新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案学习资料

1、第二章一元二次方程2.1认识一元二次方程-（1）晋公庙中学数学组学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程。通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，.通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力.会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。学习重点：一元二次方程的概念学习难点：如何把实际问题转化为数学方程学习过程：一、导入新课：什么是一元一次方程？什么是二元一次方程？ ？二、自学指导：1、自主学习：自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：1）情境问题：列方程解应用题：一个面积为120布的矩形苗圃，它的长比宽

2、多 2ml苗圃的长和宽各是多少？设未知数列方程。你能将方程化成 ax2+bx+c=0的形式吗？阅读课本P48,回答问题：1）什么是一元二次方程？2）什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？2、合作交流： TOC o 1-5 h z 1. 一元二次方程应用举例：|1） 一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m,宽为5m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽？列|方程并化成一般形式。2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。如果设中间的一个数为 x,列 方程并化成一般形式。3）如图，一个长为 10m的梯子斜靠

3、在墙上，梯子的顶端距地面的垂A直距离为8m,如果梯子的顶端下滑 1m,那么梯子的底端滑动多少米 ？列出方程并化简。8 如果设梯子底端滑动x m,列方程并化成一般形式。2.知识梳理：1） 一元二次方程的概念：强调三个特征：它是 方程；它只含 未知数；方程中未知数的最高次数是.一元二次方程的一般形式：在任何一个一元二次方程中， 是必不可少的2)几种不同的表示形式：ax2+bx+c=0 (a w0,bw0,cw0)(a w 0,b w 0,c=0)(a 丰 0,b=0,c 丰 0) (a 丰 0,b=0,c=0)、当堂训练1、判断下列方程是不是一元二次方程（1） x2-y=1（2）1/ x 2-3=

4、2,并说明理由。(3)2x+ x2=3(4)3x-1=0(5) (5x+2)(3x-7)=15 x2 （k为常数）(6)a x 2+bx+c=02、.当a、b、c满足什么条件时，方程（a-1）x 2-bx+c = 0是关于x的一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么当a、b、c满足什么条件时，方程 （a-1）x 2-bx+c = 0是关于x的一元一次方程 TOC o 1-5 h z 3、下列关于x的方程中，属于一元二次方程的有几个（）2-2 ax b 0 ,2 22 m x x m 0,2/2c - a1 xax 2 02 x 34-x , x2 (1 2a)x a2 3 0

5、42x2 5 x ,A. 6个B. 5个C . 4个D. 3个-2. 2x 3 5x化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常项分别为（.关于 x 的方程（k 21）x2 + 2 （k -1） x + 2k + 2 = 0，当 k 时，是一元二次方程.，当k 时，是一元一次方程.m 1.当m=时，方程（m 1）x 2mx 3 0是关于x的一元二次方程。四、课堂小结：一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0 （a,b,c 为常数，aw0）其中ax2 , bx , c分别为二次项，一次项及常数项五、作业：基础题：课本32页随堂练习1、2,知识技能2提高题：课本32页知识技能1板书设计：2.1

6、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0 （a,b,c 为常数，aw 0）其中ax2 , bx , c分别为二次项，一次项及常数项教学反思:2.1 一元二次方程(2)晋公庙中学数学组学习目标:1、探索一元二次方程的解或近似解；.提高估算意识和能力；.通过探索方程的解，增进对方解的认识，发展估算意识和能力。学习重点：探索一元二次方程的解或近似解学习难点：估算意识和能力的培养.、导入新课：.什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？.指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。(1) 2 x 2x+1 = 0(2) x2 + 1 = 0(3 x 之一x= 0# x 2=0(5

7、) (8-2x) (5-2x)=18、自学指导：1、P31花边问题中方程的一般形式： ，你能求出x吗?x可能小于0吗？说说你的理由；x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？(3)完成下表x0.511.52(8-2x ) (5-2x)(4)你知道地毯花边的宽 x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流2、合作探究通过估算求近似解的方法：先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体的列表计算进行两边“夹逼” 求得近似解。三、例题解析例题1: P31梯子问题梯子底端滑动的距离 x(m满足(x +6)2+72=102一般形式：(1)你认为底端也滑动了 1米吗？为什么？(2)底端滑动的距离可能是

