径向向外x y zQ图4.47 运动电荷的场令则【讨论】：

18、低速时,=0，高速时， 参见图4.48，为非静电场。x z图4.48 E1 E2E1E2 但恒速运动电荷的场不能正确表明历史上该电荷的场。五. 电荷开始运动和停止运动时的场电荷开始运动，即速度由 0 ( 恒速 )设电荷 e 在 x = 0 处，t = 0 时刻开始运动，恒速恒速后与前面讨论相同，讨论 t = 210 10 s 时的场，（光行进了 6 cm ）以 ( 0, 0 ) 为中心，以 ( 0, 0 ) 为中心，加速过程忽略不计。参见图4.49。-6cm6cm图4.49 电荷开始运动时的场O6 cm 为半径的范围内，是恒速后的场。6 cm 为半径的范围外，是原点静止电荷的场；电荷停止运动时的场 电子在 t = 0 以前， 恒定，t = 0 时，到达 x = 0 处，突然停止。仍设 t = 210 10 s , ct = 6cm。以 ( 0, 0 ) 为中心， 6 cm 半径范围内，是静止电荷的场；以 ( 0, 0 ) 为中心， 6 cm 半径范围外，是运动电荷的场。其电力线中心为电子若不停止运动 t = 210 10 s 时所在位置，即 x = 210 10 图4.50 电荷停止运动时的场-6cm6cmOx内外电力线的连接满足高斯定理设电力线与 x 轴的夹角为0和0，弧ae以O为中心，df 以x为中心，将abcdfe