大学数学应用基础-高等数学中册湖南教育出版社

1、大学数学应用基础 高等数学(中册)湖南教育出版社第六章 向量代数与空间解析几何6.1 向量及其线性运算6.2 向量的向量积6.3 平面与直线6.4 曲面与曲线湖南教育出版社下页6.1向量及其线性运算1. 空间直角坐标系2. 空间向量及其线性运算3. 向量的坐标表示上页下页首页6.1向量及其线性运算1. 空间直角坐标系通常规定x轴，y轴，z轴的正向要遵循右手法则.横轴纵轴竖轴坐标原点上页下页首页面面面空间直角坐标系共有八个卦限.6.1向量及其线性运算上页下页首页空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点6.1向量及其线性运算上页下页首页解 根据坐标与点的对应关系，描出各点如下图所示.

2、例1 求空间直角坐标系中，标出下列各点的坐标： A(1,2,3), B(0,1,1),C(-1,0,0).6.1向量及其线性运算上页下页首页空间两点的距离公式长方体的对角线长的平方等于三条棱长的平方和，则：所以点间的距离为由图可知，该长方体的各棱长分别为：6.1向量及其线性运算上页下页首页例2 求证：以的三角形是等腰三角形.三点为顶点证 因为所以故三角形为等腰三角形.6.1向量及其线性运算上页下页首页例3 一动点M(x,y,z)到原点O(0,0,0)的距离为定值1，求动点的轨迹方程.解 因为|MO|=1，所以根据两点间的距离公式，得化简，得所求轨迹方程为6.1向量及其线性运算上页下页首页2.

3、空间向量及其线性运算6.1向量及其线性运算向量：既有大小又有方向的量.向量表示：或以M为起点，N为终点的有向线段.向量的模：向量的大小.或零向量：模长为0的向量.单位向量：模长为1的向量.相等向量：模相等且方向相同的向量.上页下页首页 共线向量(平行向量): 方向相同或相反的两个向量互相平行或 重合. a/b 零向量与任何向量都平行.向量a与b垂直:约定零向量与任何向量都垂直.空间向量的加法、减法、与数乘统称向量的线性运算.6.1向量及其线性运算上页下页首页 将向量a与b的起点放在一起,以向量a和b为邻边为平行四边形,则从起点到对角顶点的向量称为a与b的和向量,记作a+b.这种求向量和的方法称

4、为向量加法的平行四边形法则. 向量可以平移，若把b的起点放到向量a的终点上，则自a的起点到向量b的终点的向量亦为a+b向量.这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则.定义16.1向量及其线性运算上页下页首页向量a与-b的和称为a与b的差,记作a-b.6.1向量及其线性运算负向量: 与a的模相同而方向相反的向量.向量的减法: 把a与b的起点放在一起,a-b即是以b的终点 为起点，以a的终点为终点的向量.上页下页首页空间向量的加法、减法与数乘满足以下运算性质：（1）交换律定义2（2）结合律（3）分配律6.1向量及其线性运算定理向量b与非向量a平行的充要条件是存在实数使得上页下页首页3. 向量的坐标

5、表示于是，由向量加法，有点M在Ox,Oy,Oz轴上的投影依次为P,Q,R.如果点M的坐标为(x,y,z),则6.1向量及其线性运算上页下页首页向量a有序数组6.1向量及其线性运算a=(x,y,z)称为向量a的坐标表达式，数x,y,z称为向量a的坐标，向量xi,yj,zk分别称为向量a在x轴,y轴,z轴的分向量.设则 上页下页首页6.1向量及其线性运算上页下页首页例4 已知和，求向量的模及与方向相同的单位向量.解 因为向量的坐标为所以，向量的模为与方向相同的单位向量为6.1向量及其线性运算上页下页首页例5 设向量解 (1) 由a/b的充要条件，得，问数 为何值时，(1) a与b平行；(2) a与

6、b垂直. (2) 由的充要条件，得可取任意值.6.1向量及其线性运算上页下页首页例6 已知三点A(-1,2,3), B(1,1,1), C(0,0,5),求因为 解 作向量 则 与 的夹角就是所以6.1向量及其线性运算上页下页首页实例6.2 向量的向量积设O为一根杠杆的支点，有一力F作用于这杠杆上点A处，力F对支点O的力矩是一向量M，它的模M的方向垂直于F和 ,且 , F, M构成右手系.上页下页首页定义两个向量a和b的向量积(又称叉积或外积)记作它是满足下述条件的向量：构成右手系.6.2 向量的向量积（1）向量的模（2）向量与a和b都垂直,且a, b,的方向上页下页首页向量积有以下运算律：（

