单自由度系统

1、机械振动理论单自由度系统的无阻尼自由振动求固有频率的能量法IH1单自由度系统的无阻尼自由振动求固有频率的能量法IH121LE22旦23:E24EE2526EE2728第二章单自由度系统的振动单自由度系统有阻尼的自由振动单自由度系统有阻尼的强迫振动基础振动第二类振动问题振动的隔离单自由度系统对任意激振力的响应本章习题&关于自由度的概念，前边己经讲述,就是决定系统瞬时几何位置独立坐标（或参数）。如果一个机械系统的几何位置在任何瞬时都能只用一个独立的参数来表达，那么该系统叫做具有一个自由度的系统。弹簧质量不计（独立参数X）nHI0平衡位置这些都属于一个自由度系统的振动。我们看到，力学模型是从实际结构

2、简化来的，如果不做这种简化，这些属于弹性体振动问题（即无限自由度），以后会讲到。做这些简化也是有根据的，那就是梁、轴.弹簧等的质量比我们目前研究的振动质点的质量小得多，以至于可以忽略。31单自由度系统的无阻尼自由振动、发生振动必须有三个基本条件:k-AA/W-振动质体,/提供恢复力元件J干扰（力，初位移，初速度等）F=+kxk-AA/W-振动质体,/提供恢复力元件J干扰（力，初位移，初速度等）F=+kx二、振动方程mx-kxmx+Ax=0或写成：x+cox-Q这里令7朮=-我们以后再解释为什么这样设。m上式即一个自由度系统自由振动微分方程。这是个二阶齐次线性常微分方程。它的通解是：注：这是笋=

3、厲）型微分方程，其解法在高等数学中讲过，忘了的同学可以复习一下X二CSin3nt+c夢OSbJnt其中常数J,C2由初始条件确定。三、初始条件引起的振动X=xQ,x=vX=xQ,x=v0q=x=x=sin?+x0coscott=Asin（+）（注：这正是圆频率相同的两个简谐振动，一个用正弦，一个为余弦合成情况）其中4=对+（比）1、单自由度系统的自由振动是个简谐振动，其振幅A和初相位卩由初始条件决定。从这里可以看到自由振动最初发生的原因，必须有初位移x或初速度勺或两者都有才有振动x=Asin(u)nt+(p),否则x=0无振动2、自由振动的圆频率弧度/秒m就是说1是否发生自由振动一由兀o，“O

4、决定振动频率系统固有频率gg重力加速度（cm/s2）它取决于系统的质量及弹簧刚度，因此是系统所固有的,与运动的初始条件无关（也解释说，与系统是否发生振动无关）故把3“称为固有频率。一座建筑物，一台机器，一架飞机等等，一旦制造出来，其m,k就都是确定的了，于是固有频率也就确定了。固有频率是本课程最重要的概念，在以后的学习及工作中经常要用到（例如防止共振）。两弹簧刚性系数分别为k、刚性系数k串联、并联（如图所示）=k、+k2k2的串联、并联的等效kk+k2又知k及尺寸a,又知k及尺寸a,1,m例（一）杆AB是无质量刚性杆,质量m,求系统的固有频率。解法（1）:设刚性杆，向下转另正，贝！I质点m的转

5、动惯量为I=m卩方程：mij）=a（!）-k0a角振动微分方程为：I（f=M（注：由小位移假设，弹簧伸长1、at曲=a甲；2、方程左端为转动惯量乘角加速度，右端为力矩即加尸（/）+a2（/）kQ=0（j+比较x+a）n2x=0:.a）n由公式彳等我们可以看到，兰取转角0为自坐标微分方程时，与公式0严徃中质量圖应的是转动惯量，与k对应的是=a%单位转角所需的力矩。质量m是物体平动时惯性的度量；而转动惯量I则是物体转动时惯性的度量。解法（2解法（2自由度x,向下为正。mmmx+kx=0-应指作用在质量m的弹性恢复力F,它与弹簧力F。的关系是：Fya=FlF=冷弹簧伸长专x,Fo=际Aaacio.F

