定积分换元法与分部积分法习题

1、 / 201 计算下列定积分： sin( x )dx33- 莱布尼兹公式sin( x )dx sin( x )d(x 3333) cos(x ) 33cos( 3) cos(33)cos ( cos ) 0 。33令 x u ， 则 dx du 3当 x 从 单调变化到 32时， u 从 234单调变化到4 ，3sin( x )dx3423 sinuducosu1 dx2(11 5x)- 莱布尼兹公式1 dx23cos3cos33 cos ( cos ) 0 。332 (11 5x)351311(11 5x) 3d(11 5x)(11 5x)25221令 11 5x u ，则10(11 5 1

2、)2 (11 5 2)112( 2 1)210 1625116，于是有1 dx2 sin05121dx du ，当 x从 2单调变化到1 时，5u 从 1 单调变化到1 162 (11 5x)35cos3 d ；- 莱布尼兹公式3du02 sin cos3 d02521u2cos3 d cos16111( 2 1) 10 1625151214cos4144cos cos 0421 0 11 。44【解法二】应用定积分换元法令 cos u ，则 sin d du ，当 从 0 单调变化到时， u 从 1 单调变化到 0，于是有 TOC o 1-5 h z 011102sin cos d 1 u

3、du 0u du 4u 04。3(1 sin3 )d ；(1sin3 )d ，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。由于1 是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对sin3 d 的积分，这是正、余弦的奇数 次幂的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分：sin d d cos ，余下的sin 21 cos2 ，这样得到的(1 cos2 )d cos 便为变 量代换做好了准备。具体的变换方式有如下两种：- 莱布尼兹公式(1 sin )d 1d sin sin d 0(1 cos )d cos13(cos cos ) 03 TOC o 1-5 h z 133(cos c

4、os0) (cos cos 0)14【解法二】应用定积分换元法令 cos u ，则到 1 ，于是有(1 sin3 )d( 1 1)( 1 1)。d du ，当 从 0 单调变化到时， u 从 1 单调变化1d sin2 sin d 0(1 cos2 )d cos000011(1 u )du (u u ) 11314( 1 1)( 1 1)。3322 cos udu ；6【解】这是正、余弦的偶次幂，其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式：2 u 1 cosu21 cos2ucos2 u cosu ，将平方部份降次成为一次的余弦三角函数：cos2 u cos u ，使之 TOC o 1-5 h

5、z 222可以换元成为基本可积形式：- 莱布尼兹公式1 cos2u1 212 cos2 udu2662 cos2ud2u)6du ( 2 du226212(u12 sin 2u22)611() (sin sin )226236121令 2u x ，则du dx ，当 u 从 单调变化到时， x从 单调变化到，26232 cos2 udu21 cos2u11 du ( 2 du2622 cos2ud2u)62 x2dx；12(u12126113cosxdx) 2(2 6) 2sinx 11 (sin23 21sin 3)2(32，应该应用第二类换元法为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应

6、令x 2 sin u ，当 x从 0单调变 化 到 2 时 ， u 从 0 单 调 变 化 到 ， 且 2 x22 2sin 2 u 2 cosu ，2dx 2 cosudu ，使得1112 2 x2dx2 2 cosu2 cosudu2du 2 cos2udu u021 sin 2u022 1 cos2u2 02202cos2ud2u1(sin 0)22du22x dx； x2，应该应用第二类换元法为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令1x sinu ，当 x从 单调2变化到1 时， u 从 单调变化到，且 1 x22 x21 sin2u2sin ucosu2 ， dx cosud

7、u ， sin u使得1 1x12 2xdx2 cosu24 sin ucosudu2 cot2 udu2 (csc2 u 1)du( cotu u)(cot cot ) () 124a x20a2 x2 dx( a 0) ；2，应该应用第二类换元法为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令x asin u ， 当 x从 0 单调变化到 a 时， u 从 0 单调变化到， 且x2 a2 x2 a222222sin u a sin u sin u acos u ，dx acosudu ，使得222x a x dx 02222 a sin u acosu acos4udu a402sin22

8、udu44a 1 cos 4u a 122du (u sin4u) 040284a4114 (sin 20) a 。8 2 4161 x2 1 x2【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方和转换成完全平方，应令x tan u ，当 x 从 1 单调变化到 3 时， u 从 单调变化到，且4322dxsec udu sec udu cosu 122 du 2 dsinux2 1 x2tan2 u 1 tan2 u tan usecu sin u sin u使得 3 dx1 x2 1 x2312 dsinusin u

