大学数学实验

1、大学数学实验作者 薛长虹数学系Email 地址: 主页：/yg/chxueQQ: 315165欢迎进入MATLAB世界2022/8/13目录MATLAB简介(4)MATLAB发展史(5)MATLAB主要功能(6)Matla主包工具箱(7)matlab安装启动(8)Matlab入门(9)工作空间介绍(10)命令行的编辑(24)在工作空间计算(28)M文件编辑(32)条件语句(34) 循环结构(36)空间解析几何实验(39)绘图基本线型(43)曲线的绘制(45)曲面的绘制(59)线性代数实验(64)矩阵的操作(67)2022/8/13矩阵的运算(72)求解方程组(74)二次型（76）高等数学实验(

2、77) 求一元函数极限(78)一元函数微分(80)泰勒展开(82)一元函数极值(84)一元函数积分(85)多元函数微分(86)多元函数极值(87)重积分(91)微分方程(92)函数计算器(93)结束语(94)目录2022/8/13数 学 实 验 简 介大学数学实验是大学数学教学改革的内容。该课程的开设使得学生学会使用计算机中的数学软件去作计算和研究工作，而不再是花大量的时间去钻研计算技巧。 完成本书内容的学习大约需3050学时。1/4学时的多媒体教学，1/6学时的上机实验。本讲座放在教师主页长虹雪苑中的长虹教室网页中，网页地址为：http:/ 2022/8/13MATLAB简介美国 Mathw

3、orks公司推出了MATLAB以其强大的功能和易用性受到越来越多的科技工作者的欢迎.MATLAB由主包和功能各异的工具箱组成,其基本数据结构是矩阵.MATLAB具有非常强大的计算功能,其巳成为世界上应用最广泛的工程计算应用软件之一.2022/8/13MATLAB的发展史MATLAB的产生是与数学计算紧密联系在一起的。70年代中期,美国的穆勒教授在给学生开线性代数课时,为了让学生能使用子程序库又不至于在编程上花费过多的时间,便为学生编写了使用子程序的接口程序。他将这个接口程序取名为MATLAB,意为“矩阵实验室”。 80年代初他们又采用c语言编写了MATLAB的核心。目前MATLAB巳成为国际公

4、认的最优秀的数学应用软件之一2022/8/13MATLAB的主要功能和特性主要功能:1.数值计算功能2.符号计算功能3.数据分析和可视 化功能 4.文字处理功能5.SIMULINK动态仿真功能主要特点:1.功能强大 含有40多个应用于不同领域的工具箱.2.界面有好 其指令表达方式与习惯上的数学表达式非常接近,3.扩展性强 用户可自由地开发自己的应用程序2022/8/13MATLAB主包和工具箱MATLAB由主包和各种工具箱组成.主包是核心,工具箱是扩展的有专门功能的函数.主要工具箱有:1.控制系统工具箱 control2.小波工具箱 wavelet3.模糊逻辑工具箱 fuzzy4.神经网络工具

5、箱 nnet5.通信工具箱comm6.线性矩阵不等式工具箱lmi7.图像处理工具箱 images8.优化工具箱 optim9.偏微分方程工具箱 pde10.财政金融工具箱 finance11.模型预测控制工具箱mpc12.样条工具箱 splines13.统计工具箱 stats14.信号处理工具箱 signal2022/8/13MATLAB的安装与启动MATLAB 5.x建议对系统要求:Windows98操作系统24速以上光驱奔腾II以上处理器16位以上显卡128MB以上内存 完全安装需要640MB MATLAB 的安装:将装有MATLAB 光盘放入光驱,在MATLAB 目录下直接运行“Setu

6、p.exe”程序,根据安装对话窗口提示进行安装.2022/8/13MATLAB入门1.如何进入 matlab软件:在桌面上双击matlab图标，即可进入软件2022/8/13MATLAB入门进入软件开始画面2022/8/13MATLAB工作空间介绍2022/8/13MATLAB工作空间介绍 2.工作空间菜单命令介绍:File(文件) 菜单:1.“New” 有三个选项：“M-file”新建一个.m文件，打开M文件编辑器。“figure”新建一个图形窗口。“Model”新建一个simulink模型窗口2022/8/13MATLAB工作空间介绍2.“Open”打开对话框，列出文件目录，选定已有的文件

7、然后单击“打开”。3.“Open Selection” 在工作空间给出M文件名，然后选择该选项，可打开文件。4.“Run Script”运行脚本文件。5.“Load Workspace”下载原已保存的数据。6.“Save Workspace”保存工作空间的变量到*.mat文件。7.“Show Workspace”打开工作空间浏览器。2022/8/13MATLAB工作空间介绍8. “Show Graphics Property Editor”打开图形属性编辑器。允许交互修改图形对象属性。9. “Show GUI Layout Tool”显示图形用户界面设计向导。10. “Set Path”打开路