6、=Fo=ky=一(TP。x=m壬III笄.心(严。)ImIG固有频率与坐标选取无关方程为：mx+(y)笄.心(严。)ImIG固有频率与坐标选取无关x=0（注：5=mx+(-)x=0（注：5=mke，直径相扭振固有频率。0例（二）轴质量不计，两段长各为I.I?同为d,圆盘转动惯量为I;求:解：设圆盘转角ke，直径相扭振固有频率。0则（注：实际转角很小）两段分别提供的弹性扭矩这里两段轴为并联形式，故有ke=kk2现在分别求之由公式。严等注：这里MgMk,（注：实际转角很小）两段分别提供的弹性扭矩7甞（扭转簣效刚度）同样k2=其中打二五极惯性矩.人*+仏=凹+凹二GJp（匕）=&加“4+-）012l

7、2P耳2G7id（/j+2）32/仏例（三）悬臂梁长l=60cm,截面bXh=lX2cm2,E=2X106kg/cm2,重物P=10kg；求：不计梁质量时,求系统的固有频率及振动频率？解：悬臂梁端受力P时挠度为：3EJT123EJT12丁心故6=悬臂梁等效刚度（弯曲）k严竿）J其中惯性矩坐J加2弧度/秒加2弧度/秒&23x-x2xl063f-5Jnc=6.8赫兹171c=6.8赫兹171本节小结单自由度系统的自由振动位移x=-sincdnt+xQcos/=Asin（0/+0）其振幅：A=k+d）2,V初相位：V0取决于初始条件，也就是说，正是由于有了初位移X。或初速度V。才会有自由振动（即外力

8、停止后的振动）,振动的三个墓本条件。振动质体2提供恢复力元件始出干扰我们这里忽略了阻尼，实际上是存在的，所以自由振动将随着时间很快衰减而停止，它对结构的破坏不大。我们研究自由振动的主要目的是为了了解固有频率k它是结构固有的性质。关于固有频率的计算要特别注意公式中k和m的含义ok要在我们所设坐标上产生单位位移而需要在这个坐标上加的力f线位移一一力角位移一一扭矩-对于线位移就是质量，对于角位移则是转动惯量。2-2求固有频率的能量法由于没有阻尼，系统就没有能量损失，根据机械能守恒定律，在整个振动过程中任一瞬时机械能保持为常数，即：T+U=C或怎+）=（注：此式含义：在任何瞬时，系统动能与势能之和为常

9、数，由此可见（1）、（2）两式）其中T系统中运动质量所具有的动能u一系统由于弹性变形而储存势能，或由于重力作功而产生的重力势能。我们选取静平衡位置为第一瞬时位置，这时势能为零，而动能达到最大值丁吨；当质点离开平衡位置最远点时，速度减为零，即动能为零，但势能达到最大值叫討我们取之为第二瞬时位置。由上式：（丁喚+0=0+几丿Tmax=Umax对较复杂系统用能量法建立微分方程和求固有频率有时更为方便。例（一）弹簧质量系统，已知k,m；求固有频率。解：因是简谐振动，设/x=Asm（cont+=Aconcos/+0）/当质体经过静平衡位置时rri121A22nax=-n.ax=曲%2max达到最大位移时

10、2max一kA2（因弹簧变形由0擇大到最大，故为牛）mA1co=kAmA1co=kA222k_m例（二）图示传动器的一个元彳无定向摆示应图，整个系统对转轴。的转动惯量是I0=1.76X10-2kg-cm-s2,a=3.54cm,k=0.03kg/cm,求：系统的固有振动频率。解：设e为参数，并设解：设e为参数，并设0=A(OnCOS(G)nt+0)则&max=人Qmax=也”在静平衡位置rmax=|iQ在静平衡位置rmax=|iQel弹簧变形后储存的弹性势能为：几冷心心，（弹簧为并联）质体W的重心下弹后质量势能为：（以平衡位置势能为零）U：ax=-mg（l-cosmaxU：ax=-mg（l-c

11、osmax）mg（注：亦22_-m由TmarUmaxIqA2co=ka2A2mglA22ka2-mgl2ka2-mgl112ka2-mgl1Jn-27V得:02兀2x0.03x3.54?0.0856x4_077（也）1.76x10200OR例(三)一半径r重w的圆柱体在一个半径为R的圆柱面内作无滑动滚动。在圆柱面最低处。左右微幅摆动；求:摆动的微分方程及固有频率。OR解：设e坐标，圆柱体同时作两平动和转动。平动时,种运动平动和转动。平动时,圆柱体质心线位移为(Rr)0,线速度为v=(R-r)9转动时，圆柱体绕质心轴转动，由于无滑动，角速度为：a)=-=-(R-r)0rr(注：22任一瞬时位置，