8、2m吗？可能是3m吗？(3)你能猜出滑动距离 x(m)的大致范围吗？ x的整数部几？(4)填表计算:x00.511.52x2+ 12x 15进一步计算xx2+ 12x15x的百分位和千分位。十分位是几？照此思路可以估算出四、当堂训练：1、见课本P34页随堂练习22. 一元二次方程 ax bx c 0有两个解为1和-1 ,则有a b c 且有a b c.23,若关于x的方程2x mx 1 m有一个根为-1 ,则m=.4.用平方根的意义求下列一元二次方程的准确解：2 TOC o 1-5 h z (1)x212(2)81x2160(3) x 1122(4)81 x 216(5)3x1505、用直接开

9、平方法解下列一元二次方程：(1)9x2 1210(2) x 2 24 3x210五、课堂小结：本节课我们通过解决实际问题，探索了 一元二次方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思想一一“夹逼”思想.估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高六、作业基础题：35页知识技能1提高题：1.完成基础题；2.课本35页知识技能2,数学理解3板书设计：一元二次方程(2)求一元二次方程近似解，首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，aw 0)找到使方程左边可能等于0的未知数的取值范围，再进一步在这个范围缩小未知数的取值范围，根据需要，估算出一

10、元二次方程的近似解。教学反思:用配方法求解一元二次方程(1)晋公庙中学数学组学习目标：1.会用开平方法解形如(x + m)2= n (n 0)的方程；2-理解一元二次方程的解法一一配方法.3.把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2 = n(n 0)的形式，体会转化的数学思想。学习重点：会利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.学习难点：把一元二次方程通过配方转化为 (x十m)2= n(n 0)的形式学习过程：一、导入新课：.用直接开平方法解下列方程：x2 = 9(x + 2)2= 16.什么是完全平方公式？利用公式计算：(1) (x+6)2(2) (x -1) 2注意：它们的常数项等于。二

11、、自学指导：、自主学习预习课本36-37页，解方程：x2+12x15=0 (配方法)解：移项，得:配方，得： .(两边同时加上 的平方)即：开平方，得:即：所以：配方法：通过配成 的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方 程的方法称为配方法。、合作交流：配方：填上适当的数，使下列等式成立：(1) x?+12x += (x + 6)之(2) x?4x += (x)之(3) x2 + 8x += (x +)2从上可知：常数项配上 .三、例题解析例1.解方程：x 2十8x 9=0.解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2十8x=9两边都加42 (一次项系数8的一半的平方)，得x 之十 8x+4

12、2=9+42即两边开平方，得即X+4=5(X+4) 2=25X+4= 5或 X+4=-5所以 TOC o 1-5 h z 1=1,X2=-9四、当堂训练.一元二次方程x2-2x-m=(0用配方法解该方程，配方后的方程为()A.(x 1)2=02+1 B.(x 1) 2=m 1 C.(x1)2=1 m D.(x 1) 2=m+1.用配方法解下列方程：2,2 x 一以十25=7;(2)x 14x 8 x 2+3x=1;(4) x2+2x+2=8x + 4;【拓展延伸】1.关于x的方程（x+m） 2=n,下列说法正确的是（）A.有两个解x= jnB. 两个解x= 4吊mC.当n0时，有两个解x=3n

13、 市.当nwo时，方程无实根五、课堂小结：怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？六、作业：.习题2.3第1.2题.习题2.3第1.2题.板书设计:2.2用配方法求解一元二次方程（1）用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：.移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项；.配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（ x+m） 2=n（n）0）的形式;.用直接开平方法求出它的解.教学反思:2.2 用配方法求解一元二次方程（2）晋公庙中学数学组学习目标：1会利用配方法解二次项系数不为1 的一元二次方程2进一步理解配方法的解题思路，掌握用配方法解一元二

