2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第八章 8.1空间几何体的结构特征及直观图 （Word学案）

1、81空间几何体的结构特征及直观图(教师独具内容)1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构认识简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)，了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤；会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图强化直观图、原空间几何体形状之间的相互转化，通过观察空间几何体原图形和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系2重点提升直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算素养(教师独具内容)本考点在高考中考查频率不高，属于中低档题目，主要以选择题或填空题形式出现，命题的关注点在于几何体的直观图(教师独具

2、内容)(教师独具内容)1空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形结构特征(1)有两个面 eq o(,sup3(01)互相平行，其余各面都是四边形；(2)相邻两个四边形的公共边都 eq o(,sup3(02)互相平行有一个面是多边形，其余各面都是有一个 eq o(,sup3(03)公共顶点的三角形用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分底面互相 eq o(,sup3(04)平行且 eq o(,sup3(05)全等多边形互相 eq o(,sup3(06)平行且 eq o(,sup3(07)相似侧棱 eq o(,sup3(08)平行且相等相交于 eq o(,su

3、p3(09)一点但不一定相等延长线交于 eq o(,sup3(10)一点侧面形状 eq o(,sup3(11)平行四边形 eq o(,sup3(12)三角形 eq o(,sup3(13)梯形特殊的四棱柱：上述四棱柱有以下集合关系：正方体正四棱柱长方体直平行六面体平行六面体四棱柱(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆旋转轴矩形的一边所在直线直角三角形的一条直角边所在直线直角梯形的直角腰所在直线半圆的直径所在直线母线互相平行且相等， eq o(,sup3(14)垂直于底面相交于 eq o(,sup3(15)一点延长线交于 eq o(,sup3(16)一点轴截

4、面 eq o(,sup3(17)矩形 eq o(,sup3(18)等腰三角形 eq o(,sup3(19)等腰梯形 eq o(,sup3(20)圆面侧面展开图 eq o(,sup3(21)矩形 eq o(,sup3(22)扇形 eq o(,sup3(23)扇环2直观图(1)画法：常用 eq o(,sup3(01)斜二测画法(2)规则原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为 eq o(,sup3(02)45或135，z轴与x轴和y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 eq o(,sup3(03)分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 e

5、q o(,sup3(04)不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的 eq o(,sup3(05)一半注：1.斜二测画法中的“三变”与“三不变” eq avs4alco1(“三变”) eq blc(avs4alco1(坐标轴的夹角改变，,与y轴平行的线段的长度变为原来的,一半，,图形改变) eq avs4alco1(“三,不变”) eq blc(avs4alco1(平行性不改变，,与x轴和z轴平行的线段的长度不改变，,相对位置不改变)2按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图 eq f(r(2),4)S原图形，S原图形2 eq r(2)S直观图1思考辨析(

6、正确的打“”，错误的打“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台()(3)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线()答案(1)(2)(3)2如图所示，长方体ABCDABCD中被截去一部分，其中EHAD，则剩下的几何体是()A.棱台B四棱柱C五棱柱D简单组合体答案C解析由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱故选C.3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A一个球体B一个球体中间挖去一个圆柱C一个圆柱D一个球体中间挖去一个长方体答案B4如图所示，观察四个几何体，

7、其中判断正确的是()A.是棱台 B是圆台C是棱锥 D不是棱柱答案C解析图不是由棱锥截来的，所以不是棱台；图上、下两个面不平行，所以不是圆台；图是棱锥；图前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以是棱柱故选C.5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()答案A解析由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为 eq r(2)，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2 eq r(2).故选A.(2019全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官

8、员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_答案26 eq r(2)1解析先求面数，有如下两种方法解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有29826(个)面解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)面数(F)棱数(E)2(欧拉公式).由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由VFE2，得面数F2EV2482426

9、.再求棱长作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长连接AF，过H，G分别作HMAF，GNAF，垂足分别为M，N，则AMMHNGNF eq f(r(2),2)x.又AMMNNF1，即 eq f(r(2),2)xx eq f(r(2),2)x1.解得x eq r(2)1，即半正多面体的棱长为 eq r(2)1.基础知识巩固考点空间几何体的结构特征例1(多选)下列说法错误的是()A有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥B有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱

10、台C如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体答案ABC解析对于A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；对于B，有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；对于C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；对于D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确故选ABC