8、径浏览器11. “Preferences” 打开参数设置对话框.包括：设置数据格式卡片字体大小选项卡片 背景颜色选项、字体颜色选项卡片2022/8/13数据格式选项卡片2022/8/13MATLAB工作空间介绍数据格式 解释 例 a= 1/3Short 短格式 0.3333 Long 长格式 0.33333333333333Hex 十六进制 3fd5555555555555Bank 金融格式 0.33Plus +格式 +Short E 短指数方式 3.3333E-001Long E 长指数格式 3.33333333333333e-001Short G 短紧缩格式 0.3333Long G 长紧

9、缩格式 0.333333333333333Rational 有理格式 1/3Loose 稀疏格式 0.33332022/8/13字体颜色、大小选项卡片2022/8/13MATLAB工作空间介绍12. “Print Setup”打印设置13. “Print”对屏幕内容打印.14. “Print Selection”有选择打印. 15. “Exit Matlab”退出MATLAB.Edit(编辑)菜单: Undo: 撤消上一次的操作。Cut:将选中内容剪切到剪切版上。Copy:复制选中的内容。Paste:将剪贴板上的内容粘贴下来2022/8/13MATLAB工作空间介绍Clear: 清除工作空间指

10、定变量Select All: 全选命令窗口所有内容Clear Session: 清除命令窗口里所有内容View菜单：控制是否显示工具栏Windows菜单:在打开的窗口之间切换Help菜单: 目录帮助.提示帮助.帮助台面.2022/8/13MATLAB工作空间介绍初学者常用的几个命令:1. help命令查询函数用法: help + 函数名打开帮助窗口：helpwin2. demo命令浏览例子演示: demo语言示例:在打开的窗口内单击matlab之下的Matrices,然后选择右下方窗口中的例子,双击打开该例程. 2022/8/13MATLAB帮助窗口2022/8/13MATLAB演示窗口键入d

11、emo2022/8/13MATLAB 演示画面2022/8/13命令行的编辑与运行1.有关命令行环境的一些操作: (1) clc 擦去一页命令窗口,光标回屏幕左上角(2) clear 从工作空间清除所有变量(3) clf 清除图形窗口内容(4) who 列出当前工作空间中的变量(5) whos 列出当前工作空间中的变量及信息 或用工具栏上的 Workspace 浏览器(6) delete 从磁盘删除指定文件(7) whech 查找指定文件的路径 2022/8/13命令行的编辑与运行( 9 ) clear all 从工作空间清除所有变量和函数(10) help 查询所列命令的帮助信息(11) s

12、ave name 保存工作空间变量到文件 name.mat(12) save name x y 保存工作空间变量 x y到文件 name.mat(13) load name 下载name文件中的所有变量到工作空间(14) load name x y 下载name文件中的变量x y到工作空间(15) diary name1.m 保存工作空间一段文本到文件 name1.m diary off(16) type name.m 在工作空间查看name.m文件内容(17) what 列出当前目录下的m文件和mat文件2022/8/13命令行的编辑与运行Ctrl+p调用上一次的命令Ctrl+n调用下一行的

13、命令 Ctrl+b 退后一格Ctrl+f 前移一格Ctrl + Ctrl+r 向右移一个单词Ctrl + Ctrl+l 向左移一个单词2022/8/13命令行的编辑与运行HomeCtrl+a 光标移到行首EndCtrl+e 光标移到行尾EscCtrl+u 清除一行DelCtrl+d 清除光标后字符BackspaceCtrl+h 清除光标前字符 Ctrl+k 清除光标至行尾字 Ctrl+c 中断程序运行2022/8/13常量与变量MATLAB中的数采用十进制表示。例：5 -87 0.23 1.2e-4 2.6e42 5+2i 2.6-3.5i在缺省情况下，当结果是整数，MATLAB将它作为整数显

14、示；当结果是实数，MATLAB以小数点后4位的精度近似显示。如果结果中的有效数字超出了这一范围，MATLAB以科学计数法来显示结果。变量名以字母开头，后面可以是字母、数字或下划线。变量名最多不超过19个字符，第19个字符之后的字符将被忽略。变量名区分字母大小写。 2022/8/13常量与变量系统启动时定义的变量：变量名含义ans用于结果的缺省变量名eps容差变量，计算机的最小数，一般为2-52pi圆周率的近似值3.14159265358979inf无穷大，如1/0NaN 不定量，如0/0i和j 虚数单位 2022/8/13常 用 函 数函数名含义abs ( )绝对值函数acos ( )反余弦函