14、次方程的基本步骤学习重点：会利用配方法解二次项系数不为1 的一元二次方程学习难点：理解配方法的解题思路学习过程：一、导入新课：1用配方法解方程x2 + 4x + 3=0（2） x2-2x = 1二、自学指导：1、自主学习例 2:解方程：3x2+8x3= 0解：两边都除以，得：移项，得：配方，得：（方程两边都加上的平方）开平方，得：所以 :2、合作交流：归纳：用配方法解一元二次方程的步骤： TOC o 1-5 h z 把二次项系数化为1移项，方程的左边只含二次项和一次项，右边为常数项；配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；用直接开平方法求出方程的根.三、例题解析例1.解方程：x 2十8x 9

15、=0.解：可以把常数项移到方程的右边，得x 2 十 8x=9两边都加42（一次项系数8 的一半的平方），得x 十 8x+42=9+422即（ X+4） 2=25两边开平方，得X+4= 5即X+4=5， 或 X+4=-5所以1=1,2=-9教学反思:教学反思:四、当堂训练.用配方法解下列方程时，配方错误的是( TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 2x2x80 0,化为x 1812x25x3 0,化为x 537 HYPERLINK l bookmark11 o Current Document 24,2t 8t 9 0 ,化

16、为 t 42523t2 4t 2 0,化为 t 2” HYPERLINK l bookmark21 o Current Document 392 .用配方法解下列方程：oC 2 c r(3) 4x2-8x-3=0(1) 3x-9x+2=0(2) 2x6 7x【拓展延伸】一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间t ( s)满足关系：h=15t5t2。小球何时能达到 10m高？五、课堂小结：怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？六、作业：基础题：1.习题2.4第1.2题.提高题：2.习题2.4第3题.板书设计：2.2用配方法求解一元二次方程(2)用配方法解一元二

17、次方程的步骤：.把二次项系数化为1.移项，方程的左边只含二次项和一次项，右边为常数项；.配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；.用直接开平方法求出方程的根 .2.3用公式法求解一元二次方程( )晋公庙中学数学组2.3用公式法求解一元二次方程( #)晋公庙中学数学组学习目标：.知道一元二次方程的求根公式的推导； TOC o 1-5 h z .会用公式法解简单数字系数的一元二次方程.认识根的判别式，会用根的判别式判别一元二次方程根的情况并能解答相关题型.学习重点：学会用公式法解一元二次方程.学习难点：用配方法推到一元二次方程求根公式的过程.学习过程：一、导入新课：、用配方法解一元二次方程的步骤

18、有哪些？、把下列方程化成(x+nrj) 2=n的形式：x2-8x +3=0(2) 1 x2-3x-5 =023、请结合一元二次方程的一般形式，说出上述方程中的a、b、c的值分别是多少？二、自学指导：1、自主学习认真阅读P4142页例题之前内容：(1)、一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c= 0(a w0),当b24ac0时，它的根是一b Jb2 一 4acx=2a注意：当b24ac0,用求根公式求出方程的根；若 b2-4ac 0时，它的根是 x =一b 函2 4ac2a对于一元二次方程 ax2 + bx + c= 0(a 0),当b2 4ac_0时，方程有两个不相等的实数根;当b2 4ac

19、0时，方程有两个相等的实数根；当b2 4ac0时，方程无实数根。教学反思:2.3用公式法求解一元二次方程( )晋公庙中学数学组2.3用公式法求解一元二次方程( )晋公庙中学数学组学习目标：.会根据具体情境构建一元二次方程解决实际问题，体会方程模型思想.进一步熟练求解一元二次方程.会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题学习重点：会根据具体情境构建一元二次方程，并能熟练求解，从而解决实际问题，体会方程模型思想.学习难点：会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题学习过程：一、导入新课：、用配方法解方程：(1) x2-8x+3=0(2) x2-3x-5 =022、用公式法解方程：(1) 2x2-

