北大版本固体物理8

1、 第八章 能带 1.运动方程 1准经典近似 点阵的周期势场是在点阵常数的范围内变化，这样的势场只能用量子力学来处理，因为它是一个微观场，但对于外加的宏观的电磁场，在波包范围内基本是恒定的，因此对于宏观场而言，可把波包的运动看作经典粒子的运动，而采用经典力学的方法来处理。这就是准经典近似方法（或称半经典极限，之所以称“ 半”是因为对周期场处理仍按量子力学的方法解决）。12.运动方程主要考虑Bloch电子在外加电磁场下的运动规律。 Bloch电子的速度是Bloch波包的群速度 三维时： 2若外加电场为 ，则外场对Bloch电子要作功，在 t时间内，电子的能量增加为： 又 (即电子能量的变化引起的波

2、矢变化为 k) 又 比较 则 3若 足够小，则有：三维时：上式表明了电子在波矢空间的运动规律。从式中可看到：电子晶体动量的变化率仅决定于外力，而与周期势场无关。 4 （真实空间中的运动规律） （波矢空间中的运动规律）5考虑Bloch电子在外加磁场 下运动规律： 6Bloch电子的 函数的形式与自由电子不同（自由电子等能面是球面）。但在能带的极值附近，可以近似展开成球面。一般说来 决定于等能面的形状，而等能面的梯度决定了电子在波矢空间的速度： 7 从上式可看出在外加磁场下，Bloch电子在波矢空间的运动规律： 垂直于电子等能面的梯度。因此波矢 在电子的等能面上运动。 即在外加磁场 下电子的能量是

3、不变的。 同时， 又垂直于 ，说明在波矢空间的运动方向与磁场方向是垂直的。 在与 垂直的平面上运动。 电子既要在等能面上运动，又要在垂直于 的平面上运动， 则只能沿这两个面的交线运动。82.空穴电子从一个能带跃迁到上一个能带中去，在原能带中留下一个空轨道，这个空轨道称为空穴，空穴是一个几乎充满的能带中的空轨道，它是在波矢空间的能带中的概念，不是真实空间中失去电子后的空位，也不是原子离开原位置后留下的空位缺陷，在外加电磁场下，空穴的行为犹如一个带电量为+e的粒子。91.空穴的性质1空穴的波矢是失去的哪个电子波矢的负值，既一个能带若失去了一个空轨道，称为空穴，空穴的波矢 10 空穴是描述失去了电子

4、的能带的简捷方法，一个充满的能带失去了电子就产生了空轨道，空轨道的性质是与失去电子的能带中的集体行为联系在一起的（即拿一个电子，剩下2N-1个电子），也就是说失去了一个电子的能带既可以用2N-1个电子的集体行为来描写，也可以用一个空穴来描写，空穴的行为是与2N-1个电子的集体行为联系在一起的。空穴是假象的粒子，是准离子，主要是为了处理问题方便而引入的，空穴的性质由几乎充满的电子的集体行为所决定。112空穴的能量 即空穴的能量等于失去的那个电子的能量的负值。123空穴的速度即空穴的速度与失去了的那个电子的速度相同。134空穴的有效质量 即空穴的有效质量等于失去了的那个电子的有效质量的负值。14电

5、子的有效质量由电子的能带曲线的曲率来定义：有效质量是波矢k的函数，由于空穴和电子的能带曲线有中心反演对称性，这两条曲线的曲率是大小相等符号相反的，则可得到 15 5 在外加电磁场中空穴的运动方程如一个带电荷为+e的粒子的运动方程： 162.电子和空穴在恒定电场下的半经典运动在外加恒定电场下，电子的波矢的改变满足方程式：在恒定电场中，电子的速度以均匀速度变化，若t=0时刻开始加电场，则在时刻t电子的波矢为 17在外加电场下t时刻电子的速度为: 18 在BZ边界上，电子由于受Blagg反射形成驻波，驻波的速度为零，在BZ边界上电子的速度 在一维情况下电子的速度是有界函数不象自由电子是线性函数19

