福建省福州市2020届高三第三次质量检测(线下二模)数学(文)

1、 2020年福州市高中毕业班第三次质量检测数学（文科）试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）（在此卷上答题无效）1至3页，第n卷本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.第I卷4至5页.第I卷一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 设全集 U x N|x, 8,集合 A 1,3,7,则 euAA.2,4,5,6C. 2,4,5,6,8D. 0,2,4,5,6,8.已知纯虚数满足（1 i）z 2 ai ,则实数a等于A. 2 B. 1 C.1D.曲线y 1 x ex在x 1处的切线方程为.执行如图所示的程序框图，则输出的

2、mA. 1 B. 2 C. 3D. 4.已知等差数列 an的前n项和为S ,且a2020S 0202 020 ,024,5,6ex+y e 0则an的公差为A.2 B. 2 C. 2 019 D.2 0196.甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击 条形图如下：10次.四人测试成绩对应的1楠率相率0.6甲乙丙以下关于这四名同学射击成绩的数字特征判断不正确.的是A.平均数相同B.中位数相同C.众数不完全相同7.为了得到曲线y cosx,只需把曲线ysin 2x 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,6纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移一个单位长度3一个单位长度 128.9.10.11.C.

3、一个单位长度3D.一个单位长度6已知平面,两两垂直，直线a,b, c满足:a ,b ,c，则直线a,b,c可能满足以下关系：两两相交；两两垂直；两两平行；两两异面.其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.2 x 已知椭圆C:一924 1 b 0的右焦点为F 以C上点M为圆心的圆与x轴相切于点 b2，F ,并与y轴交于A, B两点.已知定义在x 0,2 时,32R上的函数B. 22019年世界读书日,urn若FA满足fuuu FB 4 ,则C的焦距为C.D. 4f x，函数f x 2为偶函数，当9 22 x 6x+ a .若 x2,0 时，f x的最大值为1.，则aC.3D-2陈老师给全班同学开

4、了一份书单，推荐同学们阅读，并在2020 年世界读书日时交流读书心得.经了解，甲、乙两同学阅读书单中的书本有如下信息:1甲同学还剩3的书本未阅读;乙同学还剩5本未阅读；1有4的书本甲、乙两同学都没阅读. 则甲、乙两同学已阅读的相同的书本有A. 2本B. 4本C. 6本D. 8本.若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为 1,当该圆锥体积取最 小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为A. 8:3B.6:1C.3:1D. 2:1第II卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）（21）题为必考题，每个试题考生都

5、必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.已知向量a 1,2 , b t,1 ,若a,b夹角的余弦值为 立,则实数t的值为.5.已知双曲线C过点1,有,且渐近线方程为 y 2x,则C的离心率为 .我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是 每个大于2的偶数可以拆分为两个素数的和”，如30 7+23 13 17 11 19 , 30有3种拆分方式；6 3 3, 6只有1种拆分方式.现从大于4且小于16的偶数中随机任取 一个，取出的数有不止一种上述拆分方式的概率为 .熔喷布”是口罩生产的重要原材料，1吨熔喷

6、布大约可供生产 100万只口罩.2020年，制造口罩的企业甲的熔喷布1月份的需求量为100吨，并且从2月份起，每月熔喷布的需求量均比上个月增加10%.企业乙是企业甲熔喷布的唯一供应商，企业乙 2020年1月份的产能为100吨，为满足市场需求，从 2月份到k月份2 k 8且k N ，每个月 比上个月增加一条月产量为50吨的生产线投入生产，从 k+1月份到9月份不再增加新的生产线.计划截止到9月份，企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外，还剩余不少于990吨的熔喷布可供给其它厂商，则企业乙至少要增加 条熔喷布生产线.（参考数据：1.18 2.14 , 1.19 2.36）三、解答题：解答应写出文