7、1）反交换律（2）结合律（3）分配律6.2 向量的向量积上页下页首页例1 设a,b是两个向量，且b=3a，试证：证 （1）如果a=0，则所以于是 所以（2）如果则b=3a与a平行，所以=0,6.2 向量的向量积 两个非零向量平行的充要条件是它们的向量积为零向量. 定理上页下页首页例2 设m,n是互相垂直的单位向量，a=m-n,b=m+n,求解6.2 向量的向量积上页下页首页设向量6.2 向量的向量积向量积的坐标表示式上页下页首页为了记忆，它可写成下面的形式：其中上述三式的左端都称为二阶行列式，它的值等于对角线两 数之积的差.6.2 向量的向量积上页下页首页例3 设a=(1,0,2),b=(-1

8、,1,2),求解 及6.2 向量的向量积上页下页首页例4 求同时垂直于x轴与向量a=(3,6,8)的单位向量.所以，所求单位向量为解 取与x轴同向的单位向量i=(1,0,0),则同时垂直于a与i的 单位向量就是与ai的平行的单位向量.或6.2 向量的向量积上页下页首页例5 已知三点A(1,1,1),B(2,0,-1),C(-1,1,2),求三角形ABC的面积.解 三角形ABC的面积等于以向量为边的平行形面积的一半，根据向量积模的几何意义，得6.2 向量的向量积上页下页首页6.3 平面与直线1. 平面2. 直线3. 平面、直线间的夹角4. 点到平面的距离上页下页首页平面的的方程6.3 平面与直线

9、(1) 平面的点法式方程如果一个非零向量n垂直于一个平面,则称n为平面 的法向量.平面的法向量常记作n=(A,B,C).1. 平面定义1M(x,y,z)上页下页首页例1 已知平面过点，且垂直于的连线，求平面的方程.解 取平面的法线向量为由平面的点法式方程，得所求平面的方程为2(x-2)+(y+1)-(z-3)=0, 即 2x+y-z=0.6.3 平面与直线上页下页首页都在平面上，例2 求过点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)的平面方程.解 由于A,B,C三点都在平面上，所以向量因此向量垂直于平面，故可取它作为平面的法向量.因此，过点A(1,0,0)，且以n=i+j+k为法向量

10、的平面方程为 即 x+y+z=1.6.3 平面与直线上页下页首页6.3 平面与直线(2) 平面的一般方程平面的一般方程由平面的点法式方程上页下页首页平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过 轴；平面平行于 轴；平面平行于 坐标面；类似地可讨论 情形.类似地可讨论 情形.6.3 平面与直线上页下页首页例3 作出下列平面. (1) x=2; (2) z=3; (3) x+y=2; 解 (1) x=2表示过点(2,0,0)且平行于yOz面的平面. (2) z=3表示过点(0,0,3)且平行于xOy面的平面.6.3 平面与直线上页下页首页(3) x+y=2表示过点(2,0,0),(0,2

11、,0)且与z轴平行的平面.表示过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,4)的平面.6.3 平面与直线上页下页首页例4 求过x轴和点M(2,-2,3)的平面方程.解 因为平面过x轴，所以设平面的方程为 By+Cz=0. 将点M(2,-2,3)代入上式，得 -2B+3C=0. 解得将代入方程By+Cz=0中，得因为，故所求平面方程为或 3y+2z=0.6.3 平面与直线上页下页首页例5设平面过点P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)(abc 0)，解 设平面的方程为 Ax+By+Cz+D=0.6.3 平面与直线将三点坐标代入得求它的方程.上页下页首页将代入所设方程得平面的截距

12、式方程6.3 平面与直线整理得上页下页首页2. 直线(1)直线的一般方程设空间一直线为l,为交于l的两个平面，方程为直线的一般方程6.3 平面与直线上页下页首页 如果一个非零向量s平行于一条直线l，则称s为直线l的方向向量.定义2直线l的点向式方程6.3 平面与直线直线的一组方向数上页下页首页令6.3 平面与直线直线的参数方程参数上页下页首页例6 求过点(1,-1,2)且垂直于平面3x+2y-z+5=0的直线方程.解 与平面的法向量n=(3,2,-1) ,可取n作为直线的方向向量. 于是由点向式方程，得所求直线的方程为6.3 平面与直线例7求过点A(2,1,-1)和B(0,3,4) 的直线方程