20、9x+8=0(2) 16x2+8x=3二、合作探究：.在一块长为16ml宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？小明：我的设计方案如右图所示，其中花园四周小路的宽度相等。(1)设花园四周小路的宽度均为xm,可列怎样的一元二次方程？(2)求出一元二次方程的解?(3)这两个解都合要求吗？为什么?.小亮：我的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同。你能帮小亮求出图中的x吗？(1)设花园四角的扇形半径均为 xm,可列怎样的一元二次方程？(2)估算一元二次方程的解是什么？ (口取3)教学反思:教学反思:(3)符合条件的解是多少？3、你还有其他设

21、计方案吗？请设计出来与同伴交流。三、课堂练习1、课本44页随堂练习1 ,对于本课花园设计问题，小颖的方法如图所示，你能帮她 求出图中的x吗？雨题2、课本p45第2题。四、课堂小结：1、本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可。2、一元二次方程的解一般有 个，要根据 舍去不合题意的解。五、作业：基础题：1.习题2.6第1、3题.提高题：2.习题2.6第4题.板书设计：2.4用因式分解法求解一元二次方程晋公庙中学数学组学习目标：会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程，通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程，体会转化思想。学习重点：正确、熟练地用因式分解法

22、解一元二次方程.学习难点：正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程.学习过程：一、导入新课：1、如何对一个多项式进行因式分解？有哪些方法？2、如果两个数a、b,且满足ab=0,你能得到哪些结论？二、自学指导：1、自主学习认真阅读P4647页内容：、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。、因式分解法的理论根据是：如果ab=0,则a=0或b=0。、自学例1,注意看清楚每一步是如何变形的？其目的是什么？2、合作交流：(1)你能例题中的思路解一元二次方程x2-4=0吗？你是怎么想的？(2)对于一元二次方程(x+1) 2-25 = 0可以怎样求解？三、例题解析例.用因式分解法解下列方

23、程：(1) (x+2) (x+4) =0(3) 5(x 2-x) = 3(x2+x)解：(2):原方程可变形为(2) 4x(2x+1) =3(2x+1)4x(2x+1)-3(2x+1) = 0(2x+1) (4x-3) = 0_32 =一42+3x2x-1=0 ,或 4x-3=0X 1 = X2(3):原方程可变形为5x2-5x = 3x5x2-3x 2-5x-3x = 02x2-8x = 0 2x(x-4)= 02x=0,或 x-4=0X 1 = 0 ,X 2=4四、当堂训练.用因式分解法解下列方程：(4x-1 ) (5x-7) = 0(2) 3x(x-1 ) = 2-2x(3) (2x+3

24、) 2=4(2x+3)(4) 2(x-3) 2=x2-92.用因式分解法解下列方程：(1) (x-2) 2= (2x+3) 2(2) (x-2)(x+3) = 12，一、_ 一一 22x+6= (x+3)一个数的平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数。五、课堂小结：1、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。2、用因式分解法的基本思想是：把方程化为ab=0的形式，如果ab=0那么a=0或b=0。3、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：(1)通过移项，将方程右边化为零：(2)将方程左边分解成两个一次因式之积；(3)分别令每个因式都等于零，得到两个一元一次方程，(4)分别解这

25、两个一元一次方程，求得方程的解六、作业：.习题 2.7 第 2 题(3)、(4) 、(5)题.习题2.7第3题.板书设计：2.4用因式分解法求解一元二次方程.用因式分解法的基本思想是：把方程化为ab=0的形式，如果ab=0那么a=0或b=0。.用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：(1)通过移项，将方程右边化为零：(2)将方程左边分解成两个一次因式之积；(3)分别令每个因式都等于零，得到两个一元一次方程，(4)分别解这两个一元一次方程，求得方程的解教学反思:教学反思:2.5 一元二次方程的根与系数的关系晋公庙中学数学组学习目标：.知道一元二次方程根与系数关系的推导过程.理解一元二次方程根与系