7、字说明、证明过程或演算步骤.（本小题满分12分） ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c , a 1且J3cosc csin A .（1）求 C ；（2）若b 3, D是AB上的点，CD平分 ACB ,求AACD的面积.（本小题满分12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，某机构随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，观察这40位患者的睡眠改善情况.这些患者服 用一段时间后，根据患者的日平均增加睡眠时间（单位：h ）,以整数部分当茎，小数部分当叶，绘制了如下茎叶图：A药B药8 7 30.4 5 7 8 951.1 2 2 3 4 5 6 7 8 9

8、9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 0 02.1 6 75 2 1 03.2 3（1）根据茎叶图判断哪种药对增加睡眠时间更有效？并说明理由；（2）求这40名患者日平均增加睡眠时间的中位数m ,并将日平均增加11眠时间超过 m和不超过m的患者人数填入下面的列联表：超过m不超过m服用A药服用B药(3)根据(2)中的列联表，能否有 99%的把握认为A,B两种药的疗效有差异?2寸.K2n(ad bc)(a b)(c d)(a c)(b d)_2P K- k00.010.0050.001k06.6357.87910.828.(本小题满分12分)如图，在多面体PABCD中，平面 ABCD 平面PAD,

9、 AD II BC , BAD 90 ,PAD 120 , BC 1 , AB AD PA 2 .(1)求多面体 PABCD的体积；(2)已知E是棱PB的中点，在CD是否存在点F使 得EF II PD ,若存在，请确定点 F的位置；若不存在， 请说明理由.(本小题满分12分)已知抛物线C:y2 4x,直线l：x my 2(m 0)与C交于A , B两点，M为AB的中点,O为坐标原点.(1)求直线OM斜率的最大值；(2)若点P在直线x 2上，且4PAB为等边三角形，求点 P的坐标.(本小题满分12分)已知函数 f(x) x2 ax 2ln x.(1)求函数f x的单调区间；(2)设函数f x有两

10、个极值点x1,x2 x1 x2 ,若f %m”恒成立，求实数 m的取值范围.请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(本小题满分10分)选修4 4:坐标系与参数方程.x 3 3kt在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方y t程为x 3 3m,( m为参数).设l1与1的交点为p,当k变化时，P的轨迹为曲线 C1 . y km(1)求Ci的普通方程；22(2)设Q为圆C2：xy 43上任意一点，求 PQ的最大值.23.（本小题满分10分）选修

11、4 5：不等式选讲 已知 a 0,b 0 , a2 b2 c2 4 .(1)当 c 1 时，求证：a3 b3 a b 9；12T c一的最小值.144求；a2 b22020年福州市高中毕业班第三次质量检测数学（文科）参考答案及评分细则一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5分，满分60分. TOC o 1-5 h z 1. D2. A3.B4. C5. B6. D7. A8. C9.C10. A11. C12. D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5分，满分20分.13.-14.叵15, 216. 5425三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明，

12、证明过程或演算步骤.17 .【命题意图】本小题以解三角形为载体，考查正弦定理、三角形面积公式等基础知 识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养， 体现基础性、综合性.【解析】解法一：（1）因为a 1且J3cosc csinA, TOC o 1-5 h z 所以 J3acosC csin A,1 分根据正弦定理，得 V3sin AcosC sin Csin A ,3分因为A 0,所以sin A 0 ,所以tanC 串,4分因为C 0,所以C 一 .5分3(2)由(1)知， ACB , 3334因为a 1, b 3,所以 ABC 的面积 $ abc absin A

13、CB sin 223因为D是AB上的点，CD平分 ACB,所以S旦Saacd因为Saabc所以Saacd1 a CD sin 261b CD sin-26SA ACDSA BCD，3 03 3 3 9 3S ABC444169分10分12分解法二：（1）根据正弦定理，得 及a 1得,sin A sinC所以 csinA sinC , 2分又因为 5y3cosc csin A ,所以 73cosc sin C ,3 分所以tanC 点,因为C 0,所以C _ .5分3(2)由(1)知， ACB , 3因为a 1, b 3,33413所以 ABC 的面积 Sa ABC -absin ACB -si