12、圆柱体动能为:22/S2T=imv2+-Z2=i-(7?r)2+-(7?-r)2+w(7?-r)(l-cos。)=-(/?-r)26+w(Rr)sin0O=0力4g2g2g3（R厂）+島&=0对于任一瞬时若2g3（R厂）+島&=0解法(2)若已知圆柱体的摆动为简谐，只要求固有频率3十则设0=4sin(/+0)贝0=Aconcos/+0)max于是久ax二人dnax=max在最低点O处势能为零，动能最大久nax=冲+舟仇2=弓兰(尺_厂)2證ax=2f(R_厂严屮衬224g4g在摆动到8max位置时动能为零，势能最大=Wg-0(1-COS6max)=-=快人-门2g3(Rr)由Tmax2g3(R

13、r)(R-r)2A2a)=w(/?-r)A2则=讨论从以上例题的解算过程可以看到：1、对应较复杂的单自由度系统自由振动问题，用能量法有其便利之处，只要写出系统的动能及势能以所选坐标的表达式，下边就可照章办事了。2、若已知是简谐振动，只要求固有频率，可先设位移方程Es力（3菽艸）,分别写出静平衡位置7；丄及最大位移瞬时的乙x，由公式瞌”=乙常出3、若要求列出微分方程，则纯按某一瞬时写出U、T以所选坐标的表达式，利用公式討T,即可得到微分方程，然后可得3n。2-3单自由度系统有阻尼的自由振动其中r一粘性阻尼系数其中r一粘性阻尼系数简化,我们将着重研究这种情况，对于非粘性阻尼也得引进等效粘性阻尼系数

14、计算。1、粘性阻尼当质量在介质中振动时，阻尼力一般表现速度的函数：R=R（Q若物体以较大速度在空气或液体中运动，阻尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在粘性介质中运动（包括两接触面之间有润滑剂时）可以认为阻尼与速度成正比，即:尺二-圧&这种阻尼（由于阻尼力与速度成正比）又称为线性阻尼（这种阻尼与介质的粘性有关，故称为粘性阻尼）o它使计算大为2、材料阻尼又称为结构阻尼。在振动过程中物体结构材料本身的内摩擦而引起的阻力。在完成弹性材料内，应变与应力的相位相同，所以在反复受力过程中没有能量损失。而粘弹性材料内，应变滞后于应力，在反复受力过程中形成滞后回线，因此要耗散能量，而成为振动的阻尼。事实上材料

15、阻尼是存在的，但我们在以后的讨论中忽略它。3、干摩擦阻尼这就是通常说的摩擦力，出现在干摩擦之间。按库仑摩擦定律：R=pN其中摩擦系数，由接触面的材料和粗糙程度决定。本课程讨论中只引进粘性阻尼即线性阻尼情况。二、振动微分方程按牛顿第二定律：mx=-kx-rxmx-kx+rx=0.,r兀+兀兀=0mm令亠=丄2y/mk2m(onr2_kYe_2mr2_kYe_2mx+2a)nx+cox-0(1)其中_阻尼系数(单位：kgs/cm)rc临界阻尼系数，f阻尼比二、求解现在变成求解方程(1)壬+茗壬+凶兀二0其特征根为：P1,2-现1土%一11过阻尼(1)x=CeSt+DxeS2t2临界阻尼(g=l)x

16、=C2+De0)nt无阻尼($0)x=Asin(/+(p)欠阻尼(0仑1)兀二门咖(Ecoso)rt+Gsina)rt)=Aentsin/+0)其中A=h+(宜迪込尸0=arctan-q叫兀。+做/。兀0，丘0为初始条件二fF有阻尼振动的圆频率上式即单自由度系统有阻尼振动的位移方程。讨论1、在阻尼时只有当（fiMrn二二2m匕=2a/kmVm2、由于阻尼的存在使系统的园频率比无阻尼固有频率3/2略有下降。在阻尼很小时，认为3、兀=Aesin（6?/+0）其振幅随着时间t的增长而衰减。为了表示振幅衰减的快慢，取任意两个相邻振幅之比4二缶咖4二缶咖二式中周期式中取对数0=呛=利7；=律2对数衰减V