6、一般情况下，对电流有贡献的不是电子的波矢变化，而是电子的速度变化，若 恒定，电子的k是随时间t线性增加，而电子的速度是周期性变化的。那么在恒定电场下Bloch电子对电场响应应当是交流的，这个结果显然是错误的。20 这主要是我们没有考虑电子的各种散射，电子在运动过程中要与声子、晶体中的杂质等发生碰撞，这种碰撞使得把从电场中得到的定向运动的能量耗散掉使得电子在波矢空间中 并不是随t的改变而线性增大。而在波矢空间中只运动一个很小的距离就停止了。也就是说电子从电场获得的能量与碰撞耗散的能量相等时就不动了。21例如 ： 则 也就是说电子在外场下获得的波矢改变为，而一个BZ的尺寸 ，即电子的波矢改变仅为B

7、Z尺度的 。换句话说，电子只能在波矢空间在原波矢附近运动一个极小的距离。所以观察不到周而复始的变化，因而电子对外加恒定电场就不可能有周期性的响应。22 在外场作用下， 空穴由E到D运动到D点，D位置是空轨道，在下一时刻，电子在电场力-e （ 在-k方向）作用下继续向-k方向运动，空穴运动到了C点， 空穴在波矢空间中与电子的运动方向是相同的，都向-k方向运动。 但是空穴的波矢都沿正k方向变化（在波矢空间 ）。 这个结论与空穴所满足的运动方程是一致的。23 半导体的价带是几乎充满的，我们用空穴来处理较方便，而导带中只有少数电子，通常直接用电子图象。半导体的总电流是指价带中的空穴电流加上导的电子电流

8、，但这是对两个能带来讲的。243.有效质量 1.有效质量的定义一维情况下， ，电子在外场作用下得到的加速度为： 而由运动方程可知： 或25代入上式可得： 或 26我们定义: 叫作电子的有效质量,于是: 具有牛顿第二定律的形式。27 上式说明，在外场作用下，Bloch电子要得到一个加速度，我们定义有效质量后，电子的质量不再是它的惯性质量，此时的力只包括外力而不包括周期势场的作用。（周期势场的作用已含在有效质量m*中）这样我们就可用经典的牛顿定理来处理问题。28 现在我们看一看对简单的能带在区边界处电子的有效质量，在区边界处电子的能谱为： 为区边界上自由电子的动能，U是周期势场的付里叶系数。29据

9、有效质量的定义，看看在价带边与导带边的表达形式，对抛物线函数求二阶导数后： 30对于价带： 对于导带：一般情况下对于导带边的电子的有效质量m*0对于价带边的电子的有效质量m*031 根据则 |me| | | U在禁带宽度的数量级而|me|/m32对一般半导体Eg0.22ev, 而 在20ev左右。 则|me|/m 0.10.01 的范围。电子的有效质量只是惯性质量的0.10.01。33引入m*后, 函数在区边界附近可写成:对于导带中的电子: (能量的零点取在价带边上)相当于一个自由电子的能谱。对于价带中的空穴: 也相当于一个自由粒子,无论是电子或空穴都可用自由粒子来处理,只不过用有效质量来表示

10、,只适用于区边界。34电子的晶体动量和电子的速度之间有： 上式只在区边界附近成立，因为 随k是逐点变化的，只有在区边界附近才近似线形关系。35 同样空穴的晶体动量与空穴速度之间也有： 引入有效质量后，与自由电子的关系就相同了。36运动方程可写成： 37 引入电子或空穴的驰豫时间，则电子或空穴在外场下的平均漂移速度为： 38电子或空穴在外电场下的电流: 这两部分电流加起来就是半导体的总电流(即价带中的空穴的电流和导带中的电子的电流)。39 2.有效质量张量在晶体是各向异性的情况下有效质量m*将不再是标量，而是一个张量。电子或空穴的速度： 电子或空穴的加速度： 40写成分量形式： 则 是一个张量。