11、.例2给出以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析命题错误，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题错误，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题正确故选B.1.给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点其中正确命题的个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，

12、但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知2下列结论正确的是()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案D解析A错误，如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥；B错误，如图2，若ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角

13、边所在直线，所得的几何体都不是圆锥；C错误，棱台的上、下底面相似，但是侧棱长不一定相等；D正确有关空间几何体结构特征的解题策略(1)关于空间几何体的结构特征辨析的关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略注意：(1)棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱(2)棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台

14、考点空间几何体的直观图例3(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A eq f(r(3),4)a2 B eq f(r(3),8)a2 C eq f(r(6),8)a2 D eq f(r(6),16)a2答案D解析解法一：如图所示为原图形和其直观图，由图可知，ABABa，OC eq f(1,2)OC eq f(r(3),4)a，在图中作CDAB于D，则CD eq f(r(2),2)OC eq f(r(6),8)a.所以SABC eq f(1,2)ABCD eq f(1,2)a eq f(r(6),8)a eq f(r(6),16)a2.解法二：由题意得SABC

15、 eq f(r(3),4)a2，所以直观图的面积SABC eq f(r(2),4)SABC eq f(r(2),4) eq f(r(3),4)a2 eq f(r(6),16)a2.(2)已知水平放置的ABC的直观图ABC是边长为a的等边三角形，则ABC的面积为_答案 eq f(r(6),2)a2解析解法一：建立如图所示的坐标系xOy，ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为ABC的高把y轴绕原点逆时针旋转45得y轴，则点C变为点C，且OC2OC，A，B点即为A，B点，ABAB.已知ABACa，在OAC中，由正弦定理得 eq f(OC,sin OAC) eq f(AC,sin 45)，所以

16、OC eq f(sin120,sin 45)a eq f(r(6),2)a，所以原三角形ABC的高OC eq r(6)a，所以SABC eq f(1,2)a eq r(6)a eq f(r(6),2)a2.解法二：由题意得SABC eq f(r(3),4)a2，所以ABC的面积SABC2 eq r(2)SABC2 eq r(2) eq f(r(3),4)a2 eq f(r(6),2)a2.3.(多选)水平放置的ABC的直观图如图所示，其中BOCO1，AO eq f(r(3),2)，那么ABC是()A等边三角形B.直角三角形C三边互不相等的三角形D.面积为 eq r(3)的三角形答案AD解析由题

17、中图形知，在ABC中，AOBC.AO eq f(r(3),2)，AO eq r(3)，BOCO1，BC2，ABAC2，ABC为等边三角形ABC的面积为 eq f(1,2)2 eq r(3) eq r(3).故选AD.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(x轴、y轴的夹角为45或135)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握考点多面体的侧面展开图例4如图所示，圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中OEON，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2 eq r(17) B2 eq r(5)

18、C3 D.2答案B解析将圆柱的侧面沿ME展开，则N为EP的四等分点，如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径EN eq f(1,4)164，EM2，MN eq r(EM2EN2) eq r(2242)2 eq r(5).例5(2022大连模拟)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为AMNA1，则蚂蚁爬行的最短路程是()A eq r(a29b2) B. eq r(9a2b2)C eq r(4a29b2) D. eq r(a2b2)答案A解析正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1的长

19、为最短路程因此蚂蚁爬行的最短路程为 eq r(a29b2).故选A.4.如图正方体纸盒，展开后可以得到()答案A5.如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离为_答案2 eq r(12)解析将圆柱的侧面沿AB展开，如图所示，连接AB，则AB的长即为蚂蚁爬行的最短距离因为ABAB2，AA为底面圆的周长，且AA212.所以AB eq r(AB2AA2) eq r(4（2）2)2 eq r(12)，所以蚂蚁爬行的最短距离为2 eq r(12).解决空间几何体表面上两点距离的最短问题，常借助其侧面展开图课时作业一、单项选择题1下列几何

20、体中棱柱有()A5个 B.4个 C.3个 D.2个答案D解析由棱柱定义知，为棱柱2下面图形中，为棱锥的是()A B.C. D.答案C解析根据棱锥的定义和结构特征可以判断，是棱锥，不是棱锥3.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B该几何体有12条棱、6个顶点C该几何体有8个面，并且各面均为三角形D该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形答案D解析该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面，故D不正确4在用斜二测画法画水平放置的ABC时，若A的两边

