1质点运动学习题详解

1、第 1 页共 9 页习题一一、选择题1 质点沿轨道 AB 作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在 C处的加速度?aBBBBCaaCCCa(C)AAAA(A)(B)(D)：C解：加速度方向只能在运动轨迹内侧，只有B、C符合；又由于是度的切向分量与速度方向相反，故选（C）。运动，所以加速2 一质点沿 x 轴运动的规律是 x t2 4t 5 （SI 制）。则前三秒内它的 （A）位移和路程都是 3m；（B）位移和路程都是-3m；（C）位移是-3m，路程是 3m；（D）位移是-3m，路程是 5m。：D 2 5 3解：t3t0dx 2t 4 ，令 dx 0 ，得 t 2 。即t 2 时

2、 x 取极值而返回。所以：dtdtS S02 S23 t 2 |1 5 | | 2 1| 5t 3 一质点的运动方程是 r R costi Rsintj ，R、 为正常数。从 t / 到 t= 2 / 时间内（1）该质点的位移是（A） -2R i ； （B）2R i ；（2）该质点经过的路程是（C）-2 j ； （D）0。（A）2R；（B） R ；：B；B。（C）0；（D） R 。解：（1） t , t 2 ， r r (t ) r (t ) 2Ri ；1221（2）t 内质点沿圆周运动了半周，故所走路程为R。或者：1第 2 页共 9 页 dx ,dtv dy ， v v2 v2 R, S t

3、2 vdt Rvxyxydtt14 一细直杆 AB，竖直靠在墙壁上，B 端沿水平方向以速度 v 滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点 C 的速度 A大小为 v /2 ，方向与 B 端运动方向相同；大小为 v /2 ，方向与 A 端运动方向相同；大小为 v /2 , 方向沿杆身方向；大小为 v /(2cos ) ，方向与水平方向成 角。：D解：对 C 点有位置： xC l sin,yC l cos ；CvB速度： v l cos d ,v l sin d ；所以， v l dvv2v2.CxCyCCxCydt2cosdtdtv 2l cos d v, dv（B 点： x 2l sin ,

4、）。BBdt2l cosdt5以 4km/h 的速率向东前进时，感觉风从正北吹来，如将速率增加一倍，则感觉风从东北方向吹来。实际风速与风向为(A) 4km/h，从北方吹来；(B)4km/h，从西北方吹来；(C) 4 2 km/h，从东北方吹来；42 km/h，从西北方吹来。(D)：Dv 解： v风地 v风人 v人地 v v v0v0v0v45v ， v 2vv000vv0cos， v v tansin 45 v 0v 2v 2v0 tan2vvv vv 2vv cos 4v2 2 0 .2v cos222 0 cos 000cos0v24v 4v 2v tan 0cos 222220002第

5、3 页共 9 页122sin2 1sin 45v0cosv 2v 4 2(km/h) （从西北方吹来）。0二、填空题1一物体作的斜抛运动，测得在轨道 P 点处速度大小为 v，其方向与水平方向y成 30角。则物体在 P 点的切向加速度a =，轨道的曲率半径 =。v 30 xP2v23g1： g ；2。aaanja a sin g sin 30 1 g解： 2v2v2anv2v22an a cos g cos30 。又因 an ，所以g c os 30 g 3( j ，其中 , 分别以米r22t2 一质点在 xy 平面内运动，其运动学方程为和秒为速，则从 t = 1 秒到 t = 3 秒质点的位移

6、为；t =2 秒时质点的加度为；质点的轨迹方程是 。x2： 2i 3 j ； 2 j ； y 2 。4d 2 xd 2 yr rr 2i 3 j， a i j 2 j解：(2)(1)dt2dt2y 2 。4x2x 2t, y 2 t ，消去时间 t 得23. 一质点沿半径为 R 的圆周运动，运动学方程为 s v t 1 bt 2 ，其中 , 都是常数，002t 时刻，质点的加速度矢量 a ；加速度大小为 b 时，质点沿圆周运行的圈数为。v2(v bt)2： 0 n b； 0 。4 RbR3第 4 页共 9 页2ds（1） v dt， a 2b解：dt(v bt)2a a n a 0 n bnR

7、(v bt)2 2vt 0b令 a b2 b ， 得 0 （2）Rv2v2sv1vs s(t) s(0) v 0 b( 0 )2 0， 得 n 002 R4 Rbb2b2b4火车时，侧窗上雨滴轨迹向前倾斜0 角。火车以某一速度匀速前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜1 角，火车加快以另一速度前进时，侧窗v1上雨滴轨迹向后倾斜 2 角，火车加速前后的速度之比为。v01v0： v1 cos0 tan1an1 tan0 an2 tan0sv2cos0 tan2sv2v解：设v0 为火车时观察到的雨滴的速度，已知其倾角v为（0 这也是雨滴相对地面的速度和倾角）。设火车以 v1 行驶时，雨滴相对火车的速度为

8、v ，已知其倾角为1 ，根据2 00变换： vvv10同理， 火车以 v2 行驶时，雨滴相对火车的速度为 v， 已知其倾角为 2 ，所以vv v20vsinvvo sin0cos 1 cos(1)(2)；vsin2 v2 vo sin0vcos v cos(3)；(4)2 v1 v0 sin0联立（1）（2）式得 tgv v (cos tg sin )，1v cos10010002 sin联立（3）（4）式得 tg ，v v (cos tg inv cos220200所以，火车加速前后速度之比为v1 cos tgsin0v2cos tgsin05.一质点沿半径为 0.1m 的圆周运动，其用角坐