17、MM它与阻尼系藪r成正比?奩尼越大，振幅衰减越快。通过变换还可找到对数减缩与阻尼比的关系（正比）：VMM总之，阻尼的存在，使自由振动的振幅随时间的增长而衰减，阻尼越大，衰减越快，直到最后停止振动。因此自由振动并不危害结构的强度。4、阻尼的测量振动曲线可由示波器得到。测量阻尼有以下两种方法。a、测量沧及第n个振幅人，贝!JIn=ncorIn=ncor=n5AA幺纽t+nTr）于是5=丄111$nAz进而驚?（阻尼比）b、定某一振幅为血,找到A”晋，数一下由A到人经n个波幅（即周期），设为讣，于是In色=ln2=n34In2.8=n2龙ln7T把系统在外界干扰下产生的位移、应变、应力通常称为系统对

18、此干扰的响应。（注：静力学静响应；动力学动响应（注：自由振动对初始条件响应；受迫振动对激振力响应m2-4单自由度系统有阻尼的强迫振动1、激振力前几节讨论了在外界初始干扰下依靠系统本身的弹性恢复力维持的自由振动。本节讨论系统由外界激振所引起的振动，称为强迫振动。外界激振所引起的系统的振动状态称为响应。对于不同的外界激振，系统将具有不同的响应。r简谐激振力激振力包括：气非简谐的周期激振力沖击激振另激振力包括：气随机激振力，等等我们将重点讨论系统对简谐激振力的响应，因为这是最基本的，是研究其他响应的基础。最后要奈论系统对任意激振另的响应。rrvc2、运动微分方程：按牛顿第二定律：mxrxkx+Fsi

19、ncot按达朗伯原理（动静法）：mxrxkx+PQsincot=0最后都得到：rrvcmx+rx+kx=PQsincot（1）我们现在解这个微分方程，它比有阻尼自由振动微分方程多了右端激振力，是一个非齐次线性微分方程。它的解包含两部分:兀=兀+兀？tmxtrxtkxP=PosinOOtI兀（注i：tmxtrxtkxP=PosinOOtI兀（注i：达朗伯原理：统运动时，它的任何位置都可以看当一个力学系作是平衡位置，只要我们在原动力上再加上惯性力。这样就可以把任何动力学问题按相当的静力学问题来处理。（注2：简单说明一下各力方向，我们设位移X向下为正，取所有与X一致的力、速度和加速度为正。则P=Po

20、sinwt（为正），一kx（因弹性恢董力与位移反向），-戏（因阻尼力与速度反向），心因惯性力与加速度皮尙）其中兀=Aesin(血+)-齐次方程解x2=Bsm(a)t-非齐次方程(1)之特解其中B和卩是特定常数，可以把X2代回微分方程(1)求出。我们这里利用待定系数法求庆(POx2=a)Bcos(cot(/)x2=-cd2Bsin(-0)注3：为什么这里“-p”,只要系统有阻尼，振动位移肯定滞后于干扰力)注4：非齐次方程(1)的特解一般用参数变换法求出,但须积分。当(1)的右端具有某些特殊形式时，可直接用代数方法求出，叫待定系数法。)将勺、乙、无2代入振动方程，可得:-mco2+k)Bsin(D

21、t-(/)注3：为什么这里“-Bk-mco最后其解为：x=Aesin(cort+(p)+Bsin(pt-0)A、0由初始条件确定X的前一项代表有阻尼自由振动，随时间t增加而衰减至消失，称为瞬态振动。而第二项则代表有阻尼强迫稳态振动。在简谐激振力下，它是简谐振动，它与激振力有相同频率，其振幅B,相位差（P只与系统本身性质（激振力大小（）、频率有关（）,与初始条件无关。初始条件只影响瞬态振动。条件只影响瞬态振动。讨论我们主要感兴趣的是强迫稳态振动，即，经过一段时间后，有：rcorakmco2kmco2rcorakmco2kmco2mat2九CDnnnrtnn2macolacorcoCD1、幅一频特

