钢管下料优化方案

1、防盗窗钢管下料优化模型摘要本文主要解决在工程施工过程中钢管下料的最优方案，建立相关的数学优化模型， 及在遇到原料不能满足我们的生产需要时如何建立一个优化的方案并切实可行，且能使 双方的利益最大.对上述问题，将钢管下料问题分为圆形钢管下料和方形钢管下料，简化问题.同时 考虑到原料价格对选择方案的影响，通过查阅相关资料得知原料的价格与长度成正比.对圆形钢管原料和订购商所需规格钢管的材料总长分析可得，原料足以满足所 需，主要考虑生产厂家在满足订单生产条件下，使自己所使用的钢管原料的总费用最少， 剩余废料最省作为最终目标.同理分析得方形管原料总长不足以满足订单生产的需要，故应先满足订单规格 中米数较长

2、的量.因从厂家利益考虑，规格米数越长单价越高；而对订购商而言，规格 较长的量比规格短的量作用大.故我们例举出针对圆形或方形的所有可行的下料方案，建立本文中的线性优化模 型，最终使用lingo.12计算的出如下结果：一.圆形钢管分割方案：对模型一、二分析得出最终使用模型二，具体数据如下：（分析详见正文）模式1.5m1.8m1.2m原料用量（根）原料总用 量（根）余料（m）4米模式三013780689689275.66米模式七5000012589990模式八160008000800080000模式十026220874524.4合计1650012000800096889688800二.方形钢管分割方

3、案:模型具体结果如下：模式1.4m1.7m3m原料用量 （根）原料总用 量（根）余料（m）4米模式三0400002000200012006米模式五002000100020000模式八16000800800160模式九600200020020合计220042002800400040001380【关键词】线性规划费用最省 余料最省LINGO12.0问题的提出某不锈钢装饰公司承接了一住宅小区的防盗窗安装工程，为此购进了一批型号为304的不锈钢钢管，分为方形管和圆形管两种，具体数据如下表：表1-1规格长4m长6m方形管25X25X 1.2(mm)5000 根9000 根圆形管 19 X 1.2(mm)

4、2000 根2000 根根据小区的实际情况，需要截取钢管的规格与数量如下:表1-2圆形管规格1.5m1.8m1.2m方形管规格1.4m1.7m3m数量(根)16500120008000数量(根)600042002800根据上述的实际情况建立数学模型，寻找经济效果最优的下料方案，使得厂家在满 足订购商的订单需要的同时还能节约原料.问题的分析通过题目可知，要求我们在题目所给定的条件下，找寻最佳下料方案，使满足各种 需要的前提下所使用的原材料的费用、所使用的量和所剩的余料最省.圆形钢管原材料的总长：4 x 5000+6 x 9000=74000 (m),订单产品的总长：1.5 x 16500+1 .

5、8 x 12000+1.2 x 8000=55950 (m).方形钢管原材料的总长：4 x 2000+ 6 x 2000=20000 (m ),订单产品的总长：1.4 x 6000+1.7 x 4200+3 x 2800=23940 (m ).通过计算，分析得出问题中的圆形钢管原料足够多，在使用时主要考虑所使用的原 材料的费用、使用量和切割之后的余料最少；而方形管的原材料明显不能满足生产需要， 此时应首先考虑切割不同长度的钢管的优先问题.通过查阅网络资料可得网络上对于304不锈钢钢管的单价是50元/公斤，而相应的 不锈钢管重量公式：（外径-壁厚）x壁厚x 0.0249=每米的重量（千克/米）又

6、因为在我们的原材料中，规格都为19X1.2（mm）,所以可得每米的重量都是一 定的，故我们可以得到每根钢管的单价与原材料的长度成正比，比例系数为k,即6米管 的单价是6k，4米的单价是4k，所以6米管的单价是4米管的6k/4k=1.5倍.因此在处理这个问题时对于生产厂家而言，应考虑所生产的成品规格越长利益越 大；对于订购商而言，规格长度越大材料的使用性越大.通过上诉分析可得，应该在原有 材料使用完的情况下先满足规格为3米的钢管，其次是1.7米的钢管，再次生产1.4米 的钢管.然而此类问题属于数学中最优解的求解问题，这是典型的线性优化，故该问题可 以建立线性优化方程解决.模型假设假设钢管切割过程