9、时，t从2 单调变化到3 ，322312 2 dt 2t而且 2x x21 sin2 u2cos u cosu ，dx cosudu ，于是2x x2dxcosu cosudu0 1 cos2udu 1(u 1sin2u) 2222这时，再令sin u t ，当 u 从 单调变化到431又得dsinu2sin u 2x x2dx；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法需要先将其转化为标准形：2x x21 (1 2x x2)1 (x 1)2 ，现在，根号内的二次多项式成为了变量在后的平方差的形式了，因此可令x 1 sin u ， 当 x从 0单调变化到1

10、 时， x 1 从 1 单调变化到0， 从而 u 对应从单调2变化到0，1120 ( 2) 2sin0 sin( )被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元x u ，当 x 从 1 单调变化到4 时， u 从 1 单调变化到2，且由此得xu2 ，1 ，于是 1u1dx 2udu ，1x4 dx 2 2udu11 x 11 u212 (11 1u)du 2(u ln 1 u ) 12322(2 1) (ln3 ln 2)2(1 ln 2) 2(1 ln 3)。1 x u ，当 x 从 1 单调 TOC o 1-5 h z 2114 时， u 从 2 单调变化到3

11、，且由此得x (u 1)2 ， dx 2(u 1)du ，1 xu4 dx 32(u 1)du 2 3(1 1)du 2(u ln u) 3211 x 2 u2 u232(3 2) (ln3 ln 2)2(1 ln )。21 dx3；41x1被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元x u ，当 x 从 3 单调变化到1 时， u 从 1 单调变化到0，且由此得42211x 1 u2， dx 2udu ，于是1x1 u1dx 0 2u11 x 121u 1du 202(1 u 1)du 2(u lnu 1)02112( ln ln1)221 2ln2。3【解法二

12、】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令 1 x 1 u ， 当 x从 3 单41调变化到1 时， u 从 单调变化到1 ，且由此得x 1 (u 1)2， dx 2(u 1)du ，211，于是1 dx34 1 x 11 2(u 1)1du2u1x1 u12 2(1 1)du 2(u ln u) 121u1 2ln2。112() ( 1) ln ln 1)221 xdx1 5 4x【解】 被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：x 1 (u2 5) ，4令 5 4x u ，当x 从 1 单调变化到1 时， u 从 3 单调变化到1 ，

13、且由此得dx 1 udu ，11 ，于是1 xdx1 5 4x1133u25 4x u1(u2 5)1 udu 1 1(u2 5)du 1 (1 u3 5u) TOC o 1-5 h z 42838311318113(1 33) 5(1 3)61。12ex2 dx；1ex由于 e2 dxx1 x211ex 2 dx， 为含复合函数ex的积分， 且微分部份2 dx仅与复合函数exxx11之中间变量的微分2 dx相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：xx【解法一】应用牛顿- 莱布尼兹公式12ex2 1 1112 dxexdex 12(e2 e1) e e。1x1 x1令 u ， 当 x 从 1

14、单调变化到2 时， u 从x12ex12 dx1x121 ex 2 dx12 eu dueu1t2 te 2 dt；0tdt 仅相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：11 单调变化到， 且由此得21112(e2) e e。t2e 2 的积分，且微分部份tdt 与复合函数- 莱布尼兹公式t2e 2 之中间变量1 t20te 2dtt21t20e 2d( t2 )t221(e 2)11e。t令u ， 当 x从 0 单调变化到21 时， u 从 0 单调变化到1， 且由此得 2t21te 2dt012eudu1 eudu02001e21e211 e。e2 dx；x 1 ln xdx dx 与复合函

15、数x1 ln12 dx du ， xt2的微分 2tdt du ，之中间变量1 ln x的微x1分 1 dx 相等，可以应用第一换元积分法：x- 莱布尼兹公式e2dx1 x 1 ln xe211lnxd (1 ln x) 2 1 ln x 1e2( 1 lne21 ln1) 2( 1 21 0) 2( 3 1)。令 1 ln x u ，当 x从 1 单调变化到e2时， u 从 1 单调变化到3，且由此得dx3 1 du 2 u 132( 3 1)。u0 (x 2)dx ；2 x2 2x 2为含复合函数的积分，被积函数为真有理分式，分母为二次无零点的多项式，且分子0 (x 2)dx22 x2 2

16、x 212 02(2x 2) 22x2 2x 2dx0 2x 22 x2 2x 21 dx2 2 x2 2x 2dx02x2 12x 2d(x2 2x 2)02(x 11)2 1d(x 1)1ln(x 2x 2) 2 arctan(x 1) 22(ln 2 ln 2) arctan1 arctan( 1) 2()。4422 dxdx ；0 x 1 (x 1)3应该应用第二类换元被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，令 x 1 u ， 当 x从 0单调变化到2时， u 从 1 单调变化到3 ， 且由此得x u2 1 ，dx 2udu ，x 1 (x 1)313uu2 dx0 x