22、性把振幅写成1、幅一频特性把振幅写成3)22+(2)2V5rco_rcoco-rc0严=#2叫=2做%乎=子)nkp0T1-我们设：Bq=再引进两个参数：fl=3。.0）Z=R于是得到：瓦和（1一2）2+心2振幅放大系数或动力放大系数（由于动加载而使位移加大的程度）。频率比（激振力频率与固有频率之比）振幅放大系数或动力放大系数（由于动加载而使位移加大的程度）。频率比（激振力频率与固有频率之比）1频特性曲线，可见：徉0.20.34321人0.4我们做出幅a、当入由零开始从小到大时，动力放大系数卩从小到大，再从夭到小。频特性曲线，可见：徉0.20.34321人0.4我们做出幅a、当入由零开始从小到

23、大时，动力放大系数卩从小到大，再从夭到小。A=0时，卩=1（静态）A1时，p-0（当激振频率远大固有频率时，系统不响应）00.5b、当入接近1时卩达最大值，即振幅&B=Bmax,称为共振,这时系统的动应力最大，对系统（或结构）的破坏最大。注意到，位移共振时入工1,就是说,这时激振动的频率并不等于系统的固有频率，所以不能用这种方法测定系统的固有频率。但是，当阻尼很小时（一般=0.1）Ac、阻尼越大（即接近1）,共振諂越低（即P小）。n0=o23E=0.12、相一一n0=o23E8TT/2-TTb、阻尼不同时（pA特征曲线不同，但当宀产时，无论阻尼如何，位移落后于激振力的相位差总是TT/2。我们可

24、以利用这一特点测定系统的固有频率3十这种方法叫相位共振法。3、速度幅频特性3、速度幅频特性类似于位移振幅放大系数（动力放大系数”违,Bco2P=也（1一兀）2+4孑兀作速度幅频特征曲线由公式及图可见：QO321012人2347当入=0时，卩v=l（无振动，静态）当入=1时，卩v=（卩V）max发生共振。当入8时，卩V-0QO321012人234744、加速度幅频特性定义加速度幅放大系数:QBa2定义加速度幅放大系数:QBa2A2作加速度幅频特性曲线当入=0时，pg=0(静态)当入稍1处，卩g=(pg)43Q000.21maxIo12A243Q000.21maxIo12A210.4前边，我们由曲

25、线说明了发生位移共振、速度幅共振及加速度幅共振时的大小，实际上，我们有PPvP的解析函数，用求函数极值的方法可以解析地确定龚振时频率比的大小。在入=0,得几二匸愛，可见位移共振发生在入=0,得几二匸愛，可见位移共振发生dB蟲得j可见速度共振发生卸J1-2严令dt=0f得,可见加速度共振发生注A1J1-2严只有速度共振发生在人=1处，即当激振力频率等于系统固有频率时发生速度共振，我们可利用这一特点测定系统的固有频率3”。5共振区所谓共振区，就是共振点（入=1）附近振幅相对比较大的区域。共振区一般指相一一频特性曲线上（P=45和cp=135相对应的频率上的入1和入2之间的区域。，由公式猪0=寻？当

26、cp=45时，入二-f+VFR（注：由峻45。=1,则2f人=2人2,入2+2人一=0*）当（p=135时，仏宅+Q+1所以共振区宽度：A厂入2=2可见，阻尼越大，共振区越宽。由速度幅放大系数公式（共振区的另一种表述）J（l_/）2+4耳彳共振时人=1,CPv）max=H2为求入1，A2时的”V值，把公式变化为:2)2+lN2乡I1-22max2)2+lN2乡I1-22max（注：tgO=）2仅1maxmax当入=入1时，（pX=45O,几=7?（几）当入=入2时，9=135,0严刍（0、）在共振区内，几令（max。maxmax6、避免与利用共振共振时系统的振动特别强烈，动应力很大,对结构强度

27、及仪表使用造成威胁。因此，在结构设计中，避免发生共振是很重要的问题。lfj例如直升飞机的螺旋桨就是一个振源，而整个飞机通过起落架与地面接触，这有一定的固有频率，如果两者频率相等，就会在直升飞机着陆的一瞬间发生地面共振，可能在几秒钟内造成机毁人亡的严重后果，其速度之快使飞行员来不及lfj或无法釆取措施。因此，不但在飞机设计过程中要尽量避免，而且在造出这样的飞机后还须作地面试验以检验是否满足要求。防止共振总的来说有两方面：a、消除振源。例如做动平衡试验，发现有惯性力偶作用时用加配重方法调整。b、若振源无法完全消除，则要使激振力频率与系统固有频率之比人远离共振区范围工作。这又分为两种情况：若3已定,