7、中无原料损耗或损坏；假设所生产的各种规格的钢管不能通过焊接产生;假设同种钢管采用的切割模式数量不限；假设每种钢管的单价相同且与长度成正比.四.符号说明尤表示采用第i种模式下切割的钢管数id表示第i中模式下的第j种规格下的根数ijci表示第i种模式下的余料a表示第j种规格的需求量jyi表示使用4米的原料所以使用的根数y2表示使用6米的原料所以使用的根数y3表示生产规格为1.5米的钢管总数y4表示生产规格为1.8米的钢管总数y5表示生产规格为1.2米的钢管总数y6为满足生产需求产生的余料总和k表示单位长度或者单位公斤数钢管原料的价格五.模型的建立与求解针对题目的要求我们将钢管下料方案分为圆形钢管和

8、方形钢管两类，简化问题，并 建立相关数学模型.首先根据题目已知条件可得要先给4米和6米不同规格的原材料进行 分割，因此产生了不同的切割模式，选取最佳切割模式才是所要求的下料方案.其中切割 所剩的余料必须小于所需切割的最小长度，在条件满足的不同组合的情况下，得知圆形 管的切割方案有17种；方形钢管的切割方案有11种，具体切割方案如下：5.1圆形钢管5.1.1圆形钢管的切割方案表5-1模式1.5m1.8m1.2m余料（m）圆 形4米切割模式模式一0030.4模式二2001模式三0200.4模式四0111模式五1020.1模式六1100.76 米 切 割 模 式模式七4000模式八2110模式九00

9、50模式十0300.6模式十一0130.6模式十二1030.9模式十三1200.9模式十四0220模式十五3010.3模式十六2020.6模式十七1120.35.1.2圆形钢管的下料模型建立针对圆形管的切割方案，我们假设原材料采用模式i切割的数量为x（x必须为大 于1的正整数），那么目标函数即为使生产厂家在完成订单需要的情况下所使用的原材 料最少，同时所使用的原料的费用最少，且又因6米管的原料单价是4米管的1.5倍， 所以目标函数是：minz = k x（原料中4米的总根数）+1.5k x（原料中6米的总根数）又由已知条件可得，所生产的量必须满足订购商的需要，即1.5m圆管16500根，1.8

10、m 圆管12000根，1.2m圆管8000根，因此产生以下三个目标函数的约束条件：生产规格中所有的1.5米的总根数 16500 生产规格中所有的1.8米的总根数 12000生产规格中所有的1.2米的总根数 8000min z = k x +1.5. E xi=1i=7因此可得如下数学模型:2E x 5000i=1E x 0（x为整数） ,i=1iiE E j 匕1 i=1 J =1利用lingo12.0编程运算得出最终结果如下表：（程序代码详见附录1）表5-2模式1.51.81.2原料用量原料总 用量余料4米模式三013780689689275.66米模式七5000012589990模式八16

11、0008000800080000模式十026220874524.4合计1650012000800096889688800且对于模型中钢管每米的单价k进行不同程度改变，得知k的值不会影响生产过程 中我们对模式的选择，只会相应的改变原料成本，影响相应的利润.通过对上表的结果 进行分析得，该模型已经满足生产不同规格钢管的需要，且没有多余的生产量，但该模 型只考虑到所用的原料费用最省，不一定满足所要求的生产订单过后的余料最省，也就 是不一定满足原料的使用率最大，故我们对模型进一步优化检验，把目标函数变为：min z = 4 x （原料中4米的总根数）+6 x （原料中6米的总根数）-（订单中所有规格均

12、x （订单中相应规格的根数）重庆正大软件职业技术学院min z = 正尤+ 6另 尤55950i=1i=7最终可得模型如下：Pv E x 5000i=1E x 0（x为整数） ,i=1iiE E第 匕1 i=1 J =1同样用lingo12.0编程运算得出结果如下：（程序代码详见附录2）表5-3模式1.5m1.8m1.2m原料用量（根）原料总用 量（根）余料（m）4米模式三013780689689275.66米模式七5000012589990模式八160008000800080000模式十026220874524.4合计1650012000800096889688800从表一和表二相应结果可得

13、，两张表结果一模一样.相应的证明了该切割方案是最 优的切割方案，同时也满足最初的假设，即生产厂家在完成订购商的订单需要的情况下， 原材料的使用最少，所产生的费用最少，并在生产过程种产生的废料最少，废料的总和 才800米，同时也满足原料的使用率最大.故最佳的切割方案是使用用689根4米的原材料采用模式三进行切割，125根6米 的原材料采用模式七进行切割，8000根6米的原材料采用模式八进行切割，874根6米 的原材料采用模式十进行切割.5.2方形钢管5.2.1方形钢管的切割方案表5-4模式1.4m1.7m3m余料(m)方形管4米切割模式模式一0011模式二2001.2模式三0200.6模式四11