17、 1 (x 1)313uu312udu 2du1 1 u232arctanu 12(arctan 3 arctan1) 2()2 cosx cos3 xdx；2cosx cos3 xcosx(1 cos2 x)cosxsin2 xcosx sinx ，30323所以 2 cosxcos xdx cosx cos xdx cosxdx ( cosx)dx 2sin x cosx cos xdx02 cosx sin xdxcosx( sin x)dx2cosxdcosx 02cosxd cosx- 莱布尼兹公式30 cos2x 2cos 2 x 2 cosx12 cosx cos xdx(cos

18、 x) 2 d cosx02 (cosx)2d cosx2 (cosx)3202(cosx)3223224(1 0)(0 1)。333令 cosx u ，当x从单调变化到0 时， u 从 0 单调变化到1，当x从 0 单时， u 从 1 单调变化到20，且由此得sin xdx du ，于是2 cosx cos3 xdxcosx( sinx)dx 2 cosx sin xdx01 uduudu111110u2du 0u2du2 u 323du2 u3232233所以1 cos 2xdx 200cosx dx 2 02cosx dx cosx dx21 cos2xdx。02202sin x 22(

19、sin 0) (sin sin )21 ( 1) 2 2。222利用函数的奇偶性计算下列定积分：x4 sin xdx ；【解】由于函数yx4 sin x是奇函数，即知x4 sin xdx 0 。 xarcsinx121 x2y x arcsin x是偶函数，所以1 x2 4cos4 d ；2f( ) 4cos4 是偶函数，且有4cos44(1 cos2 )2 1 2cos 2cos2 21 2cos 21 cos42231 2cos 2 cos4224431即得2 4cos d 2 2 4cos d 2 2 ( 2cos 2 cos4 )d200221sin2 sin4 )8312 (0) (

20、sin 0) (sin 20)228122211 x2 dx；y (arcsinx)2 是偶函数，所以1 x2122 (arcsinx)21dx21 x2122 (arcsin x)1 x2122dx 2 2 (arcsin x) d arcsin x2(arcsin x)13 TOC o 1-5 h z 121323 02(arcsin )0( )。dx。0323 63243证明：12 xarcsinx1 x2dt1 t21xarcsinxdx 2 201 x22 1 x2 arcsin x2 1dx 2 02 arcsin xd 1 x2x2 d arcsinx11 arcsin 012

21、dx 2 30202 11x dt21 1 t2x 0) 。t 从x 单调变化到1 时，u 从 1 单调变化到1，x4证明：1 且有1 t2证毕。1 (1)2udt 1x1 t2sinn xdx 2 20 sinnxdx其中，对于sinu2 112x1 ux111 1 t2sinn xdx。dt12 du udt ，21 du u1112 x1 u2 sin xdx sin xdx，xdx，作如下的处理：作变换 x u ，当x从单调变化到时，2du 1x1u2 duu 从 单调变化到0，dx du ，且有 sinn x sinn( u) sinn un0nsin xdx sin udu0sin

22、n xdxsinn xdx 2 2 sinn xdx。证毕。 sinn udu02 sinn xdx，nsi5设f (t) 为连续函数，证明：x当 f (t)是偶函数时，(x) f (t)dt为奇函数；【证明】当f (t)是偶函数时，有f ( t) f(t) ，xxx使得 ( x) 0 f(t)dt t u 0 f ( u)d( u) 0 f (u)du (x)， x可知此时(x) f (t)dt为奇函数，证毕。x当 f (t)是奇函数时，(x) f (t)dt为偶函数。【证明】当f (t)是奇函数时，有f ( t) f (t)，xxx使得 ( x) 0 f (t)dt t u 0 f ( u

23、)d ( u) 0 f (u)du (x) ， x可知此时(x) f (t)dt为偶函数，证毕。6设f (x) 是以 T 为周期的连续函数，证明：对任意的常数a ，有aTTa f(x)dx 0 f (x)dx。【证明】题设f (x) 是以 T 为周期的连续函数，可知成立f (x T) f (x)，aT0TaT由于f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dxaa0TaTaT0 f (x)dx 0 f(x)dx T f (x)dxaT其中，对于f (x) dx，作如下的处理：令 x u T ，当 x 从 T 单调变化到a T 时， u 从 0 单调变化到a ，aTa使得f (x)

24、dx x u T f (u T)d(u T)aaf (u)du f(x)dx，00aTaTaT于是有f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx，证毕。7计算下列定积分：1 xe xdx；0【解】被积函数属分部积分第一类，应选e x 为先积分部份，xe xdxxd( e x) xex11x10 ( e )dx e1x0 0e dx可得1ee11 e (ee ) 1 2e 。符号求导积分1xxxxe xdx ( xe e )010( 1e 1e 1) ( 0e0e0 ) 1 2e 1。exln xdx；x 为先积分部份，ee1xln xdx ln xd212x

