图形的相似专项复习资料配套练习

1、(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似;考点三十五：图形的相似聚焦考点温习理解1、比和比例的有关概念:表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例ac第四比例项：若或a:b=c:d，那么d叫作a、b、c的第四比例项.bdab比例中项：若或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中项.bc黄金分割：把一条线段(AB)分割成两条线段，使其中较长线段(AC)是原线段AB与较短线段(BC)的比例线段，就叫作把这条斤_1线段黄金分割.即AC2=AB-BCAC=AB：0.618AB;一条线段的黄金分2割点有两个.2.比例的基本性质及定理ac(1)ad=bcbd(2

2、)ca_bc_d=一T=dbdc=|l(=m(bd|n=0)dnac|l(mbd11(n3.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.4.相似三角形.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比.5.相似三角形的判定两角

3、对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似.相似三角形性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.相似多边形的性质相似多边形对应角相等，对应边成比例.相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.8位似图形概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形这个点叫做位似中心.性质：位似图形上任意一对

4、对应点到位似中心的距离之比等于位似比.名师点睛典例分类考点典例一、比例的基本性质、黄金分割【例1】已知b=，则色辿的值是()a13abA239r4A.一B.C.D.3249【答案】D.【解析】试题分析：先设出b=5k，得出a=13k，再把a,b的值代入即可求出答案.试题解析：令a,b分别等于13k和5k,.a-b13k-5k4.ab13k5k9故选D.考点：比例的性质.【点睛】此题考查了比例的性质.此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形.【举一反三】若4y-3x=0，则【答案】7.3【解析】试題分折:先用v表示出X,然后代入比例式进行计算即可得解.试题解析S/4y-3x-=0j

5、（2）如图2,已知/【答案】考点：比例的性质.考点典例二、三角形相似的性质及判定【例2】（2015.山东威海，第23题）（1）如图1，已知/ACB2DCE=90,AC=BC=6CD=CEAE=3,/CAE=45,求AD的长.ACB=zDCE=90，/ABC玄CED2CAE=3C,AC=3AE=8,求AD的长.【解析】试题分析：（1）连接证明A3笑BCE,得到AD=BEj在RtABAE中，AB二沁，肛二4求出BE，得到答案（2）连接眄证明/UCDs眈E,得到坐坐迟求出盹的长/得到AD的长.BEBC3试题解析：（1）如图G连接BE扌.，ZACB=ZDCE=90,/.ZACB+ZACE=ZDCE+Z

6、AjCE,即ZBCE=ZACD7又TAC二egDC=ECJfAC=BC在ACD和ZkECE中，ZBCE=ZACD,/,AiCDABCE,?.AD=BEJ:圧-BC=6,DC二EGtAB=gV2,ZBAC=ZCAE=45&3?.Z0E=9O&,在RtABAE中，ABP伍，AE二3,.BE=9,J.AD=9BC3beBC，（2）如图2,连接BE,在RtACB中，/ABC=CED=30,tan30/ACB玄DCE=90,/BCENACDACDABCE/BAC=60，/CAE=30/BAE=90，又AB=6,AE=8,?BE=10,AD=考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理3

7、【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.【举一反三】如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90得到线段MN在CD边上取点P使CP=BM连接NRBP.求证：四边形BMNR是平行四边形；线段MN与CD交于点Q连接AQ若厶MCAAMQ贝UBM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由.D【答案】(1)证明见解析;(2)BM=MC【解析】试题分析：(1)根据正方形的性质可得AB=BC/ABC=ZB,然后利用“边角边”证明BCP全等,根据全等三角形对应边相等可得AM=BPZBAMMC

8、BP再求出AMLBP,从而得到MNBP,然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；(2)根据同角的余角相等求出/BAMMCMQ然后求出厶ABMFHAMCQ相似，根据相似三角形对应边成比例ABamabam可得=，再求出厶AMQAABM根据，相似三角形对应边成比例可得=，从而得到MCMQBMMQABAB口,zl=t.，即可得解.MCBM试题解析：(1)证明：在正方形ABCD中,AB=BCMABCMB,在厶ABMDABCP中，AB=BCABC=C,CP=BMABNmBCP(SAS,AM=BPMBAMMCBP/BAMMAMB=90,MCBP+MAMB=90,AMLBP,/AM并将线段AM

9、绕M顺时针旋转90得到线段MNAMLMN且AM=MNMN/BP,四边形BMNP是平行四边形;理宙如下：,ZAMB-ZCX【Q=9O”，.ZBAM=ZCNJQ?又?ZABC=ZC=90,二ABMsUCQ.AB_AM疋一庞T/AMCQAAMQ,/.AAMQAABXb丽-迈”AB_ABJic丽Z.BM=MC.考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质.考点典例三、相似三角形综合问题【例3】如图，已知AB是OO的直径，BC是OO的弦，弦ED丄AB于点F,交BC于点G,过点C的直线与ED的延长线交于点P,PC=PG.(1)求证：PC是OO的切线；当点C在劣弧AD上运动时，其他条件

10、不变，若BG2=BF-B0求证：点G是BC的中点在满足(2)的条件下，AB=10,ED=4.6，求BG的长.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)25.【解析】试題分析：(1连0C,由ED丄得到ZFBG-ZFGB=90%又PC=PD,则而Z2=ZFGB,Z4-ZFBG,即可得到Zl-Z4=90根据切线的判走定理即可得到结论；2)连0G,由BBF-30,即3G;B0-3F:BG,根据三角形相似的判定定理得到BGOcoABFG,由苴性mJZOGB=ZBFG=90然后根据垂徑定理即二得到点G是BC的中点；连0三，由ED丄AB,根iS垂径罡理得到FE=FD,而AB*10,ED=4缶,得到z