14、00.96 米 切 割 模 式模式五0020模式六4000.4模式七0300.9模式八2010.2模式九3100.1模式十1201.2模式十一0111.35.2.1方形钢管余料最少由于方型钢管所能提供的原材料远远不能满足生产所需，该情况下，如果还继续限 制所用的材料，那么我们就无法满足生产方管的订单需要.根据问题分析中原材料的单价 与它的长度成正比，并对于生产厂家而言，成品规格越长利益越大；对于订购商而言， 规格长度越大材料的使用性越大.又因为：方管的总量为：4x2000+6x2000=20000(m)，方管中的规格为1.7米和3米的钢管总长为：1.7x4200+3x2800=1554(m).

15、所以得出方管足以满足生产规格为3米和1.7米的钢管，即严格要求生产规格为3 米和1.7米的钢管，对于规格为1.4米的钢管实在无法满足需要，只限制它的量必须大 于0即可.故可得：生产出的规格为3米的总根数=2800生产出的规格为1.7米的总根数=4200生产出的规格为1.4米的总根数0又因为总量本身不够生产，所以要求方管的所有材料必须用于生产，所以可得：原料方管中所使用的4米的总根数=2000综上分析可得关于余量最省的优化数学模型如下：min = Y xc i i i =1x = 2000i=1 尤 x = 2000i =5Y气z 0YJ J d x = ai=1 j=2d x a (a = 0

16、)i i=1同样使用lingo12.0软件编程运算得出如下结果：（程序代码详见附录3）表5-5模式1.4m1.7m3m原料用量 （根）原料总用 量（根）余料 （m）4米模式三0400002000200012006米模式五002000100020000模式八16000800800160模式九600200020020合计220042002800400040001380对模型结果分析可得，该切割方案已是最优，没有成品钢管的浪费，又能满足生产 厂家利润最大，同时还能满足订购商的长料利用率较大.并且在生产过程中总共产生 1380米废弃材料.因此最优切割方案是用2000根4米的原材料采用模式三进行切割，

17、1000根6米的原材料采用模式五进行切割，800根6米的原材料采用模式八进行切割， 200根6米的原材料采用模式九进行切割.六.模型的分析与推广通过线性规划的应用，可以更好的求解一定约束条件下的最优值的求解问题，能够 得出最佳合理的答案.同时线性规划对实际问题的分析与应用较为普遍，容易查找相关资 料，同时可见其适于现实问题的求解，例如：对水管的下料，钢材的切割，电线的切割 等，优化之后还能解决玻璃的切割问题等等.同时枚举法的运用是问题的求解思路更清晰 的呈现，此为该模型的优点.但是切割模式较多，枚举法加大了运算量同时导致问题的解答相对繁杂，也是该模 型的明显缺点.参考文献:1颜文勇，数学建模，

18、高等教育出版社，2011.6 谢金星、薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软件，北京，清华大学出版社，2009.123 HYPERLINK /view/1266775.htm /view/1266775.htm（钢官每米重量计算公式）附录附录1:MODEL: MIN=k*(X1+X2+X3+X4+X5+X6)+1.5火k*(X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17); k=50;2*X2+X5+X6+4*X7+2*X8+X12+X13+X17=16500;2*X3+X4+X6+X8+3*X10+X11+2*X13+2*X14+X17=12000;X4+

19、2*X5+X8+5*X9+3*X11+3*X12+X15+2*X16+2*X17=8000;X1+X2+X3+X4+X5+X6=5000;X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X17=16500;2*X3+X4+X6+X8+3*X10+X11+2*X13+2*X14+X17=12000;X4+2*X5+X8+5*X9+3*X11+3*X12+X15+2*X16+2*X17=8000;X1+X2+X3+X4+X5+X6=5000;X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X17=16500;2*X3+X4+X6+X8+3*X10+X11+2*X13+2*X14+X17=12000;X4+2*X5+X8+5*X9+3*X11+3*X12+X15+2*X16+2*X17=8000;X1+X2+X3+X4+X5+X6=5000;X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X17=9000;y1=x1