28、则要调整设计使3”远离3;若3已定，则设法使（V远离0。这里要说明一点，若一系统须稳定在入=1以右较远处工作时，这样就必须越过共振区。从实践和理论上都表现：在短时间内越过共振区没有什么危险，因为共振是一个能量积累的过程，振畐增大需要一克甬時间。另外，认识了共振，人们可以利用共振，例如用共振法测系统的固有频率。例一、用图示共振试验得到的速度幅一一频特性曲线，求系统的阻尼比f。解：图中乞为速度幅，即3B,该图是速度幅随激振力频率3变化的曲线，当3=3“时Bv=B即宾振点。我们知道，共振区宽度与阻尼比有关即2g=久2一入=（p）bkx（0）.2-coCO0）2%5其中入2、A1对应着速度幅放大系数B

29、,十BvmaxB*2=仗1v2在曲线上量取(耳)1=厉Bvmax=707，max于是得到31，UJ2,贝!J（或e历）G)rCDy（或e历）2d”2（UW2瓷，人瓷）这就是说，用速度共振方法可测定系统的阻尼。例二、电机转速1760转/分，由于未很好平衡，产生不平衡力70公斤使支座振动，支座弹簧常数11000公斤/厘米，配有阻尼装置，其r=35公斤秒/厘米，电机重300公斤。求：振幅,无阻尼时的振幅，固有频率心。解：激振力频率-4b=2兀CD-60X1760=184弧度/秒初F7=2兀CD-60X1760=184弧度/秒初F7=0.0108厘米(11000-x1842)2+352x1842981

30、-=0.109厘米2当r=0时B=7011000嚙皿60一601一260一601一2兀、Jm2tt巴刖f周/分fn它与激振力频率1760转/分很接近。25基础振动第二类振动问题前面我们讨论的振动问题都是把振动系统（弹簧、阻尼、质量系统）固定在基础上，激振力作用在质量上，而基础是固定不动的，这类振动称为第一类振动问感O工程中，经常遇到另一种情况，激振力不直接作用在质量上，而是由于基础本身振动使与基础相联的弹簧一阻尼一质量系统发生振动，这类振动称为第二类振动问题。例如，装在机器上的仪器，仪表等等，由于机器振动，仪器，仪表发生第二类振动。另外，振动试验台就是典型的作基础振动的机械，在振动台上做试验的

31、试件的振动就属于第二类振动。i=tk(x-Xj)r匕si讪w-和ti=tk(x-Xj)r匕si讪w-和tmxmj-0 xi=敢坐标x为质量m离开平衡位置的绝对位移，向下为正，取元为质量m对于基础的相对位移，则有：元r-西那么，作用在m上的力有弹性力：一k(x_x)=-恋-0 xi=阻尼力：-心-和=-厂阻尼器加在基础与m之间,故阻尼力与相对速度成正比。惯性力:-mx=-m(x-bco2smcut惯性力与前两者不同，它与绝对加速度成正比，右端是按x=x-bsincot算出。应用动静法原理，可写出微分方程。1、表示质量相对于基础运动形式m(xbcosincot)rxAx=0即cmx+rx+Ax=m

32、beosincot(1)2、表示质量绝对运动形式-mx-r(x-xj-k(x-x)=0即mx+rx+kx=brocoscot+bksincot(2)J（1J（1-才）2+（2仅T:、相对振动用P0=mb(jJ2代入(1)式，则相对振动微分方程为:rwc+rxkx=Posincot(3)这与前边讨论的第一类|kx有阻尼强迫的形式完全相同。就是说，相当于在质imi接作用一个简謫力，箕力幅耳=观方OJ2,其方向与基础振动的加速度方向相反。|kx应用前边的结果，可以直接写出方程(3)的解:其中相对位移振幅:B=x=Bsin(cot一其中相对位移振幅:B=1=1=tg-224320.40122吳=tg-