11、F=2a/60E=5,在RtAOEF中利用勾股定理可计算出OF,从而得到3F,燃后根据3G-BF-30即可求出BG.试题解析：(1)证明：连0C如图，/EDAB,/FBG+ZFGB=90,又PC=PG/仁/2,而/2=ZFGB/4=/FBG/1+/4=90,即卩OCLPC,PC是OO的切线；(2)证明：连OG如图，g-B/B&=BF?BQ即BGBO=BFBQ而/FBG=ZGBO/OGBMBFG=90,即OGLBGBG=CG即点G是BC的中点；解：连OE如图，/ED丄AB,FE=FD而AB=10,ED=4.6,EF=2花,OE=5在RtOEF中，OF=.OE2EF2=,52-(2.6)2=1,B

12、F=5-1=4,/B=BF?BOB=BF?BO=4X5,BG=2、5考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质.【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用.【举一反三】课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC它的边BC=120mm高AD=80mm要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上.问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？小颖解得此题的答案为48mm小颖善于反思，她又提出了如下的问题.如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零

13、件的两条边长又分别为多少毫米？请你计算.如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.2404802【答案】这个矩形零件的两条边长分别为mmmmS的最大值为2400mm,此时PN=60mmPQ=40mm77【解析】试题分析：(1)设PN=2y(mr)i，贝UPQ=y(mr)i，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；(2)设PN=x用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN,然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答

14、.试题解析：(1)设矩形的边长PN=2y(irn),则PQw(皿由条件可得APHSUC,.PN_AE1CAD12080解得y=7答：这个矩形零件的两条边长分别为2407rnm?4S0(2)设PN=x(mm,矩形PQMN勺面积为S(mm2,由条件可得APNAABCPNAE刚x80-PQ二,即BCAD120802解得PQ=80-x.3S=PN?PQ=x(80-x)=-x2+80 x=-(x-60)2+2400,3332S的最大值为2400mm,此时PN=60mmPQ=80 x60=40(mm.3考点：相似三角形的应用；二次函数的最值.考点典例四、相似多边形与位似图形【例4】如图，在边长为1个单位长

15、度的小正方形组成的网格中，按要求画出AiBiCi和厶A2B2C2;(1)把厶ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到AiBG;(2)以图中的0为位似中心，将AiBC作位似变换且放大到原来的两倍，得到AB2C2.【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析.【解析】试题分析：(1)把AB、C三点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到A,B,C,顺次连接得至U的各点即可；(2)延长0A到A,使0A=20A1，同法得到其余各点，顺次连接即可.试题解析：考点：作图-位似变换；作图-平移变换.【点睛】本题考查了平移、位似的作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键.【举一反三】

16、(2015辽宁营口)如图，ABE和厶CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A(3,4)，点C(2,2)，点D(3,1)，则点D的对应点B的坐标是().kAA0第题割(5,2)D.(5,1)A.(4,2)B(4,1)C【答案】C.【解析】试题分析：分别过GD,屯做盂轴的垂线垂足分另1展巧比氏因为&D的横坐标相同，所以D在AH上，ECEF1E(IjO),C氛2)A(3,4,D(3.1)、二EQ1,FH二“TCFAH”B&；.=-,/CDAEEH2h*ECED1.tEHDHED1+.+.血=-,/DH/BK,=-,EH=27DH=1,.E1M,BK=2j/.0K=5J二AEEB2EKBKEB2B

17、(5；2)故选C考点：1.位似性质；2.平行线分线段成比例定理.课时作业能力提升一、选择题（2015成都）如图，在ABC中,DEEBCAD=6，B=3，AE=4,贝UEC的长为（）【解析】ADAE64试题分析：根据平行线段的比例关系，烂二竺，即6,EC=2，故选B.DBEC3EC考点：平行线分线段成比例.（2015黑龙江哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF,分别交ADCD于点GH,则下列结论错误的是()(A)EAEGEGAGABBCFHCF(B)-:_GD(C)-CF(D)BEEFGHAEEHAD【答案】C【解析】试题分析：根据平行四边

18、形的性质可得AE3ABEF,ADGHTAAGECHFAAGE从而可以得出AB、D三个选项是正确的，只有C选项是错误的.考点：三角形相似的应用(2015湖北武汉，6题，3分)如图，在直角坐标系中，有两点A(6,3)、B(6,0).以原点O为位似中心，相似比为丄，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD则点C的坐标为()3A.(2,1)B.(2,0)C.(3,3)D.(3,1)C*4a0DB【答案】A【解析】试题分析：根据位似團形的性质可得:点C的横坐标为6X1=2,点C的纵坐标为3X1=1,则点C的坐标为(31)，考点：位似图形的性质(2015.山东淄博，第8题，4分)如图，在四边形ABCD中,

19、DC/ABCBLABAB=ADCDAB,点E、F2分别为ABAD的中点，则AEF与多边形BCDFE的面积之比为(A.-B.C.D.【答案】C.【解析】试題分析：如團连接D瓦根抿三角形的中位线求出E片Zed,EF/BD,推出AEFS21ABD得出学些丄,考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理.（2014?泰安）在厶AB6HAA1B1C中，下列四个命题：若AB=A1B1,AC=AiCi,ZA=Z人，则厶ABCAABC;若AB=A1B1,AC=AiCi,ZB=ZB1,则ABCAABC;若/A=ZA,ZC=Z6,则厶ABCAABC;若AC:AiCi=CB:CiBi,ZC=Z6,则厶ABCAAiBCi.其中真命题的个数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】B.【解析】试题分析：分别利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理进行判断即可得到正确的选项.试题解