11、41适当选用坐标系总可把张量对角化，这样的坐标系称为主轴坐标系。 是三个主轴方向的波矢分量， 是三个主轴方向的有效质量分量。42 若等能面有旋转椭球的形状（如Ge.Si） 在导带底附近(能量极小值的地方)： 43若坐标轴如图所选,则沿 、 方向的有效质量为 (短轴方向)称为横向有效质量,而沿长轴方向( 方向)为 称为纵向有效质量。44有效质量与等能面形状即 函数有关，若从实验上测出了有效质量就可分析等能面的形状以及 函数的性质。453回旋共振 在外加恒定磁场的作用下，自由电子应当在等能面上运动，它的轨道应当在垂直于磁场的平面与等能面的交线上（而在真实空间中自由电子在磁场中的运动轨迹应是螺旋线）

12、回旋频率：46 而Blooch电子就与自由电子有所不同，但若考虑能带边上的电子（如半导体导带边上的电子），在外加磁场作用下电子应在等能面上回旋，电子在波矢空间的轨道仍是在垂直于磁场的平面与等能面的交线上，回旋频率为： 47若函数为： 同样磁场 与 有一夹角 （如图中红线所示），则可以证明： 48 m*中已含有 和 的贡献。若 49若外加一个与磁场方向垂直的交变电场 当电场的 等于电子的回旋频率 c时，电子会从交变电场中大量吸收能量，发生能量的共振吸收，称之为回旋共振，若改变电场的频率，根据共振吸收峰的位置，就可以测出电子的回旋频率 c来。50要用此方法测电子的有效质量，需电子在两次碰撞之间的时

13、间中来得及在等能面上回旋一周，即 1，此时吸收峰的位置才能观察到。若 1不满足，则电子有可能与声子发生碰撞，要减少电子与声子的碰撞，具体来说要增大 就要求低温，（一般在液氦温度）还要提高样品纯度（减少与杂质的碰撞），同时还要提高 大则回旋快，相应需要的就可小些。514能带理论的限制（金属一绝缘体转变） 以Na的情况为例来说明。我们知道Na是金属，是一个导体，这主要是它的3S能带是半满的。现在，我们考虑如果用某种方法使Na膨胀， 以致于使它的点阵常数a能任意增大， 那么是否对于a取任何值时Na材料仍然保持是一个导体呢？如果能带模型是正确的话，答案将是完全肯定的， 因为不管a值如何变化，3S能带始

14、终是半满的，它的金属性始终存在。52然而事实上，上述结论是不完全正确的， 因为当点阵常数a继续增加到临界值 时，电导率突然下降为零，把导体变成了绝缘体，并且只要a 这个结论就一直保持不变，这样当点阵常数足够大时金属就会变成绝缘体，这叫作金属一绝缘体转变，或称莫特（Mott）转变。这个结论用能带理论显然无法解释。53 在能带理论中我们曾假设布洛赫电子是非局域化的，这就决定了金属的导电性质。作为一个非局域化的粒子，Bloch电子要在晶体的每个它所遇到的原子上花费它的一部分时间，而我们只是以平均的方式计算了不同Bloch电子间的相互作用。54我们知道，能带的宽度决定于交叠积分（以后会讲到）的大小。交叠积分取决于相邻原子间的距离即与a有关。当a增大时能带宽度减小 ，在a足够大时，它就变得很窄，在这种情况下，能带模型就被破坏了，因为在能带很窄的情况下，它要允许在同一个点阵位置上存在两三个电子，而由于电子间排斥，这种情况是不可能发生的，而当能带较宽时，这种情况并不严重，因为尽管电子的能量都相同，但它们可以用调整动能来补偿其库仑势能的增加，而对于窄能带来说，电子的动能已经很小，这种重新调整几乎是不可能的。55 事实上，在a很大时，晶体中电子固有轨道已不再是Bloch型，它们被局限在以各自位置