33、224320.40122吳1-22Q0=00.2质量m滞后于基础相位差：引进参数亍B7（1-17（1-12）2+4222Td相对位移传递系数1=（质量m相对于基础的振幅与基础自身振幅之比）可见：1=1、当入时Td=0就是说，当基础振动频率3远比系统固有频率为低时，系统几乎完全_随着基础一起振动.b当入3以后r就是说,2、当入b当入3以后r就是说,FA系華相对于基京的振幅接近曙牛基础的振幅（B=b）oFA系统的相频特性与第一类振动相同,请大家回忆一下:当入01有3系统的相频特性与第一类振动相同,请大家回忆一下:当入01有3OfTT/2TT/2一TT把幅一一频，相一一频特性结合起来即得到结论：当入

34、1时，即基础频率3高时，质量227相对于基础的振幅接近等于基础本身的振幅，而且两者相位相反，这说明质量m实际上几乎在空间静止不动（绝对位移为零）。三、绝对振动mx+rx+kx-bksmcot+brcocoscot(2)把右端合成，得mx+rx+kx=by/k2+(ra)2sin(m+a)(4)卄亠.-irco其中t将右端的系数看成力幅，同样可利用第一类振动的结论，得微分方程(4)的解，即绝对位移为：x=Bsin(jJt(p)(注:x=Bsin(u7-cr)ip=Bsin(u)t(p)其中(p=a+qj)bJl+4严才式中-屮TbJl+4严才心-才)2+4了才J(l砂+皤，_!2做_10=Q+t

35、g-=tg(1一尤k-r(o-r(o-2仅(-2仅)+j号2=1(-2歹I)+tg7-万=fgJ:矛j-1-(-2时代T兀+VII-/S=2说;tgx+tgy=tg2刃整理后得妇口“+402引进参数Td巩-:阳22bJ（l才）2+4严才1+4孑才(1-22)21+4孑才(1-22)2+42!232.41A0=0.10132.41A0血时，TPV2以后，位移传递系统Td随阻尼增加而提高。可见在这种情况下阻尼增加对隔振不利；但也不能因此而盲目减少阻尼，因为2血意味要越过共振区工作，阻尼太小将提高共振峰。因此要全面考虑。以上四点就是设计减振器的理论依据O为了说明隔振效果，引进参数耳=(1-T)xio

36、o%,n隔振效率。表示减振器所隔离障的振动的百分率。-JJA二、第一类隔振-JJA机器质量为m,它是振源，我们设法把它与基础隔离开，以减少其对周围的影响。设机器的激振力为P=Posin(A)t0若把机器刚性固定在基础上，则激振力将不折不扣地传到基础上。今把机器与基础间装上减振器，如图。P二住sincotQ)1=按第一类振动理论，可写出mk1=按第一类振动理论，可写出mkr系统在P=Posinu)t作用下的位移方程(稳态)：x=Bsin(u)t(p)Bo-i21-22凤=0=鬼振源(机器)通过减振器传给基础的力应为弹性力与阻尼力的矢量和。其中：kxkBsin(cot0)1=rxrcoBcos(c

37、ot0)1=所以，传给基础的振动力幅值为：几(基)二J伙B)2+(sB)2=PBJl+4孑力肇弘222V(l+22)2+42A2=p0:1+4/22(l+22)2+4U2=p0（心ro）rco“co小a）po）、（庄：二7乂二f2加?二二2二2瓠Jkrckkko）fi用丁卩表示经减振器传给基础的振动力幅值与振源激振力幅值之比：“基）“基）亍1+4/才（1-才）2+4严才（=坊）力传递系数。第一类隔振的目的，就是使经过减振器传给基础的力小于振源（机器）的激振力，即弓所以第一类隔振实质就是隔因为7绻，所以力传递系数3随频率比人的变化规律也是按上图。也就是说，前述第二类隔振的全部结论也适用于第一类隔

38、振。51!应当注意的是：在第一类隔振中，在设计减振器时，除了满足丁卩的要求外，还应考虑机器本身的振幅b和静位移b厂彳是否会影响机器的正常工作。通常，一台机器（动力源）的正常工作，对振幅有严格的限制。如果其激振力频率3很低为了达到隔振目的使几雄势必把减振器的刚度设计得很低，虽然达到隔力目的使机器振幅加大到不允许的程度。在这种情况下，我们不得牺牲隔力,而采用刚度固定方法，以满足对振幅的限制。此时tf=i,即激振力百分之百传到基础上。51!为了表示隔振效果，这里是用隔力效率:nf二（it/xioo%它表示由减振器隔离掉的激振力的百分率。5与n尸可以统称为隔振效率）例：橡皮金属减振器在额定重量下静位移