9、标表示的运动学方程为4t 3 ， 的第 5 页共 9 页为 rad，t 的为 s。问 t = 2s 时，质点的切向加速度法向加速度； 等于rad 时，质点的加速度和半径的夹角为 45。： 24Rt ； 230.4m/s2 ； 2.67rad 。dd 2解：（1） 12t ， 24t ； an R 144Rt ， a R 24Rt 。224dt2dtt = 2s 时， a 230.4m/s2 ， a 4.8m/s2n（2）设 t 时， a 和半径夹角为 45，此时 a a ，即144Rt4 24Rt ，得t3 1/ 6n (t) 2 4t3 2.67rad所以三、计算题1一质点由开始做直线运动，

10、初始加速度为 a0 ，以后加速度均匀增加，每经过 秒增加 a0 ，求经过 t 秒后质点的速度和位移。aa1： v a t t ； x a t t 。0220320602a a a0 t由题意可知，角速度和时间的关系为0a dvdt根据直线运动加速度定义v v dvdt a0 t 2tad0t dtd02at 0 时刻， v 0v a t t20所以002又v dx ，所以dta2 a0 t3tdt vdtt2d26200 x 1 a t2 a0 t3t 0 时刻， x 0所以00622 一质点以初速度 v0 作一维运动，所受阻力与其速率成正比， 试求当质点速率为v0 n(n 1) 时，质点经过

11、的距离与质点所能行经的总距离之比。：1 1 。n解：质点作一维运动。初始条件： t 0 时， x 0 ， v v0 。又由题意，质点的加速度可表示为a kv5第 6 页共 9 页式中，k 为大于零的常数。解法一：由加速度的定义有a dv kvdtdv kdt v分离变量由初始条件 t 0 时v v0 ，有dvvvt kdtv00积分得v v ekt(1)0v dx v ekt所以0dt由初始条件 t 0 时 x 0 ，积分得tvx v ekt dt 0 (1 ekt )0k0 x x (1 ekt )(2)上式可写为m其中， x v0 为质点所能行经的最大距离。mkx xm (v v)联立式（

12、1）和式（2），得0v0 xxmv )v0 (1 故将v v0 代入上式，得nxxm 1 1n解法二：由加速度的定义，并作变量替换有a v dv kv dxdv kdx即由初始条件 x 0 时v v0 ，有vxdv kdxv00积分得v v0 kx(3)6第 7 页共 9 页由上式得 x v0 v 。故当v v0 时，knx v0 (1 1 )kn(4)又由v dx 及式（3），有dt由初始条件 t 0 时 x 0 ，积分得dx dtv0 kxln v0 kx ktv0 x v0 (1 ekt )k即 v0 k可见，质点所能行经的最大距离为xm故当v v0 时，由式（4）及上式得nxxm 1

13、1n3在离水面高度为 h 的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边 s 距离处，当人以速率yv0 匀速收绳时，试求船的速率和加速度大小。v0v0 h2 s2h2； ax 3 v0 。s2： vx 解：建立lsh的坐标系。dl -v o 根据题意x0 x dtx l2 h2由上图h2 x2dxldll船的速率 vx (v0 ) (v0 )dtdtxl2 h2l2 h2h2h2dvx船的加速度大小 ax 3 (v0 ) x3 (v0 )22dt(l2 h2 )2h2v0 h2 s2x = s 时， ax 3 v0 ， vx s2当s4如图，一超音速 击机在高空 A 时的水平速率为 1940 km/h

14、，沿近似于圆弧的曲线俯7第 8 页共 9 页冲到点 B，其速率为 2192 km/h，所经历的时间为 3s，设圆弧 AB 的半径约为 3.5km，且飞机从 A 到 B 的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动，若不计重力加速度的影响，求：（飞机在点 B 的加速度；（2）飞机由点 A 到点 B 所经历的路程。：（1） a 109m s2 ，与法向成12.4 角；（2） s 1722m 。解：（1）因飞机作匀变速率运动，所以 at 和 为常量1）vAAvB dv t a dt v v at dvat dt，BtBAtv0ArovB已知v 1940km h1 ， v 2192km h1AB vB vA 23

15、.3m s2t 3s ， r 3.5km ，所以 attv2an B 106m s2在点 B 的法向加速度ra a2 a2 109m s2在点 B 的总加速度大小tn arctan at 12.4a 与法向之间夹角an（2）在时间 t 内矢径 r 所转过的角度为 t 1 t2A2飞机经过的路程为s rvA2 1722m5靠，一条宽度为 d 的小河，已知河水的流速随着离开河岸的距离成正比地增加，边河水的流速为零，而在河中心处流速最大，为 v0 。现有一人以不变的划船速度u 沿垂直于水流方向从岸边划船渡河，试求小船到达河心之前的运动轨迹。v0： x y2 ，即运动轨迹为抛物线。udy解：以河岸为参照系，建立的直角坐标。根据题意，初始条件为 t 0 时，x0 y0 0 ，v0 x 0 ，v0 y u 。d又根据题意，当 y 时，水流速度可表示为2vw ky ，ox且当 y d 时， v v 。故k 2v0dw02 2v0d即vyw对小船有v dx v ，v dy uxwydtdt8v0ud第 9 页共 9 页利用前面各式及初始条件，对上两式分别积分，得x uv0 t 2 ， y utd联立消