必修五0102.正弦定理、余弦定理及其应用

1、积微教育 2016 高一春季同步班第一讲正弦定理、余弦定理及其应用知识点梳理1正弦定理和余弦定理2.在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况3.三角形中常用的面积公式1ah(h 表示边 a 上的高)；(1)S2111(2)S bcsin A acsin B absin C；2122(3)S r(abc)(r 为ABC 内切圆半径)2第 1 页共 9 页A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解定理正弦定理余弦定理内容a b c 2Rsin Asin Bsin Ca2b2c22bccos A， b2c2a22cacos B， c2a2b22

2、abcos C变形形式a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；abcsin Asin Bsin C；abc asin Asin Bsin Csin Acos Ab2c2a2；2bccos Bc2a2b2；2cacos Ca2b2c22ab解决问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角题型一：正、余弦定理在求角求边中的应用1例 1、钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB1，BC 2，则 AC.2ABC1 BBCsin B11A2sin B1，sin B22：S222若 B45，则

3、由余弦定理得 AC1，ABC 为直角三角形，不符合题意，因此 B135，2由余弦定理得 AC2AB2BC22ABBCcos B1221 22 5，AC 5，符号题意 ac, 且cos B 3 ，知b2例 2、在 ABC 中，内角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已4则tan B tan B 值为.tan Atan C弦定理得sin 2 B sin Asin C.：因b2 ac,tan B tan tan Atan C2 BB n Asin C1 4 .cos B31例 3、在ABC 中，C90，M 是 BC 的中点若 sinBAM ，则 sinBAC3.12 2：因为 sinBA

4、M ，所以 cosBAM.33BM AM ，如图，在ABM 中，利用正弦定理，得sin BsinBAMsinBAM1BM1所以.AMsin B3sin B3cosBACCM在 RtACM 中，有sinCAMsin(BACBAM)由题意知 BMCM，AM1所以sin(BACBAM)3cosBAC化简，得 2 2sinBACcosBACcos2BAC1.所以 2 2tanBAC1tan2BAC1，解得 tanBAC 2.6再结合 sin2BACcos2BAC1，BAC 为锐角可解得 sinBAC .3第 2 页共 9 页题型二：利用正、余弦定理判断三角形的形状例 4、在ABC 中，a、b、c 分别

5、表示三个内角 A、B、C 的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的形状解：方法一(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，弦定理，得 sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A，sin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0，sin 2Asin 2B，由 02A2，02B2，得 2A2B 或 2A2B，即ABC 是等腰三角形或直角三角形方法二同方法一2a2cos Asin B2b2cos

6、 Bsin A，b2c2a2a2c2b2、余弦定理，即得 a b2b a2，2bc2aca2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0，ab 或 c2a2b2，三角形为等腰三角形或直角三角形例 5、在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A(2bc)sinB(2cb)sin C. (1)求 A 的大小；(2)若 sin Bsin C1，试判断ABC 的形状解：(1)由已知，根据正弦定理得 2a2(2bc)b(2cb)c，即 a2b2c2bc.1.由余弦定理，a2b2c22bccos A，bc2bccos A，cos A22又 0A，

7、A .3(2)由(1)知 sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，sin2A(sin Bsin C)2sin Bsin C.311.又 sin Bsin C1，且 sin A ，sin Bsin C ，因此 sin Bsin C2420，又 B、C2 ，故 BC.所以ABC 是等腰的钝角三角形第 3 页共 9 页题型三：与正、余弦定理有关的最值范围问题例 6、ABC 中， A 60 ，M 为 AC 的中点， BM为：依题意，设ABM ，其中0 120 .，则 AB AC 的最大值1 AC中， AB 2 BM在ABM，sin 120 sinsin 60BM sin 120 2BM s

8、in AB ， AC ，sin 60sin 603 sin 120 22 2 3 sin sin 60 8sin 4 sin 120 AB AC sin 60 10 sin 2 3 cos 4 7 5 sin 3 cos ，记 5 cos ， sin 3 272 72 72 77 sin ，当sin 1 时取等号，则有 AB AC 4因此 AB AC 的最大值是4 7 .ACBC AB2例 7、已知ABC 中，AB 边上的高与 AB 边的长相等，则的最BCACBCAC大值为c 211：由三角形的面积公式得 c ab sin c , sin c ，222abc 2abc a b2ab cos c

9、 2cos C sin C 2 cos C ，baab222由余弦定理ACBCAB2 2sin C 2 cos C 2 2 sin(C ),最大值是2 2 所以 4BCACBCACb例 8、在ABC 中，角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，满足acc1，则角 A 的范围是ab0，：3bc：由1，得 b(ab)c(ac)(ac)(ab)，acab化简得 b2c2a2bc，即b2c2a2 ，即11(0A)，所以 0Acos A222bc3第 4 页共 9 页题型四：解三角形应用题的方法例 9、在海岸 A 处，发现北偏东 45方向、距离 A 处( 31)海里的 B 处有一艘走私船；在 A 处