15、数acosh ( )反双曲余弦函数acot ( )反余切函数acoth ( )反双曲余切函数acsc ( )反余割函数 acsch ( )反双曲余割函数2022/8/13常 用 函 数asec ( )反正割函数asech ( )反双曲正割函数asin ( )反正弦函数asinh ( )反双曲正弦函数atan ( )反正切函数ceil ( )对+方向取整函数cos ( ) 余弦函数cosh ( )双曲余弦函数 2022/8/13常 用 函 数cot ( )余切函数coth ( )双曲余切函数csc ( )余割函数csch ( )双曲余割函数exp ( )指数函数fix ( )对零方向取整log

16、( )自然对数函数log10 ( )常用对数函数 2022/8/13常 用 函 数rem ( )除法求余sign ( )符号函数sin ( ) 正弦函数sinh ( )双曲正弦函数sqrt ( )平方根函数tan ( )正切函数tanh ( )双曲正切函数 2022/8/13注 释 和 标 点1.百分号后的所有文字为注释，不参与运算。例：syms x y %定义符号变量x ,y2.多条命令可以放在同一行，用逗号或分号分隔，逗号表示要显示该语句运行结果，分号表示不显示运行结果。例：x=2,3；y=4,5；z1=x+y, z2=x*y结果：z1 = 6 8 z2 = 8 10 12 15 2022

17、/8/13注 释 和 标 点1.一条语句也可以写在多行，用三个点表示该语句未完，续在下一行。例：f=3*x6+4*x5-8*x4+.7*x3+8*x2-3*x+35 但注意变量名不能被两行分割，注释语句不能续行。 2022/8/13工作空间计算举例例1已知A= 求A,A的行列式,A的逆.输出：A= 1 5 2程序： 3 6 4 A=1 5 2;3 6 4;6 8 9 6 8 9 a1=Aa1= 1 3 6a2=det(A)5 6 82 4 9a2= -172022/8/13工作空间计算举例例2已知:方程组:输入命令: A=1 1 -1;2 4 5;1 -3 -4b=12;6;10X=Ab输出方

18、程组的解： X=5.4545 3.0909 -3.4545 2022/8/13 M-文 件 的 编 辑 与 运 行.建立新文件: 在命令窗口中选择命令File/New/M-file,系统打开编辑器，或点击工具栏上的白页(如图)，或用命令edit 。 点击此处2022/8/13M-文 件 的 编 辑 窗 口2022/8/13M 文 件 编 辑 与 运 行2. 编辑: 按MATLAB语法规则编辑MATLAB程序 3. 保存: 编辑后，按保存按钮或选择命令菜单中File/Save As,系统弹出一个Save框,在框内键入文件名.m 4. 运行: 到工作空间，键入文件名后按回车，也可在编辑窗口选定要运

19、行的程序段，按F9再到工作空间查看结果。2022/8/13编程入门 之条件语句1(1)简单条件语句: (3)多条件条件语句: if (条件式) if (条件式1) 语句组 语句组1 end elseif (条件式2)(2)多选择条件语句: 语句组2 if (条件式) elseif (条件式3) 语句组 1 语句组3 else . . 语句组 2 end end 2022/8/13编程入门 之条件语句例：当从键盘输入自变量x的值，由分段函数给出y 的值。程序：x=input (x=) %屏幕提示x= ,由键盘输入值赋给x if x0y=x3; else y=5*x2; end y2022/8/1

20、3编程入门 之条件语句举例 例:输入一个x的值, 输出符号函数y的值在 M-文件中输入: x = input (x =)if x0 y=-1elseif x=0 y=0else y=1end 2022/8/13 编程入门 之循环语句1.第一类循环语句结构: for 循环变量=初值: 步长: 终值 循环体语句组 end2.第二类循环语句结构: while (条件式) 循环体语句组 end 2022/8/13例4:xu4.m生成一个6阶矩阵，使其主对角线上元素皆为1，与主对角线相邻元素皆为2，其余皆为0。程序：for i=1:6 for j=1:6 if i= =j a(i,j)=1; elsei

21、f abs(i-j)= =1 a(i,j)=2; else a(i,j)=0; end end end a 编程入门 之循环语句举例2022/8/13 编程入门 之循环语句举例例6:求自然数的前n项和M-文件中的程序：n=input(n=)sum=0; k=1;while k=n sum=sum+k; k=k+1;endsum 运行：n=100结果：Sum=50502022/8/13空间解析几何实验一、建立空间直角坐标系：程序：x=0;y=0;z=0;plot3(x,y,z)xlabel(x轴)ylabel(y轴)zlabel(z轴) 2022/8/13空间解析几何实验二、空间两点间的距离程序