25、x ln x2e1 2x dln x1212(e ln e 0) 2e1x122112dx ee1xdx121212ex241212122e 4(e 1) 4(e 1)。1 x arctan xdx； 0 x 为先积分部份，1xarctanxdx 01 1 x2d arctan x 021 arctan1211 21x 021 x2dx81(1201 x2)dx1(x arctan x)82442 xsin2xdx；01 xcos2x212 ( cos2x) dx 02sin 2x为先积分部份，2212 xsin2xdx 2 xd( cos2x)002 TOC o 1-5 h z 112( c

26、os 0)2 cos22202xdx ( 1) 1 sin2x44 TOC o 1-5 h z (sin 0)。444符号求导积分xsin 2x11cos2x210sin2x41( cos 2210) (sin sin 0)211xsin 2xdx ( xcos2x sin2x)1(0 0)411 为先积分部份，4lnx1 xdx14lnxd2 x 2 xlnx14142 xdlnx2 xln2 x 1 dx 2 xln x 1x4121 xdx2 x ln x 144 x 142 x(ln x 2)2 4(ln 4 2)1(ln1 2) 4ln 4 1 4(2ln 2 1)。2 dx；sin

27、 x112 为先积分部份，sin xx3 ( cot x)dx42 dx 3 xd( cot x) xcotxsin x 4xcotxxcotx3 cosx3 dx xcotx4 sinxlnsinx( cot ln33(1421 ln 2(24符号可得x 3x24 sin x02 e2x cosxdx；3 1 dsinx4 sinx( xcotx ln sinx)sin ) ( cot ln344sin ) 4(41(ln33ln 2求导3ln 。2积分1sin2 xcotxln sinxdx ( xcotxln sinx)( cot ln33(133sin ) ( cotln344sin

28、) 4ln 34) ( ln(14) ln33(1412ln3。22xe 与 cosx均可选为先积分部份，e2x为先积分部份，log2 xdx；2 e2xcosxdx 2cosxd1e2x1e2xcosx022102(e cos e cos0) 22202 1 2x2 e dcosx021 2xe sin xdx21 (0 1)2 1 sin xd 1 e2x202211 2x 22 1 2xe sin x 022 e d sin x2 400411 (e sine0 sin 0) 1 2 e2x cos xdx2 42401e 1即得02e cosxdx 244 02 e cosxdx，移项

29、，整理得2x102 e cos xdx (e 2) 。cosx为先积分部份，2 e2x cosxdx 02 2x2x2e dsinx e sinx0022 sin xde2x2(e sin 2 0)022exsinxdx e02 2e xd( cosx)2x2xe 2e ( cosx) 0202 ( cosx)d2e e2e2x cosx 022 4e2x cosxdxe 2(e cose0 cos 0) 4 02 e2x cos xdx2 2x2 2x2 e cos xdx e 2 4 2 e cosxdx，002x12 e cos xdx (e 2) 。05x 为先积分部份，2212xlo

30、g 2 xdx log 2 xd x122x log 2 x 121 21 2x dlog2x TOC o 1-5 h z 121 212(4log22 0)1 21x2112dx 2xdxxln 22ln 2 1211 x2 1221(4 1) 232ln 2 21 4ln 24ln 222 xcos xdx；2 xcos2 xdx2 x001 cos2xdx 1222(x xcos2x)dx112(x222200 xcos2xdx)212xcos2xdx202其中，积分xcos2xdx中的被积函数属分部积分第一类，套用分部积分公式，选cos2x为先积分部份，得22112xcos2xdx x

31、d sin 2x xsin 2x 00021sin 2xdx 02从而得e sin(ln x)dx；1sin 40 cos2x42100 0 (cos4 cos0)41(1 1) 0，42212212xcos xdxx cos 2xdx0。0202udv的结构，直接套用分部积分公式得eeesin(ln x)dx x sin(ln x) 1 xd sin(ln x)e1esin(ln e) 0 x cos(ln x) dx1xeesin1 cos(ln x)dxeeesin1 x cos(ln x) 1 xd cos(ln x)e1esin1 ecos(ln e) cos(ln1) x sin(ln x) dx1xeesin1 ecos1 1 sin(ln x)dx即得移项、整理得eesin(ln x)dx e(sin1 cos1) 1 sin(ln x)dx，e1sin(ln x)dx e(sin1 cos1) 1。e1 ln xdx ；e TOC o 1-5 h z e1e1e1 ln x dx 1 ln x dx ln x dx 1 ( ln x)dx ln xdxeee1e1 ln xdx ln xdxe1eexln x 11 xd ln