10、北偏西 75方向、距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 103海里/小时的速度追截船同时，船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上间？船？最少要花多少时解：设缉私船 t 小时后在 D 处追上船，则有 CD10 3t，BD10t.在ABC 中，AB 31，AC2，BAC120.利用余弦定理BC 6.ACsinBAC 2 ，32弦定理，得 sinABCBC622ABC45，因此 BC 与正北方向垂直于是CBD120.BDsinCBD10tsin 1201在BCD 中，弦定理，得 sinBCD ，CD10 3t2CDBC10 3t6得BC

11、D30，又6，得 t .，即sin 120sin 3010船，最少要花 6小时103所以当缉私船沿北偏东 60的方向能最快追上课后练习31、在ABC 中，A60，AB2，且ABC 的面积为 ，则 BC 的长为22、在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若(a2c2b2)tan B 3ac，则角 B 的值为3、在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a1，A60，c 3，则ABC 的面积为3ba4、在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 6cos C，abtan Ctan C.则tan Atan B5、在ABC 中, M 是 BC

12、 的中点,AM 3 BC 1 ,则 AB AC =.6、已知中，三个内角 A， B，C 的对边分别为 a,b,c，若的面积为 S，且等于_第 5 页共 9 页7、设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ac6，b2，7cos B.9求 a，c 的值；求 sin(AB)的值8、在ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且 acos C1cb.2求角 A 的大小；若 a 15，b4，求边 c 的大小9、已知岛 A 南偏西 38方向，距岛 A 3 海里的 B 处有一艘缉私艇岛 A 处的一艘船正以 10 海里/时的速度向岛北偏西 22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多

13、大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该船？参考数据：sin 385 3，sin 22331414第 6 页共 9 页10、要测量对岸 A，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的 C，D 两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求 A，B 之间的距离11、为了吸引游客，增加旅游业收入，徐州市旅游局准备在湖边增设两个景点 B 和 C，为此要计算两景点 B 与 C 的距离由于地形的限制，需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点，现测得 ADCD，AD100 m，AB140 m，BDA60，BCD135，求两景点 B 与 C 之间的距离(假设 A，B，C，D 在同一平面内，测量

14、法需保留整数；参考数据： 21.414，31.732，52.236)第 7 页共 9 页11331、：因为 SABACsin A2 AC ，所以 AC1，所以 BC2 2222AB2AC22ABACcos 603，所以 BC 3.a2c2b232、：由余弦定理，得cos B，结合已知等式得 cos Btan B ，22acsin B 3，B2. 或2：33ac13、，代入数据解得 sin C .弦定理sin Asin C2又 ac，所以 A C，所以 C30，B90，所以ABC 的面积为 13acsin B .26a2b2c2baba34、6cos C， 6，化简得 ca2b22，： abab

15、2ab2sin2Ctan Ctan Csin Bcos Asin Acos Btan Csin ABtan C则tan Atan Bcos Csin Asin Bsin Asin Bsin Asin Bc24.a2b2c2ab2ab5、：由余弦定理 AB2 AM 2 BM 2 2AM BM cosAMB 52 32 253cosAMB ,AC 2 AM 2 CM 2 2 AM CM cos AMC 32 52 2 5 3cos AMC,AMB AMC 1800 ,两式子相加为 AC 2 AB2 2 AM 2 2CM 2 2 (32 52 ) 68 ,AB2 AC 2 BC 2AB2 AC 2

16、102 68 100 ,cos BAC 2 AB AC2 AB AC2 AB AC AB AC ABAC cos BAC AC 68 100 16AB2 AB AC6、：由得，即,所以，又，所以，即,所以,即,7、解：由余弦定理 b2a2c22accos B，得 b2(ac)22ac(1cos B)，7又 b2，ac6，cos B ，所以 ac9，解得 a3，c3.94在ABC 中，sin B 1cos2B2，asin B2 2.弦定理得 sin A9b3第 8 页共 9 页1因为 ac，所以 A 为锐角所以 cos A 1sin2A .310 2因此 sin(AB)sin Acos Bcos

17、 Asin B27118、解：(1)弦定理和 acos C cb 得 sin Acos C sin Csin B221sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C， sin Ccos Asin C.21sin C0，cos A0A，A . ，23(2)由余弦定理，得 a2b2c22bccos A，1a 15b41516c224c ，即 c24c10.， 2c2 3.9、解：如图，设缉私艇在 C 处截住船，D 为岛 A方向上一点缉私艇的速度为每小时 x 海里，则 BC0.5x，AC5 海里依题意，BAC1803822120，又 AB3，BC2AB2AC22ABACcos 120，由余弦定理1(0.5x)232522352 49，x14，BC0.5x7.35ACsinBAC532 又弦定理，得 sinABC.BC1475 3sin 38，ABC38，又BAD38，BCAD.14故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北行驶 ，恰好用 0.5 小时截住该船10、解：，在ACD 中，ACD120，CADADC30，ACCD 3 km.在BCD 中，BCD45，BDC75，CBD60.3sin 756 2BC.sin 602在ABC 中，由