13、.解 上页下页首页例8把直线l的一般方程化为点法式方程和参数方程.解先在直线l上找一点，令z=0，得为直线l上的一点.6.3 平面与直线上页下页首页所以，直线l的点法式方程为参数方程为6.3 平面与直线上页下页首页6.3 平面与直线3. 平面、直线间的夹角定义3两平面发向量的夹角中的锐角，称为两平面的夹角.两平面的夹角公式 上页下页首页(1)(2)例9 求两平面x-2y+z+1=0和2x-y-z-2=0的夹角.解所以，两平面的夹角6.3 平面与直线两平面位置特征：上页下页首页定义4两直线方向向量的夹角中的锐角，称为两直线的夹角.设两直线的夹角为两直线的夹角公式6.3 平面与直线上页下页首页 根

14、据向量平行、垂直的条件，可推出下述结论：例10 试证直线与直线垂直.证3(-2)+25+1(-4)=06.3 平面与直线上页下页首页 直线与其在平面内的投影之间的夹角的锐角，叫做直线与平面的夹角.定义5直线与平面的夹角公式6.3 平面与直线上页下页首页根据向量平行、垂直的条件，可推出下述结论：例11 求直线与平面x-y+2z-3=0的夹角.解 直线的方向向量为s=(2,1,1),平面的法向量为n=(1,-1,2).所以，所求夹角为6.3 平面与直线上页下页首页6.3 平面与直线4. 点到平面的距离上页下页首页6.3 平面与直线点到平面的距离公式为 例12 求点(3,1,-2)到平面3x-5y+

15、4z-1=0的距离.解 根据点到平面的距离公式，得上页下页首页6.4 曲面与曲线1. 曲面方程的概念2. 旋转曲面3. 柱面4. 二次曲面5. 曲线上页下页首页1. 曲面方程的概念如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系：6.4 曲面与曲线定义1曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0；(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足F(x,y,z)=0，则称方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程，而曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图形.上页下页首页例1 求球心在点，半径为R的球面方程.解 设M(x,y,z)是球面上任意一点， 则根据两点间的距离公式，得整理，得特别地，当球心在

16、原点O(0,0,0)时，球面方程为6.4 曲面与曲线上页下页首页的球面.例2方程解 把原方程配方，得表示怎样的曲面？所以，它表示球心在点(2,0,-1),半径为6.4 曲面与曲线上页下页首页2. 旋转曲面6.4 曲面与曲线 一条平面曲线C绕同一平面上的定直线l旋转所形成的曲面称为旋转曲面.这条定直线l叫作旋转曲面的旋转轴，平面曲线C叫作旋转曲面的母线.定义2 都在垂直于z轴的平面上，(2)(1)上页下页首页到z轴的距离，又点M到z轴的距离等于点(3)将(2)和(3)代入(1)，得6.4 曲面与曲线类似地，曲线C绕y轴旋转而成的旋转曲面的方程为上页下页首页例3 求xOy面上的椭圆 绕z轴旋转而成

17、的旋转曲面的方程.解 因为z轴是旋转轴，所以在方程以中，保持z不变，代y，得即所求的旋转曲面的方程为6.4 曲面与曲线旋转椭球面 上页下页首页例4 求xOy面上的抛物线绕y轴旋转而成的旋转曲面的方程.解 因为y轴是旋转轴，所以在方程中保持y不变，以代x，得所求曲面方程为6.4 曲面与曲线旋转抛物面 上页下页首页例5 求yOz面上的直线z=ky(k0)绕z轴旋转一周而成的旋转 曲面方程.解 因为z轴是旋转轴，所以在方程z=ky中保持z不变，以代y，得所求旋转曲面的方程为对上式平方，得6.4 曲面与曲线圆锥曲面 上页下页首页凡是过xOy平面内圆 且平行于z轴的直线3. 柱面例6 方程在空间表示怎样

18、的曲面？解 方程在xOy平面上表示一个圆.上一点都在方程 所表示的空间图形上.方程所表示的空间图形可看作是由平行于z轴的一条直线沿xOy平面内的圆移动而成的曲面，称为圆柱面.6.4 曲面与曲线上页下页首页 一动直线L沿定曲线C移动，且始终与定直线l平行，则称动直线L的轨迹为柱面.定曲线C叫作柱面的准线，动直线L叫作柱面的母线.定义3 6.4 曲面与曲线上页下页首页例7 下列方程各表示何种曲面：解6.4 曲面与曲线椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面 (1)(3)(2)上页下页首页 在空间直角坐标系中，三元二次方程表示的曲面称为二次曲面.4. 二次曲面定义4 (1) 椭球面 6.4 曲面与曲线相应地，三元一次方程称为一次曲面.上页下页首页6.4 曲面与曲线(2) 椭圆抛物面 zxyoxyzo上页下页首页6.4 曲面与曲线5. 曲线空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.特点：（1）空间曲线的方程上页下页首页6.4 曲面与曲线例如曲线的参数方程上页下页首页6.4 曲面与曲线例8 设一动点M在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