22、：M1=1,2,3M2=4 ,5,6d=sqrt(4-1)2+(5-2)2+(6-3)2)结果：d=5.1962 2022/8/13几何实验之向量的创建一、向量的创建： 1.随机创建法：程序：a = rand (1,6) %创建了一行6个元素的行向量。b = rand (6,1) %创建了一列6个元素的列向量。结果： a = 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 0.76212022/8/13几何实验之向量的创建2. 冒号创建法：程序：c = 1:2:9 %创建了一个初值为1，步长为2，终值为9的行向量。结果：c = 1 3 5 7 92022/8/13几何实验

23、之向量的创建 3.等分插值创建法：程序：d = linspace(0,2*pi,10)%创建了在区间0,2 上等分的10 个插值点构成的向量。结果：d = Columns 1 through 7 (表示第1列到第7列) 0 0.6981 1.3963 2.0944 2.7925 3.4907 4.1888 Columns 8 through 10 4.8869 5.5851 6.2832 2022/8/13几何实验之向量的创建4. 已知向量坐标的元素输入法：例：已知向量a=(3 4 2 6 7 3 7) 程序：a=3 4 2 6 7 3 7 结果：a= 3 4 2 6 7 3 72022/8/

24、13空间解析几何之向量运算二、向量的运算命令：向量a与b的加法：a + b向量a与b的减法：a b数k乘以向量a: k * a 向量a的模：norm(a)向量a与b的数量积：dot (a,b)或 a * b 向量a与b的向量积：cross (a,b) (只能作三维的)向量的混合积： dot(cross(a,b),c)向量a与b的对应元素相乘：a . * b向量a与b的对应元素作除：a . / b2022/8/13空间解析几何之向量运算 例：已知 a = 3,-1,-2 , b = 1,2,-1 ，求ab 及ab ;(-2a) 3b 及 a2b ;a、b的夹角的余弦 。程序：1. A1=dot(

25、a,b) a=3 1 2 ; A2=cross(a,b)b=1 2 1;2. A3=dot(-2*a,3*b) A4=cross(a,2*b)3. A5=dot(a,b)/(norm(a)*norm(b) 2022/8/13函 数 定 义 方 法一、符号函数定义法：syms x y z %定义了符号变量: x y z f = x2+sin(x)2-8 %定义了函数: x=2*pi %给自变量赋值eval( f )%求函数值:f (2) isstr(f ) %检查变量是字符还是数值: f是字符时为1,f是数字时为0。 2022/8/13函 数 定 义 方 法二、m文件定义法：建立M文件来定义函数

26、。此时文件名必须与其定义的函数名一致。定义函数M文件通常由以下几个部分组成：l 函数定义行l H1行l 函数帮助文本l 函数体l 注释2022/8/13函 数 定 义 方 法例1：求最小公倍函数 lcmfunction c = lcm(a,b)%LCM Least common multiple.% LCM(A,B) is the least common multiple of corresponding elements of if any(round(a(:) = a(:) | round(b(:) = b(:) | a(:) 1 | b(:) 1 y2=x(abs(x)1) y3=x(

27、find(1 1 1 1 0 0 0) y4=x(1 1 1 1) x(abs(x)1)= 2022/8/13多项式一、已知多项式的系数向量求其构成的方程的根例1：求 的根程序：c=1 0 7 6%多项式的系数向量r=roots(c)求根2022/8/13多项式结果：c =1 0 -7 -6r=3.0000 -2.0000 -1.00002022/8/13多项式例2：已知两个多项式a(x)=x3+2x2+3x+4和b(x)=x3+4x2+9x+16的乘积程序：a=1 2 3 4;b=1 4 9 16;c=conv(a,b) 2022/8/13多项式结果：c = 1 6 20 50 75 84

28、64即乘积多项式为：c(x)=x6+6x5+20 x4+50 x3+75x2+84x+64 2022/8/13多项式 多项式除法例3：用上例中的c(x)多项式除以a(x)多项式。程序：q,r=deconv(c,a) %q是商多项式的系数向量，r 是余数多项式的系数向量。结果：q = 1 4 9 16r =0 0 0 0 0 0 02022/8/13多项式三、 多项式的微分例4：求a(x)=x6+3x5+4x4-6x3+4x2-7x+12的微分程序：a=1 3 4 6 4 7 12;a1=polyder(a)结果：a1 =6 15 16 -18 8 -7即原多项式的导函数为：a1(x)=6x5+