26、数的关系 .能用两根确定一元二次方程的系数 .能用根与系数的关系已知一根，不解方程确定另一根。学习重点：一元二次方程根与系数关系.学习难点：一元二次方程根与系数关系的应用.学习过程：一、导入新课：通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数来决定。求根公式就是根与系数关系的一种形式。除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？今天 我们就来一起学习：2.5 一元二次方程的根与系数的关系二、自学指导：(1) x 2-2x+1 = 0(2) x2+2 3 x-1(3) x 2+7x+6 = 0(4) 2x2-3x+1 = 0OX2,计算两个解的和与积，完成下表:1、解下列方

27、程：方 程x1又2Xx2x x2x2-2x+1 = 0 x2+2 * x-1 = 0 x2+7x+6 = 02x2-3x+1 = 02、根据解方程求出的两个解3、观察表格中方程的两个解的和、两个解的乘积，与原方程中的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论 。4、对于任何一个二元一次方程，这种关系都成立吗？请认真自学P49 一元二次方程根与系数关系的推导过程部分内容。三、例题解析例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积(1) x 2+7X+6 = 0(2) 2x 2-3x-2 = 0解：(1):这里 a=1,b=7,c=6. = b 2-4ac = 7 2-4 X 1X 6 =4

28、9-24 = 25 0方程有两个实数根.设方程的两个实数根为Xi和X2 ,那么Xi+ X2 = -7 , X 1X2 = 6例2.已知方程5x2 + kx - 6 = 0的一个根是2,求它的另一个根及 k的值。四、当堂训练(1) x 2-3x-1 = 01.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积。 3x 2+2x-5 = 02.小明和小华分别求出了方程9x2 + 6x - 1=0 的根.1小明：X1 = X2 =3小华:Xi = -3 + 372 , X 2= -3 - 3v2他们的答案正确吗？说说你的判断方法。3.已知方程x2- 2 x-7 = 0的一个根是3,求它的另一个根。3

29、五、课堂小结：1、如果方程ax2+bx+ c=0 ( a w0 )有两个实数根 X, X2,那么bcx x2， x1x2 一.aa2、应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：根的判别式；二次项系数 一次项系数，常数项.即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系。 六、作业：.习题2.8第1、2题.习题2.8第4题.板书设计:2.5 一元二次方程根与系数的关系如果方程ax2+bx+c = 0 ( a，0 )有两个实数根 X1 , X2 ,那么 TOC o 1-5 h z bcx1x2x1x2aa.2.6应用一元二次方程(1)应用一兀二次方程解决几何问题-晋公庙中学数学组学习目标：

30、1、能用含未知数的代数式表示几何图形中的有关的数量关系。2.能找出几何图形中的等量关系，并建立方程。3.能求出符合要求的解。学习重点：应用一元二次方程解决几何问题。学习难点：根据几何问题中的数量关系抽象出符合要求的一元二次方程.一、导入新课：复习计算：1、列方程解应用题的关键是什么？2、列方程解应用题的步骤？3、勾股定理的内容？ 二、自学指导： 1、如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD修建三条同样宽的小路，使其中两条与 AB平行，另一条与 AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积 为144 m2,求小路的宽度.思考：(1)设小路的宽度为(2)列出方程为2

31、梯子下滑问题：(1)当梯子顶端下滑时，梯子低端滑动的距离大于，那么梯子顶端下滑几米时，梯子低端 滑动的距离和它相等呢？(2)如果梯子的长度是，梯子的顶端与地面的垂直距离为，那么梯子顶端下滑的距离与梯 子的低端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 三、例题解析例1、数形结合问题P52如图：某海军基地位于 A处，在其正南方向 200海里处有一重要目标 B,在B的正 东方向200海里处有一重要目标 C,小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。一艘军舰 从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从 D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的 2倍

32、，军舰在由B到C的途中与补给船相 遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)北F教学反思教学反思四、当堂训练:1、已知甲乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7,乙的速度为3。乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲乙各走多远？2、某军舰以20节的速度由西向东航行， 一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标。如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于 A处正南方向的B处，且AB=90海里。如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由。“itA 2五、作业习题2.9问题解决第2题。板书设计：2. 6应用一元二次方程