14、n-223因为D是AB上的点，CD平分 ACB,13所以 AACD 的面积 Saacd b CD sin- -CD ,ACD26 4所以ABCD的面积Sabcd1_1 _-a CD sin- -CD ，26 4因为SaabcSA ACDSA BCD 8分9分10分 TOC o 1-5 h z 31所以 $ abc -CD -CD CD, 44, 11分12分所以CD述.4所以33 3.39.3Sa acd CD - 44416.【命题意图】本小题以 治疗失眠症的药”为载体设计试题，主要考查茎叶图、样本 的数字特征、独立性检验等基础知识， 考查数据处理能力、 运算求解能力、应用意识, 考查统计与

15、概率思想，考查数学抽象、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性 与应用性.【解析】（1）（以下理由任说一种都可得 4分）从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有 巴的叶集中在茎2和3上，5而B药疗效的试验结果有 3的叶集中在茎。和1上，由此可看出 A药的疗效更好.4从茎叶图的分布情况可以看出，服用A药的患者日平均增加睡眠时间的平均数大于2,而服用B药的患者日平均增加睡眠时间的平均数小于2,因此可知A药的疗效更好.由茎叶图可知，服用 A药的患者日平均增加睡眠时间的中位数是4+2.5 =2,45h ,而2服用B药的患者日平均增加睡眠时间的中位数是1=1,45h ,因此A药的疗效更好.2由茎叶图

16、可知，服用 A药的患者日平均增加睡眠时间分布在茎2上的最多，关于茎2大致呈对称分布；而服用B药的患者日平均增加睡眠时间分布在茎1上的最多，关于茎1大致呈对称分布；又患者在服用两种药后日平均增加睡眠时间分布的区间相同，故可以认为服用 A药的患者日平均增加睡眠时间比服用B药的患者日平均增加睡眠时间更多，因此A药的疗效更好. 4分（2）由茎叶图可知，40组数据的中位数为 m=2.0,6分因此列联表如下：超过m不超过m服用A药146服用B药515_、2(3)由于 Y 40(141565)峭 8.120 6.635, 11分20 20 19 2113312分所以有99%的把握认为A, B两种药的疗效有差

17、异.【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查线面平行、线面垂直的判定与性质、空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查 化归与转化思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.【解析】解法一：（1）如图，作PH 因为平面ABCD 平面PAD ,平面ABCD I平面PAD AD , 且PH 平面PAD ,所以PH 平面ABCD , TOC o 1-5 h z 所以PH为点P到平面 ABCD的距离. 3分因为 PAD 120 , PA 2,所以 PH PA sin60 用, 4分又S3边形 ABCD所以Vp ABCD1-BC AD AB 3

18、, 21一 PH3 （2）假设棱CD上存在点F ,使得EF / PD .连接BD ,取BD的中点M ,在 BPD中，因为E,M分别为BP,BD的中点, TOC o 1-5 h z 所以EM II PD . 8分因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，BC所以EM与EF重合.因为点F在线段CD上，所以F BDI CD ,/于二二又 BD I CD D ,A J-dd所以F是BD与CD的交点D ,即EF就是ED ,P 1而ED与PD相交， 10分这与EF/PD相矛盾，11分所以假设不成立，故棱CD上不存在点F使得EF / PD . 12分解法二：（1）因为平面 ABCD 平面PAD ,且平

19、面 ABCD I平面PAD AD ,BA AD, BA 平面 ABCD ,所以BA 平面PAD , 2分依题意，Sapad 1AD APsin PAD22.331 _所以 Vb padSa pad AB3在梯形 ABCD 中，由 AD II BC,AD 2BC 知 SAabd 2SAbcd ,ABDBCD所以 Vp abd2Vp BCD ,5 分所以VpABCDVp ABDVp BCD Vp ABD23Vb pad22.3373 .6 分(2)假设棱CD上存在点F ,使得EF II pD ,显然F与点D不同， TOC o 1-5 h z 所以p,E,F,D四点共面，记该平面为，8分所以 p ,

