电动力学-第二章(习题)

1、2 . 球半径为 金属球置于匀强外场 中，求电势(2)导体球上带总电荷Q解：设：以球心为原点，外场 方向为极轴的正方向建立球坐标系,设坐标原点电势为 。导体球半径为 ，球外为真空，该问题具有轴对称性。设球内外势分别用 表示。问题表示为由于选择了轴对称，所以关于 对称，通解中没有 另一种思路：对于第二问我们可以理解为导体放在均匀外场中的问题和导体均匀带电的两个问题的和问题，利用叠加原理可知Q再带回边界条件是否满足 以介质球心为原点建立球坐标系，以无穷远处为电势0点。介质球半径为 ，球外为真空，该问题具有球对称性。设球内外势分别用 表示。 3 .均匀介质球的中心置一点电荷 ，球的电容率球外为真空，

2、试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。解：对球外，无电荷，拉普拉斯方程。对球内可以看成点电荷与介质球的极化电荷各自产生电势的叠加由于球对称使用高斯定理在球外由高斯定理有在球内由介质中高斯定理有4。均匀介质球（电容率为 ）的中心置一自由电偶极子 介质球外充满了另一种介质（电容率为 ）求空间各点的电势和极化电荷。 解：设：球半径为 ，该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿 方向的轴线。取此线为轴线球心为原点建立球坐标系。取无穷远处为电势0点， 为球外势， 为球内势能对球外，无电荷，拉普拉斯方程。对球内可以看成电偶极子与介质球的极化电荷各自产生电势的叠加由于轴对称性极化电荷球心

3、附近球面上5、空心导体球壳的内外半径为R1和R2，球中心置一偶极子 ，球壳上带电Q，求空间各点电势和电荷分布解：该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿 方向的轴线。取此线为轴线，球心为原点建立球坐标系。取无穷远处为电势0点。由于轴对称性电荷分布 以介质球心为原点，外场方向为极轴的正方向建立球坐标系，以坐标原点电势0点。介质球半径为 ，球外为真空，该问题具有轴对称性。设球内外势分别用 表示。 6 .在均匀外电场 中置入一带均匀自由电荷 的绝缘介质球（电容率为 ） 求空间各点的电势解：对球外，无电荷，拉普拉斯方程。对球内可以看成自由电荷与介质球的极化电荷各自产生电势的叠加自由电荷在球内产生电场具有

4、球对称性，由高斯定理：可求得由于轴对称则，定解条件为：即9、接地的空心导体球内外半径为R1和R2，在球内离球心为 处置一点电荷Q，用镜像法求电势。解：以球心为原点，对称轴为Z轴建立坐标系，取无穷远处为电势0点，有定解条件：使用镜像法，如图，根据电场的对称性， 必在对称轴上，即在Q到球心的连线上，球内空间的电势为：考虑内球面上任一点P（如图）即对球面上任一点，应有只要选Q的位置，使OPQ OQP即可，此时该式在导体表面应满足边界条件：球内任一点P的电势为：10、上题的导体球壳不接地，而是带总电荷 ，或使其具有确定电势 ，试求这两种情况电势，又问 与 何种关系时，两情况解相等。解：因为球壳不接地，

5、球外电势不为零。而球内电势可利用叠加原理，由 的电势，象电荷 的电势和球壳电势组成，取无穷远处为电势0点，球内电势的定解条件为而球外电势可直接由高斯定理求出：利用上题结论，球内任一点P的电势为：再带回边界条件是否满足 球壳电势ok 若给电势，易得：当： 时，二者相等再带回边界条件是否满足 11、在接地的导体平面上有一半径为 的半球凸部，半球的球心在导体平面上，点电荷 位于系统的对称轴上，并与平面相距为 ，试用镜像法求空间电势。解：该题电场具有轴对称性，以球心为原点，对称轴为Z轴建立坐标系，有定解条件：我们将球面和平面分开讨论对球面， 有像电荷距原点距离为对平面， 有像电荷距原点距离为 有像电荷距原点距离为根据叠加原理验证边界条件由唯一性定理，上式即为问题的解。12、四分之一空间的电势问题解：如图，以两导体板