21、分别平行于x轴、y轴，则在直观图中A等于()A45 B.135C90 D.45或135答案D解析因为A的两边分别平行于x轴、y轴，所以A90.在直观图中，由斜二测画法知xOy45(或135)，即A等于45或135.5下面图形中是正方体展开图的是()答案A解析由正方体表面展开图的性质知A项是正方体的展开图；B项不能折成正方体；C项缺少一个正方形；D项不能折成正方体6在五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有()A20条 B.15条C.12条 D.10条答案D解析如图，在五棱柱ABCDEA1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：

22、AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共有2510条7在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将该圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是()A圆面 B矩形面C梯形面 D椭圆面或部分椭圆面答案C解析将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面故选C.8.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1，AA1 eq r(3)，点E为AB上的动点，则D1ECE的最小值为()A2 eq r(2) B eq r(10)C eq r(

23、5)1 D.2 eq r(2)答案B解析如图，连接D1A，C1B并分别延长至F，G，使得ADAF，BCBG，连接EG，FG，四棱柱ABCDA1B1C1D1为正四棱柱，AB平面ADD1A1，AB平面BCC1B1，ABAF，ABBG，又ABADAF，四边形ABGF为正方形，EG eq r(BE2BG2) eq r(BE2BC2)CE，D1ECE的最小值为D1G，又D1G eq r(D1F2FG2) eq r(91) eq r(10)，D1ECE的最小值为 eq r(10).二、多项选择题9下面关于四棱柱的命题中，真命题是()A若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱B若两个过相对侧棱的截面都垂

24、直于底面，则该四棱柱为直四棱柱C若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱D若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱答案BD解析A错误，必须是两个相邻的侧面；B正确，因为由两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面；C错误，反例，可以是斜四棱柱；D正确，体对角线两两相等，则此两体对角线所在的平行四边形为矩形，可得侧棱与底面垂直，棱柱为直棱柱10.如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D为BC的中点，且ADy轴，BCx轴，那么在原平面图形ABC中()AAB与AC相等BAD的长度大于AC的长度CAB的长度大于AD的长度DBC的长度大于AD的长度答案AC解析根据斜二

25、测画法的直观图，还原几何图形，首先建立平面直角坐标系xOy，BCx轴，并且BCBC，点D是BC的中点，并且作ADy轴，即ADBC，且AD2AD，连接AB，AC，如图所示所以ABC是等腰三角形，ABAC，AB的长度大于AD的长度，又BCBC，AD2AD，观察题图，AD eq f(1,2)BC，所以BC2AD，即BCAD.故选AC.三、填空题11面数最少的棱台为_棱台；由_个面围成答案三5解析由棱台的定义得面数最少的棱台为三棱台，由5个面围成12正三棱台的上、下底面边长及高分别为1，2，2，则它的斜高是_答案 eq f(7r(3),6)解析如图，正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面边长A1B11

26、，AB2，高OO12，O，O1是ABC，A1B1C1的重心，连接A1O1并延长，交B1C1于点E，连接AO并延长，交BC于点D，连接DE，过点E作EFAD于点F，则O1EOF eq f(r(3),6)，DFODOF eq f(r(3),3) eq f(r(3),6) eq f(r(3),6)，正三棱台ABCA1B1C1的斜高DE eq r(EF2DF2) eq r(4f(1,12) eq f(7r(3),6).13某水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形(如图所示)，ABC45，AD eq f(1,2)BC1，则该平面图形的面积为_答案 eq f(3r(2),2)解析由ABC45，AD e

27、q f(1,2)BC1，得2AB cos 4512，即AB eq f(r(2),2).根据斜二测画法可知，原平面图形是下底为2，上底为1，高为 eq r(2)的直角梯形，所以S eq f(12,2) eq r(2) eq f(3r(2),2).14已知圆锥的底面面积为，母线长为2，则该圆锥的高等于_答案 eq r(3)解析设圆锥的底面半径为r，由圆锥的底面面积为，得r2，解得r1，又母线长为2，所以该圆锥的高为 eq r(2212) eq r(3).四、解答题15.如图，正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图求原图形的周长与面积解正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原