29、15x4+16x3-18x2+8x-7 2022/8/13多项式 多项式的估值例5：已知多项式为上例的a(x),估x分别取值 1、2、3、4、5、6时多项式的值程序：x=1:30;v=polyval(a,x) 结果：v =11 190 1647 7856 26827 73986 2022/8/13线性代数实验之矩阵运算A A的转置det(A) A的行列式rank(A) 矩阵的秩inv(A) 矩阵求逆compan(A)A的伴随矩阵D,X=eig(A)A的特征值与特征向量norm(A)矩阵的范数orth(A) 矩阵的正交化poly(A) 特征多顶式rref(A) 阶梯状行的 最简式size(A)

30、测矩阵长度2022/8/13线性代数实验之矩阵运算A+k =(a1+k,a2+k,an+k)A*k =(a1*k,a2*k,an*k)A+B 矩阵加法A*B 矩阵乘法AB 等价于 inv(A) * BB/A 等价于 B * inv(A)A.*B 矩阵对应元素相乘A./B 矩阵对应元素作除A.B B的元素作为A对应元素的幂次 2022/8/13线性代数实验之矩阵运算例：将矩阵A化为行的最简形式程序：A=1 2 3 0 1;-2 4 4 1 3;-5 10 17 1 4A1=rref(A)结果：A = 1 -2 3 0 -1 -2 4 -4 1 3 -5 10 -17 -1 4A1 =1 -2 0

31、 -1.5 -2.50 0 1 0.5 0.5 0 0 0 0 0 2022/8/13线性代数实验之解方程组1.Ax=b 当det(A)0则 x=Ab例1:求下列方程组的解:xu7.m det(A)=-1708 于是可用 x=Ab 求解得: x1= 1.8618 x2= 0.0023 x3= 2.6745 x4= 0.99652022/8/13线性代数实验之解方程组例2.Ax=b 当 det(A)=0则 由增广矩阵A作行的最简形式,从中找出方程组的基础解系及特解 det(A) B=A b rref(B)= 1 0 0 -293/322 165/322 0 1 0 -55/14 -73/14 0

32、 0 1 -401/322 -505/322 0 0 0 0 0 2022/8/13矩阵的特征值与特征向量调用格式1：eig(A) %得到特征值列向量调用格式2：D,X=eig(A) % D为由特征列向量构成的方阵，X为由特征值构成的对角阵。例：求方阵 的特征值与特征向量程序：A=3 1 0;-4 -1 0;4 -8 -2D,X=eig(A) 2022/8/13矩阵的特征值与特征向量结果：D = 0 221/1554 -221/1554 0 -221/777 221/777 1 621/655 -621/655 X = -2 0 0 0 1 0 0 0 1 2022/8/13线性代数实验之二次

33、型方法: f=xAx ,将A的特征值求出,其即为二次型标准型的系数.再将A的特征向量矩阵D正交化得正交变换矩阵P.例: 780/989 780/3691 1/2 -390/1351 D = 780/3691 780/989 -1/2 390/1351 780/1351 -780/1351 -1/2 390/1351 0 0 1/2 1170/1351 P=orth (D) D, X = e ig ( A ) P * P = E2022/8/13数学实验之函数定义1.定义符号变量: syms x y z 2.定义函数: f = x2+sin(x)2-8 3.求函数值: x=2*pi eval(

34、f ) 4.检查变量是字符还是数值: isstr(f ) f是字符时为1,f是数字时为02022/8/13高等数学实验之函数极限1.格式五种:符号变量说明: syms x y t h alimit (f,x,a) limit (f,a) 默认变量x或唯一符号变量limit (f) 默认变量x,且a=0limit (f,x,a,right) 右极限limit (f,x,a,left) 左极限2022/8/13高等数学实验之函数极限2.举例: 结果syms x h alimit (sin(x)/x) 1limit (sin(x)/x,inf) 0limit (x-2)/(x2-4),2) 1/4l

35、imit (1/x,x,0,right) inflimit (1/x,x,0,left) - inflimit (sin(x+h)-sin(x)/h,h,0) cos(x)limit (1+a/x)*sin(x),x,a) 2*sin(a)2022/8/13数学实验之函数的微分1.格式四种:diff (f) 关于符号变量对f求一阶导数diff (f,v) 关于变量v对f求一阶导数diff (f,n) 关于符号变量求n阶导数diff (f,v,n) 关于变量v对f求n阶导数2.例: f=a*x3+x2-b*x-c diff(f) 结果：3*a*x2+2*x-b diff(f,a) x3 diff(f,2) 6*a*x+2 diff(f,a,2) 0 2022/8/13数学实验之函数的微分例：求下函