39、为1.6mm,用作航空仪表隔振。飞机振动范围20200Hz；求：1、最低隔振效率？2、当隔振效率为50%时，对应的频率是多少？解：这是第二类隔振问题仪表隔振系统的固有频率为：f旦用5f=丄用5f=丄2龙2龙Y3c2龙求碉人,2晋厂n由坊人曲线可见，当人1以后入越大(即激振频率越高)，隔振效率提高，因此，最低隔振效率发生在f=20Hz处。(A)min=20/12.5o忽略阻尼1+4学才_1_1(1_才)2+需2才_Q2_厶2_r伽=(1-0.63)X100%=37%若=(1-Td)X100%=50%则Td=0.5由心=右=05得：2=V=1732=173Jn=0.634则/=1.73九=1.73

40、x125=22比=0.63427单自由度系统对任意激振力的响应这一章讲述的内容都只涉及到单自由度系统。前几节已经介绍了系统的自由振动和对简谐激振力的响应，同学们很自然会想到，在实际工程问题中，激振力并不都是简谐函数，对于一般的周期力和任意激振力如何处理呢？这正是本节课要解决的问题。我们不打算介绍系统对周期力的响应问题，因为:1、一般周期函数都可以用富里叶级数展开成若干简谐函数的迭加；2、这里介绍的任意激振力也包括了周期激旅另。fa我们在前边讲系统对简谐激振的响应时，先讲系统对简谐激振力的响应，然后讲系统对基础作简谐振动的响应，现在仍按这个顺序。fa1、系统对任意激振力的响应(任意干扰力)图示弹

41、簧、阻尼、质量系统，受任意激振力F(t)作用。现在问题是求t瞬时质量m的位移o取流动坐标OWtWt,那么在r瞬时m的振动微分方程是：m我们用杜哈梅积分(Duhamel)求方程(1)的解。mx+rx+kx=m我们用杜哈梅积分(Duhamel)求方程(1)的解。1=EX基本思路是：把任意激振力尸e丿的作用分解为一系列元冲量的连续作用，分别求出系统对每个元冲量的响应，再根据线弹性系统的迭加原理，把这些响应迭加起来，就得到系统对尸丿的响应。F-r,*/1=EX基本思路是：把任意激振力尸e丿的作用分解为一系列元冲量的连续作用，分别求出系统对每个元冲量的响应，再根据线弹性系统的迭加原理，把这些响应迭加起来

42、，就得到系统对尸丿的响应。F-r,*/t理，系统动量增量对于冲量：,、,F(T)drmdv=F(t)drdv=-按碰撞理论，在极短的力时间后，质量也只有速度增量而来不及发生位移。于器可腿变成：在y丛的有阻尼自m时初始条件为Xq=O,x0=dv=-由振动，求质量m在t可腿变成：在y丛的有阻尼自m自由振动前边己经讲过，公式是：TOC o 1-5 h zdx=eat(x0cos/+心+弧sincort)=Aeatsin(o)/+0)亠E(注：前边给出AH+Gn、石把初始条件心九代入后即得：E=X,G=匹泸.其中如=土.心血+(如堆尸.x0+axQV(or把上边的初始条件代入，得(P=0/二牛,所以：

43、7FT)dT七.dx=esincortmcor这是在坐标原点(7=0)有一元冲量时，在t瞬时产生的位移。如果元冲量不在坐标原点，即TH0(见图1),则上式中的t应改为(t-T)(坐标平移),即：d兀二也严(i)sin(/Y)dtmor把T=0t所有元冲量的作用迭加起来，就得到系统对任意激振力F(t)的响应：x=fgg(frsinnt)mcon(69；-CD)conm(con-CO)Dn（注:积分时设u=-砒帶）可见，杜哈梅积分具有普遍性，它能解决以前的所有问题。这正是无阻尼强迫振动（在t=0时,兀0=无0=0,受简谐力）初始阶段的稳态振动（第一项）与瞬态振动的综合，当有阻尼时，后一项将逐渐衰减。可见，杜哈梅积分具有普遍性，它能解