20、 pe , FD ,又 B pe , C FD ,所以B , C ,所以p,B,C,D共面于 ，10分这与p ABCD为四棱锥相矛盾，11分所以假设不成立,故棱CD上不存在点F使得EF II pD . 12分 20 .【命题意图】本小题以抛物线为载体考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系等 基础知识，考查运算求解能力、直观想象能力，考查函数与方程、数形结合等数学思想, 考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.【解析】解法一：(1)设 A(X1,y),B(X2,y2), TOC o 1-5 h z ,x my 2,2由 2,消去x得，y 4my 8 0,1分y 4x2 1

21、6m 32 0,且 y1 y2 4m,y1y28.2 分2,所以 x1 x2 m(y1y2) 4 4m 4.因为M为AB的中点2,2 m),2m m2m2 2 m2 112又因为m 0 ,所以kOM所以M的坐标为(二,工_d2),即M(2m2 221(当且仅当m j1,即m 1等号成立.)所以直线OM的斜率的最大值为 -. 6分2(2)由(1)知, TOC o 1-5 h z L2222|AB | XX2yiV2 mmy2my22yiy2,1 m2 | yi y21 .1 m2 (y犷 gy=. 1 m2 .16m2324 Jim 4m2 , 8 分由PM AB得|PM| 小(m)2|2m2

22、2 ( 2) | 2(m2 2)Jl m2 ,9 分因为PAB为等边三角形，所以|PM | Y|AB|, 10分2所以 2(m2 2)由一m 2 73。1 m2 Jm2 2 ,所以Jm2 2 点，所以m2 1 ,解得m 1, 因为m 0,所以m 1, 11分则M(4,2),直线MP的方程为y 2 (x 4),即y x 6,所以x 2时，y 8, 所以所求的点 P的坐标为(2,8) .12分解法二：(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(Xo,yo),因为M为AB的中点，且直线l：x my 2(m 0), 所以 2yo=y1 y2, m xx) 1 分y y2 24 yl 4为，22由

23、 2 得 y1y2 4x1 4x2,y2 4x2,所以 y y2x巳,所以 2yo 4m,即 y0 2m . 2 分V】y2所以 x0 my0 2 2m2 2,即 M(2m2 2,2m) , 3 分又因为 m 0,所以 kOM2m T- -0 得 0 x x1,或 xx2；由 f (x) 0 ,即 p x v 0得 x x x2 .所以函数f x的单调递增区间为0,xi , x2,单调递减区间为xi,x2 ,巧分综上，当aw4时，函数f x单调递增区间为 0,当a 4时，函数f x的单调递增区间为0,x , ” ,； TOC o 1-5 h z 单调递减区间为x1, x2 . 6分22x ax

24、 2-(2)由(1)得 f (x) x 0 ,x若f x有两个极值点，则x,x2是方程2x2 ax 2 0的两个不等正实根，a由(1)知 a 4 .则 xi x2 - 2,xix2 1,则 0 X 1 x2 , 8 分f x1要使f x1mx2恒成立，只需 m恒成立.*2 222f (x1)X ax1 21n xx2x 2 21n x13因为 x1 2x1 2xi1nx1, 10 分x2x21_x令 h(t) t3 2t 2t1nt,贝Uh(t)3t2 21n t ,当0 t 1时，h t0, h为减函数，所以h(t) h(1)3. 11分由题意，要使 f x mx2恒成立，只需满足 mK 3 .所以实数m的取值范围 ，3 .12分 22.【命题意图】本小题以曲线的参数方程为载体，考查参数方程和普通方程的互化、椭圆参数方程的应用，圆与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基 础性. T